[A:45r] ipsam¹ tkb periferiam secante in signo k in ipsa cylindrica superficie: et connectatur kl recta, quae erit communis sectio plani tkb et cylindricae superficiei, quoniam scilicet² cylindrus rectus est, atque ideo planum ipsum tkb basi cylindricae rectum aequidistat axi cylindrico: quare kl eidem axi parallelus, erit circulo b³g a⁴ et ideo rectae tb perpendicularis: praeterea communis sectio circuli tkb et circuli ehg sit recta hn quae per 19^am 11ⁱ circulo bag et ideo rectae tb perpendicularis erit: et connectantur tk, lh. // Aio itaque quod bl, bk ipsis bg, ab mediae proportionales interiacent. Namque quadratum hn per 8^am 6ⁱ aequale est rectangulo en ng et ideo adducta 34^a 3ⁱ rectangulum bn nl unde fit ut angulus bhl sit rectus: cum⁵ angulus blk rectus et bkt rectus. Ergo triangula bhl, blk, bkt similis: unde sequitur ut ipsae bh, bl, bk, bt sint continuo processu proportionales: verum⁶bh ipsi bg et bt ipsi ab aequalis est: igitur et bg, bl, bk, ab sunt in continuum proportionales. Itaque ipsis bg, ab compertae sunt bl, bk mediae proportionales, quod erat faciendum. // Sunt⁷ autem bg,bh aequales, quoniam⁸ sunt latera coni recti, cuius vertex b basisque ehg rectus⁹. Estque inventio Archytae, ut tradunt Eudemus et Eutotius.

p^o octobris 1535¹⁰

Modus Apollonii ut scribit Philiponus et Philonis bizantii. Philoponus quam super p^o posteriorum.¹¹

Sunto datae lineae ab, bc opus est eis duas medias interponere proportionales. // Sint ab, bc ad angulum rectum et compleatur rectangulum abce cui circumscribatur circulus abce et inter ba, bc in infinitum productas protrahatur recta fdeg secans periferiam apud signum de hac conditione, ut fd, eg sint aequales. // Aio itaque quod ab, cg, af, bf sunt continuae proportionales. Nam per 35^am 3ⁱ rectangulum af fb aequale est rectangulo df fe itemque per eadem rectangulum cg gb aequale est rectangulo eg gd sed haec duo rectangula aequalia sunt propter fd, eg lineas aequales. Ergo rectangulum af fb aequale rectangulo cg gb quare per 15^am 6ⁱ fb,bg ut ec, cg propter similitudinem triangulorum ut ab, cg est sic cg, af itemque propter similitudinem triangolorum fb, bg sicut fa, ae ut fa, bc, quare ab, cg, af, bc sunt continue proportionales quod erat faciendum. Et hic est modus Apollonii pergaei, aucthore Ioanne Philopono grammatico alexandrino et Philonis byzantii.

[A:45v] INVENTIO PAPPI

Sunto duae rectae ab, bg quarum maior ab. Oportet ipsis duas medias proportionales invenire. // Ponantur ad angulum b rectum: et super b centrum ad spatium ba describatur circulus aezd et producantur ab, bg ad periferiam ad signa aezd et connexa ag producatur ad periferiam ad signum h

[A:42r] et circa clavum z moveatur canon zt donec portio canonis kl interiacens periferiae et rectae ah bifariam secetur ab ipsa bd in signo m et per signum l ipsi bd parallelus agatur nx sitque sicut na ad ab sic zn ad no itemque sic xn ad np. // Aio itaque quod no, np sunt ipsis ab¹², bg mediae proportionales quodque bg, no, np, ab sunt in continua proportione. // Agatur enim ipsi bd parallelus kr eruntque rb, bn aequales, quandoquidem aequales sunt km, ml. Quare ln ad nz sicut kr ad rz et ideo sicut xn ad na et ideo sicut nz ad nx quandoquidem¹³ nx media proportionalis est ipsis an, nz. Igitur et nz ipsis ln, nx media proportionalis est. Non dubium ergo quin ln, nz, nx, an sint¹⁴ in continua proportione. Scilicet sicut¹⁵ bg ad ln sic ab ad an. Itemque¹⁶ per hypothesim sic no ad nz nec non np ad nx. Quare ex permutata proportione sequitur ut¹⁷ ipsae bg, no, np, ab sint in eadem continua proportione, itaque ipsis ab, bg inventae sunt no, np binae mediae proportionales, quod erat faciendum. // Est autem inventio Pappi / et hac eadem via utitur Diocles. Hac etiam Porus nichaeus.

Hic ponendus est modus quartus inveniendi duas medias proportionales, quem posuimus in speculationibus nostris. Et est modus Heronis¹⁸, qui modus est idem fere cum modo Apollonii et Philonis.

Superant modi Platonis, Eratosthenis, et Nicomedis quos ut minus necessarios dimisimus contenti quatuor praedictis. 30 decembris 1533

Sunt igitur quinque modi inveniendi duas medias proportionales, videlicet Heronis, Philonis, Pappi, Architae et Menechmi. p^o octobris 1535

Item modum a Platone traditum posuimus in alio enchiridio.

[A:42v] INVENTIO PAPPI

Sunto duae rectae ab, bg quarum maior ab. // Oportet ipsis duas medias proportionales invenire. Ponatur ad angulum b rectum et producatur bg ad d et ab ad e et ponatur bd, be ipsi ab aequales et super diametrum ae centroque b describatur semicirculus ade et connectatur ag et extendatur ad periferiam ad signum z et circa clavum e moueatur canon eh donec portio canonis tk interposita periferiae et recta az bifariam secetur ab ipsa bd in signo l et per signum k ipsi bd parallelus agatur mn sitque sicut ma ad ab sic em ad mx itemque sic nm ad mo. // Aio itaque quod bg, mx, mo, ab sunt continuae proportionales. // Agatur enim ipsi bd parallelus tp¹⁹ eruntque bp, bm aequales, quandoquidem aequales sunt tl, lk iisdem parallelis interpositae: quare km ad me sicut tp ad pe et ideo sicut nm ad ma et ideo sicut me ad mn quandoquidem mn media proportionalis est inter am, me igitur et me ipsis km, mn media proportionalis est. Non dubium ergo quin km, me, mn, ma sint in continua proportione: scilicet sicut bg ad km, sic ab ad ma ob similitudinem triangulorum: itemque per hypothesim sic mx ad me nec non mo ad mn quare ex permutata proportione sequitur ut ipsae bg, mx, mo, ab sint in eadem continua proportione itaque ipsis bg, ab binas medias proportionales mx, mo interposuimus quod erat faciendum. // Est autem inventio Pappi et hac eadem via utuntur Diocles et Porus.

Hic ponendus est quartus modus inveniendi duas medias proportionales quem posuimus in speculationibus nostris / et est modus Heronis²⁰. Nam modos Platonis, Eratosthenis et Nicomedis ut²¹ supervacuos negleximus, contenti quartus praedictis. 30 decembris 1533