|
PROPOSITIO XXVIII.
Sphaera, et sphaeroides, sive duae sphaeroides figurae inter aequidistantia plana positae sunt rectangulis sub diametris sectionum, quae planis aequidistant proportionales.
Quod 23. huius proposuit de figuris communem axem habentibus, haec concludit de iisdem inter tangentia plana positis. Item quod praecedens de circulo planisque ellipsibus ostendit, haec de sphaera, sphaeroidibusque solidis ratiocinantur. Ponatur circulus, sive ellipsis ABCD, cuius centrum E. Item ellipsis FGHK, cuius centrum L inter lineas tangentes BG, DK, ut in praecedenti dispositae: intelligatur et sphaera, sive sphaeroides AB, CD, et sphaeroides FGHK; quorum quidem solidorum, ipse ABC circulus, sive ellipsis, et FGH ellipsis, sint sectiones a plano per axes ducto factae, cui quidem plano duo plana recta per lineas BG, DK tangentes ducantur; ducta enim plana per quintam huius, tangent solida ABCD, FGHK in ipsis B, G, D, K, punctis, et per 14. undecimi Euclidis aequidistantia erunt; itaque per 6. huius, lineae BD, GH, quae iungunt contactus incedent per sectionum centra; et diametri sectionum erunt: ipse autemAEC, FLH, ut in praecedenti erunt secundae sectionum diametri, in eadem linea [S:272] tangentibus aequidistante.
Demonstrandum est igitur, quod solida ABCD, FGHK proportionalia sunt rectangulis contentis sub diametris AC, FH, et sub reliquis diametris sectionum perpendiculariter insistentium super AC, FH: hoc modo. Per 26. libri de sphaera, et cylindro, et per 22. huius, tam sphaera ABCD, sive sphaeroides, quam sphaeroides FGHK dupla est ad suum conum; qui scilicet eumdem cum solido axim, basisque diametrum habet ipsam secundam solidi diametrum; appellabo itaque solidi ABCD, conum BD; et solidi FGH, conum GK: erit igitur solidum ABCD ad solidum FGHK, sicut conus BD ad conum GK; sed conus BD ad conum GK, sicut basis ad basim: et ideo per 8. et 9 praemissi, sicut rectangulum sub diametris basis ad rectangulum sub alterius basis diametris: bases autem istae sunt sectiones, quas in solidis facit planum aequidistans planis tangentibus ductum per AH lineam, unde si sphaera sit ABCD solidum, circulus erit facta sectio, cuius diameter AC: si sphaeroides, facta sectio erit ellipsis, sive circulus, si BD, GK perpendiculares sint tangentibus: igitur erit, et sicut rectangulum basis seu sectionis AC ad rectangulum basis, seu sectionis FH, sic solidum ABCD ad solidum FGHK: quod est propositum.
|