7^a

31 Circuli perimeter⁷⁸ tripla est diametri et adhuc excedit minori quam septima parte diametri maiori autem, quam decem septuagesimis primis.

Esto circulus ag cuius diameter ag et centrum e.

Aio quod periferia ag minor quidem est, quam tripla sesquiseptima diametri ag maior vero quam tripla superpartiens decem septuagesimas primas.

Agatur ipsi ag ad rectos angulos mgr quae cadet extra circulum per 15^am 3ⁱⁱ. 32 Ponaturque angulus ger dimidium anguli trigoni aequilateri, hoc est tertia pars recti, eritque eg perpendicularis ab angulo trianguli aequilateri ad latus oppositum, dupla ergo erit er ipsius rg et ideo quadratum er quadruplum quadrati rg quare per pen. primi quadratum eg triplum quadrati gr.

Itaque si ponatur er partium 306 fiet gr 153 et eg plus quam 265.

Secetur angulus ger per 9^am primi bifariam, ducta eh eritque per 3^am 6ⁱ sicut er ad rh sic eg ad gh, quare per 13^am 5ⁱ aggregatum⁷⁹ ex ge, er ad totum [A:25v] gr erit sicut eg ad gh, itaque eg ad gh⁸⁰ maior erit quam 571 ad 153, quare ex pen. primi eh ad gh⁸¹ maior quam 5917/50 ad 153.

33 Rursum secto bifariam angulo geh, ducta et, iisdem rationibus adductis fiet eg ad gt⁸² maior quam 11627/50 ad 153, quare et ad gt⁸³ maior quam⁸⁴ 11724/25 ad 153.

Item secto bifariam angulo get, ducta ek, similiter erit eg ad gk⁸⁵ maior, quam 23343/10 ad 153, quare ek ad gk maior, quam 23393/10 ad 153.

34 Adhuc secto bifariam angulo gek, ducta el, non aliter erit eg ad gl⁸⁶ maior, quam 46733/5 ad 153.

Quoniam ergo angulus ger tertia pars recti quater sectus est bifariam, ideo angulus gel erit pars 48^a recti, ponatur ergo ipsi gel aequalis gem, eritque totus lem 24^a pars recti, itaque lm est latus polygonii 96 angulorum circulo ag circumscripti⁸⁷. 35 Cum ergo ml ipsius gl et ag ipsius eg dupla sit, erit sicut ag ad ml sic eg ad gl et ideo sicut ag ad nonagincuplum sexcuplum ipsius ml hoc est ad perimetrum polygonii dicti, sic [A:26r] eg ad nonagincuplum sexcuplum ipsius gl.

Fuit autem maior eg ad gl⁸⁸ quam 46733/5 ad 153; multiplicentur ergo 153 nonagies sexies fientque 14688, quare maior erit eg ad nonagincuplum sexcuplum ipsius gl⁸⁹ quam 46733/5 ad 14688. 36 Itaque maior ag diameter⁹⁰ ad perimetrum polygonii 96 laterum circulo circumscripti quam 46733/5 ad 14688, sed numerus 14688 continet numerum 46733/5 ter et supersunt 6671/5, qui minus est quam 7^a pars ipsius 46733/5. Quare dicti polygonii⁹¹ perimeter triplus est diametri et excedit minori quam septima parte. 37 Sed polygonii⁹² perimeter maior⁹³ circuli perimetro, a fortiori ergo circuli perimeter⁹⁴ triplus erit diametro et excedit minori quam septima parte, et haec est prima pars propositionis.

Ducantur⁹⁵ nunc intra circulum ab, bg⁹⁶ sitque bag angulus 3^a pars recti. Itaque, sicut superius, si ag ponatur partium 1560 fiet bg partium 780, quare ab ad bg⁹⁷ minor, quam 1351 ad 780.

38 Secetur bifariam angulus bag ducta ah secante ipsam bg apud r et connectatur hg eritque angulus bah aequalis angulo bgh per 20^am 3ⁱⁱ, sed angulus hag aequalis angulo bah, ergo angulus bgh aequalis [S:33] angulo hag. Igitur triangula hag, hgr angulos bgh, hag aequales habentia et angulum ahg communem sunt ad invicem aequiangula.

39 Itaque per 4^am 6ⁱ sicut ah ad hg sic gh ad hr et ag ad gr, sed ag ad gr per 3^am 6ⁱ et 13^am 5ⁱ sicut aggregatum ex ga, ab ad bg. Ergo sicut aggregatum ex ga, ab ad bg sicut⁹⁸ ah ad hg.

Quare ah ad hg minor⁹⁹ quam 2911 ad 780 et ideo ag ad gh¹⁰⁰ minor, quam 30133/4 ad 780.

40 Rursus secetur bifariam angulus hag, ducta ta et connexa tg, fiet iisdem adductis, at ad tg¹⁰¹ minor, quam [A:26v] 59243/4 ad 780 et ideo ag ad gt¹⁰² minor quam 5976 ad 780.

41 Item secetur tag angulus bifariam ducta ak, et connexa kg eritque similiter ak ad kg¹⁰³ minor, quam 119003/4 ad 780 et ideo minor, quam 1007 ad 66 et ag ad gk¹⁰⁴ minor, quam 10091/6 ad 66.

42 Adhuc¹⁰⁵ secto bifariam angulo kag¹⁰⁶ per lineam al ductaque lg, non aliter fiet al ad lg¹⁰⁷ minor, quam 20161/6 ad 66 et ideo ag ad gl¹⁰⁸ minor¹⁰⁹ 20171/4 ad 66.

Sed angulus lag est 48^a pars¹¹⁰ recti, et ideo¹¹¹ per 19^am tertii angulus, quem subtendit¹¹² periferia lg ad centrum circuli est 24^a pars recti. 43 Quare recta lg est latus polygonii aequilateri¹¹³ 96 angulorum circulo inscripti, multiplicentur igitur 66 nonagies sexies fientque 6336. Itaque ag ad perimetrum dicti polygonii¹¹⁴ minor erit quam 20171/4 ad 6336. Quare conversim per 26^am 5ⁱ perimeter dicti polygonii ad ag diametrum maior¹¹⁵ erit quam 6336 ad 20171/4. Sed ratio 6336¹¹⁶ ad 20171/4 maior quam tripla superpartiens decem septuagesimas primas. Ergo perimeter¹¹⁷ polygonii ad diametrum maior¹¹⁸ quam triplus¹¹⁹ superpartiens 10/71; sed circuli perimeter¹²⁰ maior¹²¹ polygonii perimetro. Igitur a fortiori, circuli perimeter ad diametrum¹²² maior, quam¹²³ tripla superpartiens 10/71 quod est propositi residuum. [A:27r]

Corollarium¹²⁴

Ex quo quidem calculo manifestum est quod si circuli diameter ponatur partes 497 periferia erit maior quidem quam partes 1561, minor vero quam partes 1562.