%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%% BEGIN OF LATEX FILE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentstyle[12pt]{article} \textheight=24cm \textwidth=16.5cm \evensidemargin=0.6cm \hoffset=-1.3cm \topmargin=-2cm \headsep=1cm \newcommand{\sig}{\sigma} \begin{document} \begin{center} {\Huge Alcune notevoli identit\`a per le somme dei divisori di certi numeri} \end{center} Alla redazione di Archimede giungono con una certa frequenza segnalazioni di risultati interessanti o semplicemente curiosi di teoria dei numeri, scoperti dai lettori. Il fascino che questo ramo della matematica continua ad esercitare dopo secoli e secoli di ricerche, conferma il giudizio attribuito al grande Gauss, secondo il quale ``la matematica \`e la regina delle scienze, e la teoria dei numeri \`e la regina della matematica``. Ma proprio l'enorme numero di ricerche effettuate nel passato fa s\`\i\ che quasi tutti i risultati che i lettori segnalano, siano gi\`a noti da tempo, e reperibili nella vastissima letteratura dedicata alla teoria dei numeri, per esempio sul classico testo di G. H. Hardy - E. M. Wright: {\em An Introduction to the Theory of Numbers}, $5^a$ ed., Clarendon Press, Oxford 1979, oppure sulla recentissima edizione italiana del libro di H. Davenport: {\em Aritmetica Superiore} (traduzione dall'inglese con note aggiornate di U. Zannier), Zanichelli 1994. Il fatto che un risultato sia gi\`a noto da tempo non toglie nulla al piacere della scoperta individuale; costringe per\`o la redazione a respingere la quasi totalit\`a degli articoli sull'argomento, per mancanza di spunti originali. Il breve articolo qui di seguito pubblicato costituisce quindi un'eccezione assai notevole. Per la precisione, il lettore Giuliano Morelli ha formulato una serie di interessanti {\em congetture} a partire da un'accurata analisi di numerosi casi particolari. Come \`e stato ribadito in varie occasioni anche su questa stessa rivista, un certo numero di verifiche effettuate su casi particolari non \`e sufficiente a garantire la validit\`a generale dei risultati congetturati, ossia a trasformarli in {\em teoremi.} Tuttavia, nel caso specifico, le congetture di Morelli sono state successivamente verificate al calcolatore da parte del dott. Giuseppe Melfi (Universit\`a di Pisa) su un certo numero di casi tanto elevato (oltre 2000) da rendere altamente probabile la loro correttezza in generale. Il dott. Melfi \`e riuscito poi a dimostrare una delle due implicazioni relative all'identit\`a (II), riconducendola ad una formula di Ramanujan. Non sembra invece agevole dimostrare le altre identit\`a, partendo da risultati gi\`a noti nella letteratura; peraltro egli, confrontando le identit\`a di Morelli con quelle di Ramanujan, ne propone qui di seguito una generalizzazione. \vspace{8mm} \subsection*{I. Le identit\`a di Morelli} \vspace{8mm} Come \`e consuetudine $\sigma(m)$ designer\`a la somma dei divisori del numero naturale $m,$ inclusi 1 ed $m$ stesso, cio\`e: \[\sigma(m) = \sum_{d|m}d. \] Ricordiamo che se $m=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ allora \[\sig(m)=\prod_{i=1}^k\frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}.\] Osserviamo che $m$ ed $n$ sono primi tra loro se e solo se $\sig(mn)= \sig(m)\sig(n),$ ed in generale, invece, $\sig(mn)\leq\sig(m)\sig(n).$ La funzione aritmetica $\sig$ \`e una funzione che pertiene alla struttura moltiplicativa degli interi. Le identit\`a che presenteremo coinvolgono operazioni di sommatoria che inaspettatamente si collegano alla struttura moltiplicativa della $\sig :$ \vspace{3mm} {\bf Congettura I.