F  r  a  n  c  i  s  c  i        M  a  u  r  o  l  i  c  i        O  p  e  r  a        M  a  t  h  e  m  a  t  i  c  a
Introduzione Help Pianta Sommario
Demonstratio algebrae
App. =

[A:1r] [a:19r] DEMONSTRATIO ALGEBRAE1

1 Multae quaestiones in calculo solvi possunt per positionem ut, supposita quantitate quaesiti per nomen adhuc ignotum, ad eius postea notitiam perveniatur. Regulae autem quaedam sunt2 positionum: quas Arabes inventores Algebra dicunt. Cuius terminos intelligere operae precium est. Utuntur3 hac regula nonnulli magnae authoritatis viri de quorum numero est Jo. de monte regio, in opere, quod scripsit contra Cusae quadraturam. 2 Sicut itaque4 unitas, radix, quadratum, cubus, quadratum secundum5 sunt in proportione continua6: ita et algebrae authores7 ponunt terminos suos continue proportionales qui sunt8 numerus, res, census, cubus, census secundus et sequentes in infinitum dignitates, vocabulis deficientibus; quod et in9 numeris accidit. Nam cum processus fiat in infinitum10, nomina omnino deficiunt.

3 Itaque numerus est omnis quantitas cognita; quae toties positam continet, unitates habet numerus eam representans11. Res autem est quantitas terminata, sic vocata, dum ignota est. Haec in se ducta producit censum. Res autem censum multiplicans producit cubum. Et cubum multiplicans generat censum secundum. 4 Quippe qui ex censu in se ducto consurgit. Ut enim in Elementis ostensum est, in ordinem harum dignitatum (quae sunt in proportione continua) unaquaeque ipsarum in se ducta producit id, quod fit ex ductu duarum collateralium, vel12 ex ductu duarum ab illa aequaliter hinc et inde13 distantium. 5 Et ideo utraque producit totam a se, quota est ipsa ab unitate. Quia unitas in illam producit eandem. Item et [A:1v] duae quaelibet se invicem multiplicantes producunt illud, quod fit ex ductu duarum collateralium, vel ex ductu duarum ab illis aequaliter utrinque14 distantium. 6 Unde semper ex ductu alicuius earum in se, vel ex ductu duarum quarumlibet, producitur aliqua, quae in ordine ipsarum invenitur. Et quoniam unitas, quae numeri nomen sortitur, est in ordine ipsarum, idcirco proportio continuata ipsarum erit aliqua ex multiplicibus ut dupla, tripla, quadrupla, quincupla et deinceps; tam scilicet crescendo supra unitatem, quam infra eam in simili proportione frangendo. Exempli gratia in proportione quincupla:

figura 1

Potest15 esse et alia, quam multiplex proportio: ubi fractio aliter poscit.

[a:19v] 7 Quandocunque igitur in calculo cognoscitur aliqua aequalitas inter has dignitates licebit inde coniicere quantitatem, seu valorem, seu precium rei, quae ponebatur pro quantitate quaesita, atque ita satisfieri propositae quaestioni. Sed talis aequalitas attenditur sive in collatione duarum dignitatum collateralium16, sive per aliquam vel aliquot medias aequaliter17 distantium. 8 Et pro tali aequalitate datur prima regula. Aut aequalitas intelligitur cum aggregatum duarum dignitatum fuerit aequale alteri ex dignitatibus18, ita tamen ut tales tres dignitates sint aut collaterales aut aequaliter (hoc est per singulas vel totidem medias) remotae. 9 Itaque si minimae et mediae [A:2r] congeries conferatur maximae, dabitur in eo casu secunda regula. Si vero19 minimae et maximae aggregatio aequiperet mediam20, fiet tunc tertia regula. Si demum21 mediae et maximae cumulus adaequetur minimae22, tunc assignabitur quarta regula.

