[S:276]

ARCHIMEDIS

DE NUMERO ARENAE

SIVE

ARENARIUS.

Putant quidam, o Rex Gelon infinitam esse arenam multitudine. Dico vero non solum eam, quae circa Syracusas est, reliquamve Siciliam, sed eam, quae omnem regionem, cum habitabilem, tum inhabitabilem circumstat. Nonnulli vero sunt qui ipsam innumeram quidem non esse assumunt, sed negant ullam esse nomenclaturam, quae ipsius exuperet multitudinem. Qui vero sic sentiunt, manifestum, quod si intelligant ex arena tantum compositum esse acervum, ut eo impleantur, ex salsura, et terrae concavitates, vorsuraeque usque ad aequalitatem supremorum montium, repente pronuncient deesse multo magis numerum, qui hanc excedat multitudinem. Ego vero hoc tentabo demonstrare, et quidem geometricis demonstrationibus, quibus consequeris, numerorum a nobis recensitorum, et datorum in libris ad Zeuxippum scriptis, aliquos esse, qui non solum et arenae multitudinem aequalem terrae repletae, ut diximus, sed eam, quae haberetur par toti mundo exuperent. Non autem ignoras, quod vocetur mundus a multis quidem Astrologis sphaera, cuius centrum est centrum terrae, radius vero aequalis rectae, quae a centro Solis media est ad centrum terrae. Ea vero quae habentur ab astronomis scripta discutiens Aristarchus Samius, hypotheses quasdam scriptis prodidit, ex quibus suppositis consequitur mundum multiplicem esse eius, qui mox praescriptus est. Supponit enim inerrantia sidera, et Solem non moveri: terram vero ferri in gyrum, circa Solem, qui in medio stadio iacet. Stellarum autem non errantium sphaeram, circa ipsum Solis centrum motam, ea esse magnitudine, ut circulus, in quo terra ferri supponitur, eam habeat rationem ad stellarum fixarum intervallum, quam habet centrum sphaerae ad superficiem. Hoc vero manifeste impossibile est. Cum enim centrum sphaerae nullam habeat quantitatem, neque rationem ullam habere ip[S:277]sum ad superficiem sphaerae supponendum est. Admittendum vero, et istud quidem intellexisse Aristarchum. Ex quo enim putamus terram circa mundi centrum constitutam, statuendum adstruxit demonstrationibus ex apparentiis petitis, quam terra rationem habet ad mundum a nobis dictum, eandem habere analogiam sphaeram, cuius est circulus, secundum quem terra girari supponitur ad sphaeram stellarum fixarum. Et maxime videtur orbem, in quo ponit terram moveri, supponi aequalem magnitudine ei quo mundum praescribi diximus. Dicimus itaque quod si ex arena fiat sphaera mole tanta, quantam Aristarchus esse inerrantium siderum orbem supponit, etiam aliquas demonstrari in principiis numerorum nomenclaturas, multitudinem exprimentes, vincentem multitudinem arenae, quae congerie dictam stellarum sphaeram adaequet: suppositis scilicet aliquibus. Quorum primum est, ambitum terrae esse ter mille millium stadiorum et amplius, idque ratum esse, et ab experimentatis demonstrari, sicut et tu assentiris eam ipsam esse trecentorum millium stadiorum. At ego singulatim terrae magnitudinem adaugens, decuplo maiorem pono ipsius ambitum eo, quem primi illi observarunt, nempe ter millies millium stadiorum, et amplius. Deinde diametrum terrae maiorem esse diametro Lunae. Tum diametrum Solis maiorem esse diametro terrae. Similiter ista sumo et convenienter multis superiorum astrologorum. Praeterea diametrum Solis diametri Lunae esse ut trigecuplum et non maiorem: cum inter antiquos astronomos Eudoxo quidem visus sit tantum noncuplus: Phidiae vero Acupatris filio ut dodecuplus. Sed Aristarchus nixus sit ostendere diametrum Solis maiorem esse quam duodevigintuplum diametri Lunae, minorem vero quam vigecuplum. Ego vero istud excedens, ut hypothesis remaneat sine dubio et clare demonstrata, suppono diametrum Lunae ut trigecuplum esse, nec maiorem. Praeterea diametrum Solis maiorem esse latere figurae mille angulorum inscriptae circulo maximo qui sit in mundo. Hoc vero supponimus, cum Aristarchus dicat solem apparere ac si esset vigesima et septingentesima circuli zodiaci pars. Ipse enim consideravit quomodo instrumentis posset excipere angulum, quo sol accommodatur, habentem verticem in oculo. Simile