} {\em Condizione necessaria e sufficiente affinch\'e} $2n+1$ {\em sia primo \`e che} \[ \sum_{h=1}^{n}\sig(h(2n+1-2h))=\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}. \] \vspace{3mm} Questa \, congettura \, ha \, anche \, una \, formulazione \, in \, termini \, geometrici: infatti, se $t_k=k(k+1)/2$ \`e il $k$-esimo numero triangolare allora \[ \sum_{h=1}^{n}\sig(h(2n+1-2h))=\sum_{h=1}^{n}\sig(t_n-t_{h-1}). \] \vspace{3mm} {\bf Congettura II.} {\em Condizione necessaria e sufficiente affinch\'e} $2n+1$ {\em sia primo \`e che} \[ \sum_{h=1}^{n}\sig(h(2n+1-h))=\frac{n(n+1)(10n-1)}{6}. \] \vspace{3mm} {\bf Congettura III.} {\em Condizione necessaria e sufficiente affinch\'e} $4n+1$ {\em sia primo \`e che} \[ \sum_{h=1}^{n}\sig(h(4n+1-4h))=\frac{n(4n^2-1)}{3}. \] \vspace{3mm} {\bf Congettura IV.} {\em Condizione necessaria e sufficiente affinch\'e } $4n+3$ {\em sia primo \`e che} \[ \sum_{h=1}^{n}\sig(h(4n+3-4h))=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}. \] \vspace{3mm} {\bf Congettura V.}{\em Condizione necessaria e sufficiente affinch\'e} $6n-1$ {\em sia primo \`e che} \[ \sum_{h=1}^{n}\sig((3h-2)(6n+1-3h))=n(12n^2-6n+1). \] \vspace{15mm} \rightline{G{\scriptsize IULIANO} M{\scriptsize ORELLI}} \rightline{Via Don Minzoni, 31, Castelbelforte (MN)} \vspace{8mm} \subsection*{II. Una generalizzazione delle identit\`a di Morelli} \vspace{8mm} Denotiamo con $\sig_r(m)$ la somma delle $r$-esime potenze dei divisori di $m$: \[ \sig_r(m)=\sum_{d|m}d^r. \] Cos\`\i\, ad esempio , se $m$ \`e primo, $\sig_r(m)=m^r+1.$ Per $r=1$ risulta $\sig_1(m)=\sig (m), $ cio\`e la somma dei divisori di $m.$ In accordo a S. Ramanujan, {\em Collected Papers,} Cambridge University Press 1927, p.136, poniamo per convenzione, $\sig(0)=-1/24.$ Ramanujan, fra le altre cose, ha dimostrato che per ogni intero positivo $m$ vale \[ \sum_{h=0}^m\sig(h)\sig(m-h)=\frac{5\sig_3(m)-6m\sig(m)}{12}. \] Si pu\`o facilmente verificare che, se $m$ \`e primo, $m=2n+1,$ l'identit\`a di Ramanujan implica la seconda identit\`a di Morelli. Si noti che se $2n+1$ \`e primo allora $h$ e $2n+1-h$ sono primi tra loro per ogni $h$ tra 1 ed $n.$ Ramanujan ha dimostrato altre nove identit\`a di questo tipo, nessuna delle quali implica una delle altre rimanenti congetture. L'identit\`a di Ramanujan \`e una generalizzazione della seconda identit\`a di Morelli. Viene naturale chiedersi quindi se valgano delle generalizzazioni anche per le altre quattro identit\`a. Ed in effetti una sperimentazione numerica al calcolatore ci permette di formulare le seguenti congetture: \vspace{3mm} {\bf Congettura VI.} {\em Per ogni intero positivo} $m\equiv 1$ mod 2 {\em vale la seguente identit\`a:} \[ \sum_{h=0}^{(m-1)/2}\sig(h)\sig(m-2h)=\frac{2\sig_3(m)-3m\sig(m)}{24}. \] \vspace{3mm} In particolare se $m=2n+1$ \`e primo, la precedente \`e la prima identit\`a di Morelli. \vspace{3mm} {\bf Congettura VII.} {\em Sia $a\in \{1,3\}.$ Per ogni intero positivo} $m\equiv a$ mod 4 {\em vale la seguente identit\`a:} \[ \sum_{h=0}^{(m-a)/4}\sig(h)\sig(m-4h)=\frac{\sig_3(m)-3m\sig(m)}{48}. \] \vspace{3mm} In particolare se $m$ \`e primo, con $a=1$ si ottiene la terza identit\`a e con $a=3$ si ottiene la quarta identit\`a. \vspace{3mm} {\bf Congettura VIII.} {\em Per ogni intero positivo} $m\equiv 2$ mod 3 {\em vale la seguente identit\`a:} \[ \sum_{h=0}^{(m-2)/3}\sig(3h+1)\sig(m-(3h+1))=\frac{\sig_3(m)}{9}. \] \vspace{3mm} Se $m$ \`e primo la precedente implica la quinta identit\`a di Morelli. Concludiamo questa breve nota con un'altra congettura, simile ma non riconducibile alle precedenti; \vspace{3mm} {\bf Congettura IX.} {\em Per ogni intero positivo} $m\equiv 1$ mod 2 {\em vale la seguente identit\`a:} \[ \sum_{h=0}^{(m-1)/2}\sig(h)\sig_3(m-2h)=\frac{\sig_5(m)-3m\sig_3(m)}{48}. \] \vspace{15mm} \rightline{G{\scriptsize IUSEPPE } M{\scriptsize ELFI}} \rightline{Dipartimento di Matematica} \rightline{Universit\`a di Pisa} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%% END OF LATEX FILE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%