10 Exemplum primae regulae: ut si numerus sit aequalis rebus23, vel si res adaequent24 censum, vel si25 res aequiperent26 cubum, vel una quaelibet unam quamlibet dignitatem. Exemplum secundae regulae. Ut si numerus cum rebus adaequaverint censum; vel si res cum censu valeant cubum. Et ita de reliquis dignitatibus collateralibus. 11 Vel si numerus cum censu aequivaleant censum secundum. Et ita de reliquis dignitatibus per unam vel totidem medias aequidistantibus. Exemplum tertiae regulae. Ut si numerus cum censu adaequaverint27 rem. Vel si res cum cubo aequiperent censum. Et sic pro tribus quibuscumque dignitatibus collateralibus. 12 Vel si numerus cum censu secundo aequivaleant censum. Et ita de reliquis per unam vel totidem medias disterminatis. Exemplum quartae regulae, ut si res cum censu adaequent numerum. Vel si census cum cubo valeat rem. Et similiter pro tribus aliis collateralibus. Vel si census cum censu secundo aequiperent numerum. Nec secus pro tribus quibusvis per unam vel totidem medias distinctis.

figura 2

[A:2v] [a:20r] 13 Docebo nunc, quo pacto ex aequalitate dignitatum inter calculandum occurrente, notescat quantitas, valor seu precium rei quaesitae28: atque ita satisfiat quaestioni regulas29 demonstrans et pro singulis exemplum adducens congruum.

Prima Regula

14 Cum duae dignitates fuerint inter se aequales, partire minorem per maiorem. Nam quod exibit ex divisione, erit precium rei, si dignitates sunt collaterales. Si autem distent per unam mediam: tunc eius, quod exibit ex divisione30, radix quadrata fiet precium rei. Si vero distent per duas medias: tunc eius, quod exibit, radix cubica erit precium rei.

15 Exempli gratia, sint 2 res aequales numero 10: partior 10 per 2, et proveniunt 5 precium scilicet rei. Item si 2 census sunt aequales 10 rebus idem precium proveniet. Sic etiam si duo cubi fuerint aequales 10 censibus. Namque sicut res ad unitatem, ita tam census ad rem, quam cubus ad censum, in hoc casu quincuplus est. 16 Quod si 2 census sint aequales numero 50, vel si 2 cubi res 50 adaequaverint: partior tunc 50 per 2 et proveniunt 25. Cuius radix quadrata scilicet 5, tunc fit precium rei, quoniam collatae dignitates per unam mediam distant. Quod ideo fit quoniam proportio dignitatum31 distantium per unam mediam dupla est ad proportionem collateralium. 17 Et sicut ex divisione illarum provenit res, ita ex partitione harum provenit quadratum rei, hoc est census. At si 2 cubi aequiperent numerum 250, nunc (quoniam duae mediae interiacent dignitatibus) ex divisione 250 [A:3r] per 232 provenient 125 cubus scilicet rei quaesitae, quoniam triplicatur proportio. 18 Atque ideo nunc radix cubica numeri 125 scilicet 5 sumitur pro precio rei. Sicut autem hic pro dignitatibus per quincuplam proportionem procedentibus, ita et pro aliis per duplam, triplam, quadruplam et aliam quamvis multiplicem multiplicem33 dispositis faciam. Atque34 haec est demonstratio primae regulae.

Secunda Regula

19 Cum ex tribus dignitatibus aequalitas fit inter congeriem minimae et mediae, et inter maximam: tunc cape 1/2 mediae35. 20 Et talis dimidii quadratum coniunge cum minima. Et aggregati radicem iunge cum dimidio predicto. Et conflabis precium rei, cum dignitates sunt collaterales; vel quadratum talis precii, si dignitates distent per singulas medias; vel cubum precii, si per binas.

21 [a:20v] Exempli gratia, A 1036 numerus cum B 3 rebus aequivaleat censui AB quod est quadratum37. Quaero precium rei. Sit res ce latus scilicet census AB. Sitque38 de rerum numerus datus. Eius 1/2 df vel fe scilicet39 11/2; huius 1/2 quadratum 21/4. Hoc cum A 10 numero facit 12 1/4. Huius radix cf 31/2, quae cum fe 1/2 dicto, conflat totum ce40 5 precium rei41.

figura 3

22 Nam per 6am Secundi Elementorum
quadrato cf  121/4 aequiperat ad
. rettangolo ec cd scilicet A 10
quadrato df scilicet 21/4

Sic demonstratur secunda regula. Quando scilicet tres dignitates fuerint collaterales. Si distent per singulas medias42 habebis quadratum quaesitae rei. Si distent per binas, habebis43 cubum. Sicut ratio proportionum requirit44.