autem quid vere assumere non ita in promptu est: quoniam neque visus, neque manus, neque instrumenta quibus fit observatio, digna satis sunt fide ad accurate demonstrandum. Verum de his disputare nunc intempestivum est, cum et alias frequentius ista determinata fuerint. Caeterum satis mihi est ut propositum demonstrarem, angulum sumere, qui maior sit angulo cui sol accommodatur, habeatque verticem in visu. Et rursum alium angulum sumere, qui non minor sit angulo cui sol accommodatur, et apicem in visu habeat. Constituta ergo ad normam longa regula super plano recto in loco iacente, unde sol oriens conspici queat: tum parvo cylindro tornatili super regula posito confestim ab au[S:278]rora et ortu solis, postquam inceperit circulari radios in horizontem, potueritque ex opposito videri, convertatur regula ad solem. Deinde visus statuatur in extremo ipsius regulae. Cylindrus vero in medio admoveatur inter visum et solem, ita ut adumbretur soli tum separetur paulatim cylindrus ab oculo: et ubi inceperit quid minimum solis intueri ab utraque parte cylindri, sistatur cylindrus. Sic enim accidit ut oculus ab uno puncto intueatur sub rectis ductis ab extremo regulae in loco ubi constitit visus, tangentibus cylindrum, et quidem angulo comprehenso sub istis ductis, minore eo angulo cui sol accommodatur habenti verticem in oculo: propterea quod apparet aliquid solis undiquaque cylindri. Porro quoniam visus non respicit ab uno puncto, sed ab aliqua quantitate, sumatur aliqua magnitudo teres, non minor visu, et hoc rotundo corpore collocato in extremitate regulae ubi oculus sistitur, recta agatur tangens et hoc teres corpus, et item cylindrum: etenim qui comprehenditur angulus sub lineis ductis, minor est angulo in quo sol accommodatur, habente apicem in visu magnitudo autem non minor visu hoc pacto reperietur. Capiantur duo cylindruli leves, aeque crassi inter se, alter quidem albus, alter vero non: praeponentur deinde visui, longius quidem a visu albus, qui vero non albus est, prope oculos, ita ut faciem attingat. Si quidem ergo assumpti cylindruli fuerint visu multo tenuiores, intercipitur a visu proprior cylindrulus, ita ut appareat albus totus esse figura multo exiliori. Si vero non multum quaedam duntaxat albi partes conspiciuntur, undiquaque eius qui prope oculum est. Sumptis itaque cylindrulis eiusmodi ut alter sua crassitie alterum adumbret, et non ampliori loco, talis quidem magnitudo qualis est crassities cylindrulorum hoc efficientium maxime est non minor visu. Verum angulus non minor angulo cui sol accommodatur, verticem habens in oculo, sic sumitur. Remoto secus regulam cylindro, ab oculo ita ut applaudat seu conculcet cylindrus totum solem, et recta linea a regulae extremo in quo est visus, educta stet tangens cylindrum; comprehensus angulus a ductis lineis non minor fit angulo in quo sol accommodatur, verticem habens in oculo. Porro his angulis sic assumptis, dimensoque angulo recto fiebat qui in signo erat, seu maior angulus, minor quam unius patris earum 164. in quas rectus fuerat divisus: minor vero, maior inveniebatur quam una 200. partium, in quas rectus fuerat dissectus. Manifestum itaque est quod angulus cui sol accommodatur, verticem habens in oculo minor est quam una pars earum 164. in quas rectus distribueretur: maior vero quam una pars ex 200. in quas rectus divideretur. His vero persuasis, per quae etiam diameter Solis existit maior latere figurae mille angulorum descriptae in maximo circulo qui sit in mundo: intelligatur planum eductum per centrum terrae, et per visum, statim hac sol fuerit supra horizontem. Et quidem traductum planum secet mundum secundum circulum A.B.G. ter[S:279]ram vero secundum D.E.Z. Solem autem iuxta S.H. circulum. Centrum quidem terrae sit. HF. solis vero C. oculus sit D. Et ducantur rectae tangentes circulum S.H. a puncto quidem D. hae D.L. et D.X. contingentes in N. et T. Sed a puncto HF. hae HF.M. et HF.O. contingentes in. K. et R. et secantes circulum A.B.G. in punctis A. et B. Est quippe maior HF.C. quam D.C. cum supponatur sol esse supra horizontem.

