[S:241]

PROPOSITIO XXI.

Cum his pariter demonstrandum est quod facta hyperbole FSR (in primo casu) similis est ipsi ABC, et (in secundo casu) eamdem habebit transversam diametrum cum hyperbole LFM: diversas tamen rectas diametros.

In primo casu fiat ZF ad FV sicut XB ad BI. Dico FV esse rectam diametrum hyperboles FSR: et hyperbole FSR, atque ABC inter se similes esse; quia rectangulum ZKF ad quadratum KS, est sicut XB ad BI (ut in praecedenti propositione ostensum est) seu ut ZF ad FV; quare ex 21. libri primi conicorum Apollonii FV erit recta diameter hyperboles FSR: et sunt transversae XB, ZF perpendiculares ad ordinatas DC, KS, et proportionales rectis diametris. BI, et FV. Ergo hyperbolae ABC, FSR sunt inter se similes.

At in secundo casu utriusque dictarum hyperbolarum transversa erit ZYF. Cum enim per 50. primi conicorum elementorum ZYF sit transversa diameter hyperboles LFM, sit eiusdem hyperboles recta diameter FT per eamdem 50. primi conicorum adinventa: itaque LG poterit rectangulum GF, FT excedens specie ZFT; et NK poterit rectangulum KF, FT excedens eadem specie. Ponatur sicut quadratum LG ad quadratum GR, sic FT ad FV; eritque FV recta diameter hyperboles FSR. Quod sic ostendo. Per primam sexti Euclidis sicut FT ad FV, sic rectangulum GF, FT ad rectangulum GF, FV: item sicut species ZFT ad speciem ZFV. Igitur per 13. quinti Euclidis sicut FT ad FV, sic rectangulum GF, FT cum excessu speciei ZFT ad rectangulum GF, FV cum excessu speciei ZFV; sed FT, ad FV fuit sicut quadratum LG ad quadratum GR: ergo sicut quadratum LG ad quadratum GR, sic rectangulum GF, FT excedens specie ZFT ad rectangulum GF, FV excedens specie ZFV. Aequale autem fuit quadratum LG ipsi rectangulo GF, FT excedenti specie ZFT; et aequale igitur erit quadratum GR ipsi rectangulo GF, FV excedenti specie ZFV. Similiter ostendemus quod quadratum KS aequale erit ipsi rectangulo KF, FV excedenti specie dicta ZFV: et hoc idem ostendetur de quacumque ordinata ad diametrum FG in sectione FSR; itaque ipsius FSR hyperboles transversa est ZYF, recta vero diameter, ad quam possunt ordinatae, ipsa FV. Quod fuit demonstrandum.

Notandum quod praesens propositio adiecta est, sicut et 19. praecedentis vero 20. exequutio ab Archimede omissa fuit, tamquam facilis: sed facilis quidem erat authori, non lectori.