Tertia Regula

[A:3v] 23 Cum ex tribus dignitatibus congeries minimae cum maxima fuerit aequalis mediae: tunc cape 1/2 mediae. Et ab eius quadrato aufer45 minimam. Et residui46 radicem iunge cum dicto dimidio et habebis precium rei. Vel a dicto 1/2 aufer47 dictam radicem: et supererit precium rei. 24 Nam utroque modo, <uno48> vel altero (ut postulat positio) satisfiet quaestioni, cum dignitates sunt collaterales. Vel supererit49 quadratum talis precii, si dignitatibus intersint singulae mediae. Vel cubus ipsius precii, si binae mediae.

25 Exempli gratia, A 10 numerus cum B censu 1 aequivaleat Ab 7 res50.

figura 4
Sit cd latus unum numeri, de latus census in prima descriptione. At cf 31/2 dimidium rerum. Huius quadratum 121/4. Hinc demo 10 scilicet51 A numerum et supersunt 21/4 ; huius radix df 11/2 quae cum fe dimidio dicto scilicet52 31/2 facit 5, quod est53 precium rei. 26 Vel ab ipso 31/2 (sicut in altera figuratione) demo df 11/2 et relinquitur cd, 254 precium rei.
figura 5

Nam per 5am Secundi Elementorum

quadrato  cf 121/4 aequivalet ad
. rettangolo cd de scilicet A 10
quadrato df scilicet 21/4

Sic demonstratur tertia regula, cum scilicet tres dignitates fuerint collaterales. 27 Quod si distent per singulas medias habes quadratum rei. Si vero per binas cubum. Ita enim postulat ratio proportionum55.

Nunc veniemus ad quartam regulam.56

[A:4r] [a:21r] Quarta Regula

Quando ex 3 dignitatibus cumulus mediae ac maximae adaequaverit minimam: tunc cape 1/2 mediae; cuius quadratum coniunge cum minima. Et ab aggregati radice deme dimidium mediae predictum. Nam supererit precium rei, si dignitates sint collaterales. 28 Vel quadratum talis precii, si dignitates57 desgregentur per singulas medias. Vel cubus precii, si per binas.

Exempli gratia: A 4 res cum B censu 1 adaequentur ipsi ab numero 45. Quaeritur precium rei. 29 Sit cd numerus rerum de latus census hoc est res ipsa. Et cf dimidium rerum scilicet58 2. Huius quadratum 4 quod cum 45 numero facit 49. Cuius radix 7 scilicet ef59; hinc demo 2 dimidium predictum60 et supersunt 5 scilicet de precium rei.

figura 6

30 Nam per 6am 2i Elementorum

quadrato  ef scilicet61 49 conflatad
. rettangolo  ce cd scilicet 45
quadrato  df scilicet 4

Sic demonstratur quarta regula, cum scilicet 3 dignitates extiterint collaterales. Quod si intercipiant singulas medias, habes quadratum rei. Si binas, cubum ob rationem in primam regulam assignatam et in caeteris62 commemoratam.

31 Oportet autem ut in dignitatum aequalitate census redigatur ad unitatem quo regula procedat per demonstrationes et calculum63. Quod enim hic demonstratur in numero, re, ac censu per lineam, aream64, et quadratum, ex 5a et 6a 2i Elementorum, verificatur de omnibus quantitatibus proportionalibus, per numerarios terminos assignatis. 32 Quem ad modum quidquid demonstratur in 2o, 5o, 7o, 8o, 9o ac 10o Elementorum libris de lineis et [A:4v] areis ac numeris65, idem concluditur de omnibus per numerarios terminos assignatis quantitatibus sicut nos in Secundo Arithmeticorum latius docuimus. Nunc exempla singulis regulis applicabimus66.