Ita ut angulus comprehen[S:280]sus sub D.L. D.X. maior sit angulo comprehenso sub HF.M. HF.O. Qui vero comprehenditur sub D.L. D.X. maior quidem est quam ducentesima pars recti, sed minor parte eiusdem recti centesima sexagesima quarta. Iste enim angulus est aequalis angulo cui sol accommodatur, verticem habenti in oculo. Angulus proinde comprehensus sub HF.M. HF.O. minor est una parte recti divisi in centum sexaginta quatuor. Recta vero linea A.B. minor est subtendente portionem circumferentiae circuli A.B.G. divisae in 656. partes vero periferiae huius polygoni ad radium circuli A.BG. minorem rationem habent quam 44. ad 7. quia cuiuscunque polygoni inscripti circulo diameter ad radium, minorem rationem habet quam 44 ad 7. Nosti enim a nobis fuisse demonstratum, omnem circuli circumferentiam maiorem esse quam triplam diametri, parte minori quidem septima, maiore vero decem septuagesimis primis. Minorem ergo rationem habet linea A.B. ad HF.C. quam 11. ad 1148. Ita ut minor sit A.B. quam lineae HF.C. centesima pars. Lineae autem B.A. aequalis est diametrus circuli S.H. Quoniam dimidia ipsius, F.A. aequalis est radio C.R. Aequa enim existente HF.C. lineae HF.A. a punctis A. et C. iunctae perpendiculares ad eundem angulum (sunt aequales) manifestum ergo est quod diameter circuli S.H. minor est centesima parte lineae HF.C. Est autem diameter E.HF.I. minor diametro circuli S.H. Quia minor est circulus D.E.Z. circulo S.H. Minores ergo sunt ambae HF.I. et S.C. centesima parte lineae HF.C. ita ut HF.C. minorem habeat rationem ad I.S. quam 100. ad 99. Atque cum HF. minor sit quam HF.C. Tum I.S. minor quam D.T. minorem proinde rationem habet HF.R. ad D.T. quam 100. ad 99. Cum vero trianguli HF.C.R. et D.C.T. sint rectanguli lateraque C.R, C.T. aequalia, alia vero HF.R, D.T. inaequalia. Et maior angulus T.D.C. comprehensus sub D.T, D.C. ad angulum comprehensum sub HF.R. et HF.C. maiorem habet rationem quam HF.C. ad D.C. minorem vero quam HF.R. ad D.T. Si enim duorum triangulorum rectangulorum altera quidem latera quae circa angulum rectum sunt, aequalia fuerint, altera inaequalia: maior angulus eorum qui inaequalibus lateribus adhaerent, maiorem quidem habent rationem, quam maior linea quae subtenditur recto angulo, ad minorem: sed minorem quam maior linea quae circa rectum angulum est, ad minore: ita ut angulus comprehensus sub D.L, D.X. ad angulum contentum sub HF.O, HF.M. minorem rationem habet quam HF.R. ad D.T. quae scilicet minor ratio est quam 100. ad 99. Inde fit ut angulus comprehensus sub D.L, D.X. angulum comprehensum sub illis HF.M, HF.O. minorem rationem habeat quam 100. ad 99. Et quoniam est angulus contentus sub D.L, D.X. maior ducentesima recti parte, erit et angulus comprehensus sub HF.M. HF.O. maior quam partes 99. earum viginti millium in quas rectus secaretur. Ita ut maior fuerit quam una portio [S:281] recti dissecti in 203. partes. Igitur B.A. maior est subtendentem portionem circumferentiae circuli A.B.G. distributae in 812. Est vero lineae A.B. aequalis solis diameter. Manifestum ergo est solis diametrum maiorem esse latere figurae mille angulorum. His suppositis, haec quoque demonstratur: diametrum nempe mundi minorem esse decies millecuplum diametri terrae. Et adhuc diametrum mundi minorem esse quam stadiorum decies millies millenorum millium. Cum enim ponatur diametrum solis non esse maiorem quam trigecuplum diametri lunae, diametrum vero terrae maiorem esse diametro lunae: manifestum est diametrum solis minorem esse quam trigecuplum diametri terrae. Rursus vero cum sit ostensus diameter