Circulus aequalis est triangulo rectangulo, cuius quae quidem ex centro aequalis est uni earum, quae circum rectum angulum, perimeter autem basi.

Sit circulus ABGD, et trigonum rectangulum CEF, sitque semidiameter circuli ABG aequalis uni laterum trianguli CEF, quae circum rectum angulum, perimeter autem ABG aequalis reliquo lateri trianguli CEF, quod circum rectum angulum. Aio quod aequalis est circulus ABG triangulo CEF: sit enim, si possibile est, maior circulus trigono in spatio quopiam, utpote Z, et inscribatur circulo per 6. 4. quadratum ABG, sectisque peripherijs bifariam inscribatur octogonum AKB: eritque per primam huius, triangulum AKB maius quam dimidium portionis circularis AKB, et similiter reliqua triangula reliquis portionibus, hoc autem toties faciam, donec per 1. 10. relictae portiones sint minus quam spatium Z, itaque inscriptum polygonium AKB maius erit trigono CEF. Capiatur una perpendicularium a centro circuli N ad latera polygonij AK, ut pote NX perpendicularis ad latus AK, eritque per praecedentem polygonium AKB aequale trigono rectangulo, cuius laterum, quae circa rectum, alterum, ipsi NX, reliquum perimetro polygonij AKB est aequale, sed tale trigonum minus trigono CEF, quandoquidem trigoni CEF latera, quae circa rectum, maiora sunt, ut pote quorum alterum semidiametro NK circuli ABG, quae maior est perpendiculari NX; reliquum perimetro circuli, qui maior perimetro polygonij, aequale est: ergo polygonium AKB minus erit trigono CEF, fuit autem maius, quod est impossibile.

Non est ergo circulus ABG maior trigono CEF. Sit nunc, si possibile est, minor circulus ABG triangulo CEF in spatio quovis, ut puta Z, et circumscribatur circulo per 7. 4. quadratum OH, cuius latera contingant circulum apud puncta A, B, G, D, sectaque peripheria AB bifariam in signo K, similiter et reliquae; agatur per K circulum contingens PKR lateribus quadrati circumscripti occurrens apud P, R, et similiter in reliquis peripherijs BG, GD, DA, eritque per 2. huius triangulum POR maius quam dimidium figurae AOBK, quae videlicet sub rectis AO, OB, et arcu AKB comprehenditur, et similiter reliqua triangula apud angulos quadrati OH maiora, quam dimidia reliquarum figurarum, non ergo cessabo ab huiusmodi peripheriarum bifaria sectione, donec em per figurae, quae a circuli peripherijs, et lateribus circumscripti polygonij comprehenduntur, redigantur ad minus spatium spatio Z; itaque circumscriptum polygonium APRB erit minus trigono CEF. Connectatur ergo centrum N cum uno punctorum, in quibus latera polygonij APK contingunt circulum, ut pote cum puncto K, eritque per praecedentem polygonium APK aequum trigono rectangulo, cuius laterum, quae circa rectum, alterum ipsi NK, reliquum perimetro polygonij APK est aequale, huiusmodi ergo trigonum maius est trigono CEF, quandoquidem trigoni CEF laterum, quae circum rectum, unum ipsi NK est aequale, reliquum vero perimetro circuli, qui minor est perimetro poligonij APK: quare poligonium APK maius est trigono CEF, fuit autem minus quod est absurdum. Non est igitur circulus ABG minor trigono CEF, fuit ostensum quod nec maior, aequalis ergo erit circulus ABG trigono CEF, quod est propositum, Hinc manifestum est, quod circulus aequalis est rectangulo, quod sub semidiametro circuli, et linea aequali, dimidio peripheriae comprehenditur.

Manifestum est ergo, quod ex ductu semidiametri in dimidium peripheriae producitur area circuli.