[a:21v] Exempla primae regulae

33 Est numerus quidam, cuius quadratus est 2/3 sui cubi: quaeritur. Ponatur numerus ipse67 1 res. Eritque eius quadratum 1 census, atque cubus 1 cubus. Quare, iuxta hypothesim 2/3 cubi adaequant 1 censum. Hoc est sunt 2 dignitates aequales. Itaque, per primam regulam, partior census per cubos, hoc est, partior 1 per 2/3 et proveniunt 11/2 precium scilicet rei, et numerus quaesitus, quoniam dignitates sunt collaterales68. 34 Et convenit suppositioni69. Nam huius numeri 11/2 quadratus scilicet 21/4 est 2/3 sui cubi scilicet 33/8.

Quaero70 numerum, qui 4/9 habet sui cubi. Ponatur talis numerus 1 res eritque cubus eius 1 cubus. Atque ideo per hypothesim 4/9 cubi aequant 1 rem. 35 Per regulam ergo primam, partior res per cubos, hoc est partior 1 per 4/9 et prodeunt 21/4. Et hoc est71 quadratum precii rei72, quoniam dignitates distant per unam mediam. Igitur radix quadrata huius numeri 21/4 hoc est 11/2 fit precium rei. Et talis est quaesitus numerus qui iam habet 4/9 sui cubi qui est 33/8.

36 Sunt duo numeri quorum alter ad alterum duplus, productum autem minoris in quadratum maioris est 108: [A:5r] quaero singulos. Pono minorem 1 rem. Quare maior erit duae res. Eius quadratum 4 census. Unde productum illius in hoc quadratum erit 4 cubi. Igitur per hypothesim 4 cubi aequabunt 108. Et idcirco per regulam primam, partior 108 per 4 et proveniunt 27. 37 Et hic erit cubus precii rei quaesiti, quoniam dignitates distant per medias binas73. Ergo radix cubica huius numeri74 27 hoc est 3, erit precium rei. Et tantus est minor numerus. Quare maior erit 6 quia duplus. Et iam 3 multiplicans 36 facit 108.

Exempla secundae regulae

38 Numerus quidam coniunctus cum 42 conflat suum quadratum: quaeritur. Ponatur 1 res: eius quadratum erit 1 census. Igitur 1 res cum 42 adaequant 1 censum75. Ita ex tribus dignitatibus collateralibus, numero, re, censu mini[a:22r]ma cum media aequivalent maximae. 39 Quare, per secundam regulam, sumo quadratum 1/2 rerum scilicet 1/4 cui iungo 42 numerum et conficio 421/4, cuius radix quadrata 61/2; cui iungo 1/2 rerum scilicet 1/2 et conficio 7 et hoc est precium rei, quoniam dignitates erant collaterales. Igitur quaesitus numerus est76 7 qui iam coniunctus cum 42 conflat77 49 suum quadratum.

40 Quaeritur numerus cuius quadratum cum 72 coniunctus constituit78 suum secundum quadratum. Ponatur 1 res eritque suum79 quadratum80 1 census; secundum vero quadratum unus census secundus. Itaque 72 cum 1 censu [A:5v] aequivalent 1 censum secundum. Quare ex 3 dignitatibus, numero, censu, ac censu secundo aequidistantibus minima cum media aequiperant maximam. 41 Et ideo per regulam secundam capio dimidium mediae scilicet 1/2 eiusque quadratum 1/4 quod iunctum cum numero 72 facit 721/4 cuius radix quadrata est81 81/2. Cui iungo dimidium mediae predictum scilicet 1/282 et conficio83 9 quod est quadratum precii quaesiti, quoniam dignitates distant per singulas medias. Radix ergo quadrata84 talis numeri hoc est 3 est precium rei. Cuius iam quadratum 9 iunctum cum 72 conflat 81 secundum quadratum rei eiusdem.

42 Quidam numerus, cuius cubus cum 702 coniunctus conflat quadratum sui cubi, quaeritur. Ponatur 1 res eius cubus erit 1 cubus Igitur quadratum sui cubi erit 1 census cubi. Itaque per hypothesim 702 numerus cum uno cubo adaequant 1 censum cubi. Quare ex 3 dignitatibus aequidistantibus minima cum media adaequant maximam. 43 Et idcirco sequens preceptum secundae regulae, capio dimidium mediae, scilicet 1/2, cuius quadratum 1/4 iungo cum minima, scilicet cum numero 70285 et conficio86 7021/4. Cuius radix quadrata 261/2. Cui iungo dimidium mediae dictum, scilicet 1/2 et conflo87 27 cubus scilicet precii quaesiti88, quoniam dignitates distant per binas medias. 44 Radix ergo cuba talis numeri, hoc est 3 erit precium quaesitum rei. Iam enim eius cubus 27 coniunctus cum 702 consummat 729 [A:6r] quod est quadratum sui cubi, sicut positio postulat.