solis maior esse latere figurae mille angulorum inscriptae circulo qui sit in mundo maximo: patet ambitum dictae figurae mille laterum, minorem esse quam millecuplum diametri solis. Diameter vero solis minor est quam trigecuplus diametri terrae. Proinde ambitus dictae figurae mille angulorum minor est quam ter decies millecuplus diametri terrae. Cum itaque ambitus figurae mille laterum sit minor quam trigesies millecuplus diametri terrae, diametri vero mundi maior quam triplus: siquidem demonstratum est, quod omnis circuli diameter minor est tertia parte cuiuscumque polygoni in eo inscripti, quod pluribus quam sex lateribus contineatur. Quia id tantum est hexagoni in circulo inscripti. Sequitur inde diametrum mundi minorem esse quam decies millecuplum diametri terrae. Cum igitur diameter mundi minor sit quam decies millecuplus diametri terrae, nempe quam decies millies millenorum millium stadiorum. Id ex hoc patet. Quoniam itaque supponitur ambitum terrae non maiorem esse quam trecenties decies millium stadiorum: ambitus vero terrae maior est triplo diametri, quia cuiuslibet circuli circumferentia maior est quam tripla diametri, patet diametrum terrae minorem esse quam stadiorum centies decies millium. Itaque cum mundi diameter minor sit quam decies millecuplus diametri terrae: manifestum quod ipse mundi diameter minor est quam stadiorum decies millies millenorum millium. Porro de magnitudinibus et distantiis ista suppono. De arena vero haec. Si aliqua magnitudo conflatur ex arena non maior papavere, numerum ipsius non maiorem esse quam decem millium: et diametrum papaveris non minorem esse quam quadragesimam partem digiti. Hoc autem statuo quod hoc modo sum contemplatus. Super plana regula papaveres dispositi sunt in rectam lineam sese tangentes, occuparuntque viginti quinque papaveres locum ampliorem longitudine digiti. Verum minorem ponens diametrum papaveris, eam suppono quadragesimam tantum esse digiti partem, nec minorem: volens ita absque ulla ambiguitate demonstrare propositum, quae igitur supposui sunt haec. Nunc utile esse puto numerorum denominationem recensere, ne errent qui non inciderunt in alios [S:282] numeros qui habentur libro ad Zeuxippum scripto, cum de ipsis in hoc etiam volumine nihil dictum fuisset. Accidit autem numerorum nomina usque ad myriadas esse data nobis, et supra myriadas quidem sufficienter novimus, numerum myriadum exprimentes ipsum semper ad myriadas referentes, verum numeri qui ad myriadem myriadum usque protenduntur, dicantur nobis primi. Et horum quidem primorum numerorum myrias myriadum vocetur unitas secundorum, et secundorum numerorum unitates. Et ab unitatibus decem et centeni et milleni et decies milleni sint centum millenorum millium. Rursus myrias myriadum secundorum numerorum vocetur unitas tertiorum numerorum, et numerentur tertiorum numerorum unitates, et ab unitatibus denarii et centenarii et millenarii et decupli millenarii sint centum millena millia. Atque hoc modo tertiorum numerorum myrias myriadum unitas appelletur quartorum numerorum. Et quartorum numerorum myrias myriadum unitas nuncupetur quintorum numerorum. Et semper sic procedentes erunt numeri nomina habentes centum millena millia per centum millena millia multiplicata. Ex his igitur cogniti numeri sat quidem sunt: quamvis liceat ulterius etiam progredi. Hi siquidem nunc recensiti numeri vocantur primae periodi. Extremus vero numerus primae periodi, unitas vocetur secundae periodi primorum numerorum. Rursus et centum millena millia secundae periodi secundorum numerorum: similiter et horum extremus