|
PROPOSITIO XVIII.
Si conoides parabolicum plano secetur ad aequidistantiam axis ducto; sectio facta parabole est.
Solidum conoides est descriptum a parabola ABC circum axem BD circumducta; sitque axi DBE recta aequidistans FG, super quam erigatur planum erectum super planum parabole ABC, et secans solidum. Aio quod facta sectio parabole erit, cuius axis FG. Ducatur enim FE tangens parabolam ABC apud F; ductaeque occurrat BH tangens parabolam apud B verticem; sumantur, et in linea FG, ut cumque relicta puncta G, K, per quae ducantur ipsi FE tangenti aequidistantes LGM, NKO, eruntque per 46. primi conicorum elementorum ipsae LGM, NKO ordinatae ad diametrum FG, quae per aequalia secabuntur apud G, K puncta: eritque sicut GF apud FK, sic quadratum LG ad quadratum NK: ducantur itaque per puncta G, K plana secantia solidum, erectaque super BD axem, quorum communes sectiones cum parabola ABC sint lineae AC, PQ; eruntque per praemissam, talium planorum sectiones in ipso solido circuli, quorum diametri AC, PQ; communes autem sectiones eorumdem planorum cum plano erecto ad lineam FG sint lineae GR, KS; itaque sectio facta in solido per planum erectum ad lineam FG ibit per puncta F, S, R: et circuli quorum diametri AC, PQ ibunt per puncta S, R; demonstrandum igitur est quod FSR peripheria est parabolae, hoc pacto. Cum AC, PQ aequidistent ipsi BH tangenti, et LM, NO aequidistent ipsi FE tangenti. Iam per 17. tertii conicorum elementorum erit sicut quadratum BH, ad quadratum HF, sic rectangulum PG, GQ, hoc est quadratum GR ad quadratum LG; et sic etiam rectangulum AK, KC, hoc est quadratum KS ad quadratum NK; et permutatim sicut quadratum GR ad quadratum KS, sic quadratum LG ad quadratum NK; fuit autem sicut quadratum LG ad quadratum NK, sic iam GF ad FK. Ergo et sicut GF ad FK, sic quadratum GR ad quadratum KS; quare parabole est FSR: soli enim parabolae inest ea conditio; eiusque axis est FG. Propterea quod plana conoidem secantia per KS, et GR ducta perpendicularia sunt ad planum ABC, et ideo KS, GR erecta sunt ad idem planum ABC, et ideo ad diametrum FKG existente in eodem plano, quod erat demonstrandum.
|