[a:22v] Exempla tertiae regulae

45 Sunt duo numeri, quorum congeries 13, productum autem89 36: quaero singulos. Ponatur unus 1 res. Ergo reliquus erit90 13 minus 1 re. Duco hoc in illud, et produco 13 res minus 1 censu; hoc ergo productum91 per hypothesim aequiperat 36. Appono utrobique 1 censum et erunt 13 res aequales 36 numero cum 1 censu. 46 Ita ex 3 dignitatibus collateralibus minima cum92 maxima aequivalent mediam. Quare per tertiam regulam, capio dimidium mediae scilicet 61/2, cuius quadratum 421/4. Hinc demo minimam scilicet 36 et supersunt 61/4; cuius radicem scilicet 21/2 iungo cum dicto dimidio scilicet cum93 61/2 et conflantur 9 precium scilicet rei, quoniam dignitates sunt collaterales. 47 Et94 tantus est unus ex quaesitis numeris. Igitur reliquus 4, quoniam amborum summa fuit 1395. Estque iam eorum productum 36 sicut hypothesis vult96. Vel dictam radicem 21/2 aufero97 a dicto dimidio 61/2 et supersunt 4 pro precio rei, qui est unus quaesitorum numerorum. Unde, reliquus erit 9. Et utroque modo satisfit quaestioni. 48 Aliquando eligitur unus tantum modus, conveniens supposito.

Est numerus, cuius secundus quadratus coniunctus cum 18 conflat undecuplum sui quadrati: quaeritur. Ponatur 1 res. Eius quadratus 98 1 census. At secundus quadratus erit99 1 census secundus100. Ita iuxta hypothesim 1 census secundus101 cum 18 aequiperant 11 census. Sic ex 3 dignitatibus aequidistantibus, minima et maxima aequiperant mediam. 49 Ergo per tertiam regulam capio dimidium mediae scilicet 51/2, cuius quadratum 301/4; hinc aufero102 minimam 18 et supersunt 121/4 cuius radix 31/2 [A:6v] coniuncta cum dicto dimidio, scilicet cum103 51/2, (nam subtracta non respondet104) [1] conflat 9, quod est quadratum precii rei, quoniam dignitates distant per singulas medias. 50 Igitur radix 9 hoc est 3 fit precium rei quaesitum. Cuius iam secundum quadratum scilicet 81 cum 18 conflat 99, quod est undecuplum quadrati precii scilicet 9105, sicut quaestio supponit. Quin106 etiam si 31/2 auferres a dicto dimidio 51/2, superesset 2 quod potest esse quadratum precii rei; et ipsa res radix 2. Nam 4 (quod est secundum eius quadratum) iunctum cum 18 conflat 22, quod est undecuplum ad 2 quadratum primum.

51 Numerus quidam, cuius cubi quadratum cum 81 conflat sui cubi trigecuplum: quaeritur. Ponatur 1 res. quadratum sui cubi erit 1 census cubus. Eius autem cubus 1 cubus. Ita per hypothesim iam 1 census cubus cum 81 numero adaequant 30 cubos. Quare ex 3 dignitatibus aequidistantibus minima cum107 maxima adaequant mediam. 52 Ergo per tertiam regulam, capio 1/2 mediae scilicet 15 cuius quadratum 225; hinc demo minimam scilicet 81 et restant108 144. [a:23r] Cuius radix 12 iuncta cum antedicto109 1/2 scilicet cum110 15 facit 27111 et hic est cubus precii rei, quoniam dignitates distant per binas intermedias. 53 Igitur radix cuba 27 hoc est 3 fuit precium rei quaesitum. Iam enim quadratum eius cubi scilicet 729 cum 81 conflat 810, quod est trigecuplum cubi112. Vel113 12 auferatur a dimidio dicti 15 et superest 3 et similiter radix cuba 3 potest esse precium rei. Nam quadratum huius cubi 3 scilicet 9 iunctum cum 81 facit 90 trigecuplum cubi ut prius.