unitas vocetur secundae periodi tertiorum numerorum. Et semper sic numeri progredientes nomina habentes secundae periodi sunt decies millies decem millium numerorum in centum millena millia ductorum. Rursum et ultimus secundae periodi unitas vocetur tertiae periodi primorum numerorum. Et semper sic procedentium sunt decies millies decem millia periodi, aucta per decies millies decem millia numerorum adhuc ductorum per decies millies decem millia. His vero sic denominatis, si fuerint numeri ab unitate proportionaliter deinceps positi: qui autem post unitatem denarius, et ipsi fuerint octo illis cum unitate eorum erunt qui primi numeri vocantur. Alii vero post ipsos octo, secundi vocantur. Et idem reliqui hoc modo ipsis synonymi erunt, distantia octadis numerorum a prima octade numerorum. Octavus igitur numerus primae octadis numerorum est millies decem millia. Primus vero secundae octadis, quoniam decuplus est praecedentis, erit centum millena millia: hic vero est unitas secundorum numerorum. Octavus vero secundae octadis erit millies decem millia secundorum numerorum. Rursus et tertiae octadis primus, quoniam decuplus est praecedentis, erit. centies millena millia secundorum numerorum. Idemque est unitas tertiorum numerorum. Manifestum est igitur plurimas esse posse octades uti dictum est. Caeterum utile est et hoc novisse. Quod si numeri ab unitate proportionales fuerint, et aliqui sese mutuo multiplicaverint eorum qui huius propor[S:283]tionalitatis sunt: quisque a suo multiplicante secundum proportionalitatem tanto abest, quanto minor multiplicantium ab unitate distat. Ab unitate vero aberit uno minus, quam quantus est numerus ex utriusque constans, quibus sese invicem multiplicantes ab unitate absunt. Sint etenim aliqui numeri ab unitate proportionales A. B. G. E. Z. H. T. I. C. L. sit vero unitas A. et D. multiplicet T. factusque sit Q. Assumantur autem proportionalitates T. L. distetque L. a T. tanto quanto D. ab unitate: ostendendum Q. esse aequalem ipsi L. Quoniam enim proportionales sunt, et aequidistat D. ad A. ac L. a T. eandem rationem habet D. ad A. quam L. ad T.Verum D. multiplex est ipsius A. per D. multiplex igitur est L. ipsius T. per D. Ita ut aequalis sit L. ipsi Q. Manifestum igitur est quod aliquis factus ex proportionalitate a maiori multiplicantium sese invicem, aeque dissitus est, ac minor ab unitate dissidet. Patet item quod ab unitate distat uno minus, quam quantus est numerus ex utrisque conflatus, quibus multiplicantes ab unitate absunt. Quot enim sunt hi A. B. G. D. E. Z. I. T. tot distat T. ad A. unitate. Isti vero I. C. L. uno minus sunt, quam quibus D. ab unitate differt. Etenim cum T. tot sunt. His autem suppositis, illis quoque demonstratis propositum ostendetur. Cum enim supponatur diametrum papaveris, non minorem esse quadragesima digiti parte: manifestam, quod sphaera quae digitalem habuerit diametrum, non maior est quam ut contineat plures quam sexaginta quatuor papaverum millia. Sphaerae quippe habentis diametrum quadragesimam partem digiti, multiplex est secundum numerum ductum. Demonstratur etenim quod sphaerae triplam rationem habent eius, quae est diametrorum inter se. Postquam ergo suppositum est arenam coacervatam in molem papaveris, non maiorem esse numero quam decem millium: manifestum, quod si arena impleatur sphaera digitalem habens diametrum, non maior erit arenae numerus quam sexcentorum quadraginta millenorum millium. Est vero huiusmodi numerus, unitates (videlicet 6.) et numerus secundorum numerorum; tum primorum quadraginta millena milia. Minor ergo