PROPOSITIO XVII.

Quod si recta spiram secundae revolutionis contingat: illud idem eveniet.

Sit spira secundae revolutionis HKD; linea tangens EF; punctum contactus D; et cetera, ut prius. Iam enim et similiter ostendetur quod angulus ADF non est acutus, (quoniam ut antea, peripheria circularis DR intra spiram, et perinde intra lineam DF cadit) sed nec rectus. Sit enim si possibile est angulus ADF rectus: tunc autem per 16. tertii elementorum linea EF tanget circulum RDN in puncto D; ducatur AGD, ducatur item ACSRLI secans spiram apud L, et circulum apud R; ita ut per 3. huius ut prius, ratio lineae RI, ad AR lineam minor sit, quam ratio DR peripheriae ad totam circuli RDN, peripheriam, una cum peripheria DNT sumptam; et hinc coniunctim erit ratio totius IA lineae ad AR minor quam ratio peripheriae RDNT cum tota circuli RDN peripheria ad totam circuli RDN peripheriam cum DNT peripheria sumptam, hoc est minor quam SGK peripheria GKH peripheria sumptam. Sed per 15. huius, sicut est peripheria SGKH cum toto circulo ad peripheriam GKH cum toto circulo, sic est linea AL ad lineam AD. Igitur maior est ratio lineae AL ad lineam AD, quam lineae IA ad lineam AR; et permutatim maior est ratio lineae AL ad lineam IA, quam lineae AD ad lineam AR; sed AD, AR sunt inter se aequales: igitur AL longior quam AI, pars toto, quod est impossibile. Non est igitur angulus ADF rectus, sed nec acutus, itaque obtusus erit, quod est propositum.

COROLLARIUM.

Similiter in quacumque spira tertiae, quartae, et quotaecumque revolutionis, recta spiram tangens cum recta iungente initium spirae, et contactum demonstrabitur, obtusum comprehendere angulum ad partes ubi spira dilatatur.