Exempla quartae regulae

54 Duo numeri, quorum differentia 3 et quorum productum 40 quaeruntur. Ponatur minor 1 res. Igitur reliquus [A:7r] erit 1 res cum 3. Duco hoc in illud, et produco 1 censum cum 3 rebus, quod per hypothesim adaequat 40. Ita ex tribus dignitatibus collateralibus, media et maxima adaequant114 minimam. Itaque per115 quartam regulam capio dimidium mediae scilicet 11/2, cuius quadratum 21/4; quod iungo cum minima scilicet116 40 et fiunt117 421/4, a cuius radice 61/2 demo dictum 1/2 mediae, scilicet 11/2 et supersunt118 5 precium scilicet rei quaesitum, quoniam dignitates sunt collaterales. 55 Minor ergo numerus 5; quare maior fiet119 8, quorum productum 40 sicut quaestio supponit120.

Numerus quidam, cuius quatuor quadrata cum secundo eius quadrata conflant 117 quaeritur. Ponatur 1 res; eius quadratum 1 census. Secundum autem quadratum 1 census secundus121. Ergo per hypothesim 4 census cum 1 censu secundo122 aequivalent 117. 56 Unde ex tribus dignitatibus aequidistantibus nunc media et maxima aequant minimam. Itaque per123 regulam quartam capio 1/2 mediae scilicet 2, cuius quadratum 4 iungo cum minima 117 et conficio 121. Ab huius radice 11 subtraho dictum dimidium scilicet124 2 et supersunt125 9 quadratum scilicet precii rei, quoniam dignitates distant per singulas medias. Ergo radix 9 hoc est 3 est precium rei. Cuius iam quatuor quadrata scilicet 36 cum secundo eius quadrata scilicet 81 conficiunt 117, sicut quaestio supponit.

57 Quaeritur numerus, cuius cubus cum quadrata sui cubi conflat 4160. Ponatur 1 res eritque cubus eius 1 cubus; quadratus autem cubi erit 1 census cubicus126 Ergo per hypothesim, 1 cubus cum 1 censu cubico aequiperant numerum 4160. Unde ex tribus dignitatibus aequaliter distantibus, media cum maxima aequivalet minimam127. 58 Ergo per128 quartam regulam sumo 1/2129 mediae scilicet 1/2, cuius quadratum 1/4 [a:23v] iunctum130 minimae scilicet 4160 conficit 41601/4, cuius radix 641/2. Hinc demo dimi[A:7v]dium predictum scilicet 1/2 et remanent131 64. Igitur radix cubica132 64 hoc est 4 est precium rei, quoniam dignitates distant per binas intermedias. 59 Iam enim eius cubus 64133 cum quadrata cubi, quod est134 4096 coniunctus conflat 4160, sicut a quaerente135 supponitur.

Quoniam autem dignitates tres, quarum fit collatio, removentur per ternas intermedias, tunc inventum erit secundus quadratus precii quaesiti. 60 Quare precium rei erit radix secunda illius136. Sic per quatuor regulas satisfit infinitis quaestionibus. Non solum circa numeros sed etiam circa lineas, areas et solida et omnimodas magnitudines137. Quas perspicacia lectoris formare138 et [et139] accommodare poterit ad exercitium ingenii140.

61 Utitur autem regulis algebrae Io. de monte Regio ad confutanda sophismata Nicolai Cusae de circuli quadratura scribentis. Utitur et regula duarum falsarum positionum. Sed attendat tua perspicacia mi Cristofore Clavi141 (ut ego sentio et ex meis demonstrationibus constare potest) regulas algebrae non esse plures quam quatuor quamvis alii sex ponant. 62 Et etiam142 sub dictis quatuor comprehendi regulas infinitas143 pro distantia dignitatum varia144. Quae distantia145 non variat regulam, quamvis faciat ut inventum quandoque sit ipsum rei precium quandoque radix quadrata et quandoque radix cubica aut radix quadrata secunda ipsius precii. Ex qua varietate aliqui multiplicant regulas.

Hactenus de algebra.

Inizio della pagina