est quam decem unitates secundorum numerorum. Quae vero centum digitorum diametrum habet sphaera, multiplex est eius quae habet digitalem diametrum semel mille millies: quia rationem habet triplicatam diametrorum inter se sphaerae. Si igitur fiat ex arena sphaera tanta magnitudine, quanta est sphaera habens diametrum digitorum centum, patet minorem fore arenae numerum, quam sit numerus productus ex multiplicatis decem unitatibus secundorum numerorum, per semel millena millia. Cum itaque secundorum numerorum decem unitates decimum constituant numerum ab unitate, in proportionalitate decuplorum laterum; semel vero millena millia septimus sint ab unitate in eadem progressione; manifestum quod factus, sextus erit huius progressionis, et sextus decimus ab unitate. Demonstratur enim [S:284] quod uno minus distat ab unitate, quam sit numerus ex utrisque conflatus, quibus distant ab unitate multiplicantes sese invicem. Horum porro sexdecim, octo priores cum unitate eorum sunt qui primi appellati sunt: qui vero post ipsos, octo secundorum, et ultimus est decies millena millia, secundorum nempe numerorum. Ergo constat multitudinem arenae, magnitudinis mole aequalis sphaerae diametrum habenti qui sit centum digitorum, minorem esse quam decies millena millia secundorum numerorum. Rusus vero, et sphaera quae decem millium digitorum habuerit diametrum, multiplex eius est quae fuerit dimetientis centum digitorum millies, millies, semel. Si igitur fiat ex arena sphaera tanta mole, quanta est ea, quae habuerit dimetientem decem millium digitorum, patet eam fore minorem, quam sit arenae numerus factas ex multiplicatione decies millenorum millium secundorum numerorum per semel millena millia. Cum ergo secundorum numerorum decies millena millia decimus sextus sit numerus ab unitate; tum proportionalia semel millena millia septimus ab unitate in eadem progressione: patet factum numerum esse vigesimum secundum eorum, qui in hac proportionalitate sunt ab unitate horum vero viginti duorum octo quidem primi cum unitate eorum sunt qui dicuntur primi: tum sequentes octo sunt eorum qui secundi appellantur: reliqui sunt tertiorum. Atque ultimus eorum est centum millia tertiorum numerorum. Patet igitur multitudinem arenae in molem congestae parem sphaerae, quae diametrum habeat decies millium digitorum, esse minorem centum millibus tertiorum numerorum quoniam autem minor est sphaera habens diametrum unius stadii, sphaera quae habuerit diametrum decem millium digitorum: patet multitudinem arenae cumulatae in acervum aequalem sphaerae dimetientis unius stadii, minorem esse quam centies mille tertiorum numerorum. Adhuc sphaera quae habet diametrum centum stadiorum, multiplex est sphaerae diametri unius stadii semel millies, millies. Si igitur fiat ex arena sphaera tanta magnitudine, quanta est habens diametrum centum stadiorum, manifestum quod minor erit arenae numerus eo qui producetur ex multiplicatis centum millibus tertiorum numerorum per semel millena millia. Et quia centum haec millia tertiorum numerorum sunt vigesimus secundus numerus proportionalitatis ab unitate: haec vero semel millena millia septimus ab unitate eiusdem proportionalitatis, erit sane factus vigesimus octavus ab unitate, istius progressionis. Porro horum viginti octo, primi quidem octo cum unitate sunt eorum qui primi dicuntur. Qui vero post ipsos alii octo. Secundorum alii rursus sequentes octo, sunt tertiorum: reliqui demum quatuor eorum sunt qui dicuntur quarti. Et extremus illorum est mille unitates quartorum numerorum. Manifestum itaque arenae multitudinem in