PROPOSITIO XXI.

Sumpto spatio sub spira primae revolutionis, et recta, quae initium est revolutionis comprehenso; potest figura circumscribi, et inscribi, ita ut circumscripta, et inscripta ex frustis, seu sectoribus similibus sint compositae, et haec ab illa superetur excessu, qui quocumque dato spatio minor existat.

Sit spira primae revolutionis ABCDE, cuius initium A, linea exordii AE; primus circulus EFGH, cum diametris EAG, FAH se vicissim ad rectos secantibus. Oportet spatio sub spirali ABCDE, rectaque AE figuram circumscribere, et inscribere eo modo, quo proponitur. Secentur anguli recti bifariam, iterum, atque iterum ductis semidiametris AK, AL, AM, AN, donec deveniatur ad sectorem dato spatio minus; sitque illud LAE: tales autem semidiametri secabunt spiram utpote AL in puncto O; AK in puncto R; AM in puncto Y: AH in puncto D; AN in puncto ; et receptae a peripheria spiralis ad centrum A; scilicet A, AD, AY, AR, AO crescunt continuatim, et aequalibus differentiis per 10. huius, quo fit ut circulares peripheriae super centro A secundum receptarum intervalla descriptae, secent spiram hinc inde intus, et extra spiram, semidiametris occursantes; quae peripheriae sint POQ, SRT, XYZ, VDI. Quibus peractis iam satisfactum est proposito. Namque figura spirali formae circumscripta constat ex quinque frustis, scilicet LAE, QAO, TAR, ZAY, IAD similibus: quan[S:215]doquidem sunt sectores circulorum sub aequalibus angulis contenti, figura vero spirali formae inscripta constat ex quatuor frustis PAO, SRA, XYA, VDA similibus, et aequalibus singulis frustis figurae circumscriptae. Nam frustum OAP, ipsi QAO; frustum RAS ipsi TAR; frustum XYA ipsi ZAY; frustum denique VDA ipsi IAD aequale est, et omnia sunt similia: quoniam similes sunt circulares sectores, itaque figura circumscripta excedit inscriptam in frusto LAE. Quod fuit dato spatio minus, quod possibile factu proponitur esse.

COROLLARIUM.

Ex hoc manifestum est, quod dicto spirali spatio potest figura tum circumscribi, tum inscribi, qualis dicta est; ita ut circumscripta superaddat spirali formae minus quocumque dato spatio; et inscripta diminuat ab eadem area spirali minus quocumque dato spatio. Nam si excessus circumscriptae super inscriptam datur minor quocumque proposito spatio: multo minor erit excessus circumscriptae super spiralem formam; et spiralis formae super inscriptam.