sphaeram deformati diametri centum stadiorum, minorem esse mille unitatibus quartorum numerorum. Praeterea sphaera diametri stadiorum decem millium, multiplex est sphaerae diametri stadiorum [S:285] centum, semel millies, millies. Sphaera ergo si ex arena fiat tanta mole ut eam adaequet sphaeram quae habeat diametrum decem millium stadiorum: equidem minor erit arenae multitudo eo qui nasceretur numero ex mille unitatibus quartorum numerorum ductis in semel millena millia. Quoniam vero quartorum numerorum mille unitates faciunt vigesimum octavum progressionis numerum ab unitate: semel vero millena millia septimum eiusdem progressionis ab unitate: patet quod factus numerus erit ipsius progressionis ab unitate quartus et trigesimus. Horum vero quatuor et triginta primi octo cum unitate primorum numerorum sunt. Qui vero post ipsos sunt octo secundorum: tum qui sequuntur octo alii, tertiorum, et qui sunt deinceps quartorum. Reliqui duo sunt eorum qui vocantur quinti, et ultimus quidem eorum est decem unitates quintorum numerorum. Clarum itaque est multitudinem arenularum ea mole collectarum quae sphaerae aequalis sit habenti diametrum decem millium stadiorum, minorem esse quam decem unitates quintorum numerorum. Ad haec sphaera habens diametrum stadiorum semel millenorum millium, sphaerae diametrum habentis longum decies mille stadiis, est millies millecuplus. Si ergo fiat ex arena sphaera tanta magnitudine, quanta est sphaera habens diametrum stadiorum semel millium, constat arenae numerum minorem fore eo qui fieret ex ductu decem unitarum quintorum numerorum, per semel millena millia. Atque, quoniam quintorum numerorum decem unitates constituunt trigesimum quartum proportionalitatis numerum ab unitate: semel vero millena millia. Septimum ab unitate ipsiusmet progressionis: patet quod fictus erit eiusdem proportionalitatis quadragesimus ab unitate. Atque horum quadraginta octo quidem primi cum unitate sunt primorum numerorum. Secundi octo sunt secundorum: tertii octo sunt tertiorum: quarti octo sunt quartorum, et denique octo postremi sunt quintorum: et ultimus eorum est decies millies millia quintorum numerorum. Apparet ergo arenae multitudinem magnitudinem habentem aequalem sphaerae diametrum habenti semel millenorum millium stadiorum, non attingere decem millena millia quintorum numerorum. Iam vero sphaera habens diametrum stadiorum centies millies mille, multiplex est sphaerae, cuius diameter sit semel millenorum millium stadiorum, semel, millies, millies. Si vero fiat sphaera ex arena tanta magnitudine, quanta est sphaera quae diametrum habeat stadiorum centies millies mille, patet quod minor erit arenae numerus producto numero ex decies millenis millibus quintorum numerorum multiplicatis per semel millena millia. Quoniam autem quintorum numerorum decies millena millia quadragesimus est ab unitate proportionalis at semel millena millia septimus ab unitate eiusdem ordinis: constat genitum esse quadragesimum sextum ab unitate horum praeterea quadraginta sex, [S:286] octo quidem primi cum unitate, eorum sunt qui primi dicuntur: octo alii proximi sunt secundorum: sequentes octo sunt tertiorum: tum post tertios alii octo sunt quartorum: et qui post quartos, sunt quintorum: reliqui tandem sunt sextorum: et extremus eorum est centum millia sextorum numerorum. Clarum est itaque, quod multitudo arenae ea quantitate conglobatae ut aequetur sphaerae diametrum habenti, stadiorum semel millies millies millenorum millium minor est quam 100. millia sextorum numerorum. Sphaera itidem habens diametrum stadiorum decies millies millenorum millium, sphaerae habentis diametrum stadiorum centies millenorum millium, est semel millies millecupla. Si igitur fiat ex arena globus tantus crassitie, quanta est sphaera habens diametrum stadiorum decies millies millenorum millium: manifestum quod arenae multitudo minor erit numero procreato ex centum millibus sextorum numerorum ductis in semel millena millia. Cum autem sextorum numerorum centum millia, sextus et quadragesimus sit ab unitate proportionis: semel vero millena millia septimus ab unitate in eadem progressione: patet quod genitus numerus fuerit quinquagesimus secundus ab unitate eiusmodi progressionis: horum vero quinquaginta duorum primi quadraginta octo cum unitate sunt eorum qui primi dicuntur, secundi, tertii, quarti, quinti, et sexti. Reliqui vero quatuor sunt eorum quos septimos dicimus. Et postremus eorum est mille unitatum septimorum numerorum. Apparet igitur arenae multitudinem quae tantae molis sit, ut exaequet sphaeram quae diametro sit stadiorum decies millies millenorum millium, minorem esse mille unitatibus septimorum numerorum. Quoniam itaque demonstratus est mundi diameter minorem esse stadiorum decies millies millenorum millium. Manifestum est arenae multitudinem conformatae in molem mundo aequalem, minorem esse quam sint mille unitates septimorum numerorum. Similiter et multitudo arenae mola pari ei, quod a multis astrologis appellatum est mundus, ostenditur minor quam sint mille unitates septimorum numerorum: quod etiam multitudo arenae sphaericae molis tantae, quantam Aristarchus supponit inerrantium siderum sphaeram, minor sit decem millenis millibus octavorum numerorum demonstrabitur. Cum etenim supponatur terram eam habere rationem ad huncdictum a nobis mundum, quam habet rationem dictus mundus ad stellarum fixarum sphaeram ab Aristarcho positam; et diametri sphaerarum eom ipsam rationem habeant inter se; diameter vero mundi ostensus sit minor quam decies millecuplus diametri terrae: sequitur diametrum sphaerae stellarum fixarum minorem esse quam diameter mundi decies millecuplum. Cum itaque sit ut sphaerae habeant inter se triplicatam rationem diametrorum, planum est, quod inerrantium astrorum sphaera quam Aristarchus supponit, minor sit, quam semel millies, millies, millies, millecuplus mundi. Ostenditur enim, multitudinem arenae mundum mole referentis minorem esse, quam mille unitates septimorum numero[S:287]rum. Patet ergo, quod si sphaera ex arena fiat, tanta magnitudine, quantam Aristarchus supponit inerrantium esse siderum sphaeram, minor erit huius arenae numerus, quam qui fit ex multiplicatione mille unitatum per semel millies mille, millenaria, millia. Et quoniam istae mille unitates septimorum numerorum sunt progressionis quinquagesimus secundus ab unitate: semel vero millies, mille millenaria millia decimus tertius ab unitate eiusdem proportionalitatis: consentaneum est factum fore eiusdem progressionis quartum ab unitate, et sexagesimum. Iste vero est octavorum octavus, et decem millena millia octavorum numerorum. Consequens ergo est quod arenae multitudo quae excreverit in molem aequalem sphaerae non errantium siderum, quam Aristarchus supponit, minor sit quam decem millena millia octavorum numerorum. Haec autem, O Rex Gelon multis qui non facti sunt mathematicarum artium participes, incredibilia apparere intelligo: iis vero qui eas degustarint, quique meditati sunt distantias, et magnitudines terrae, solis, lunae, totiusque mundi, credibilia ex demonstratione forent. Propterea existimavi quibusdam non incongruum videri, ista contemplari.