<Propositio> 24^a

1 Omnis numerus perfectus est hexagonus tetragonicus sive primus.

Hoc nos sic demonstrabimus. Exponantur ab unitate continuati numeri¹ pariter pares, hoc est, in proportione continua dupla a b c d e quorum aggregatum sit numerus primus qui sit f et ex e postremo in f producatur g qui per ultimam noni elementorum Euclidis , erit numerus perfectus. 2 Ostendendum igitur est, quod g hexagonus est, non aequiangulus, hoc pacto. Sit ipsius e duplus ipse h. Et tunc si ab ipso b secundo et ab ipso h dematur primus, scilicet unitas, erit per penultimam noni² praedicti, sicut residuum ipsius b ad unitatem, sic residuum ipsius h ad aggregatum ipsorum abcde³. 3 Sed residuum ipsius b est unitas et perinde aequalis unitati. Igitur et residuum ipsius h aequale erit aggregato ipsorum abcde⁴ , hoc est, ipsi f. Verum si ab ipso h duplo ipsius e et perinde numero pari subtrahatur unitas, iam superest numerus impar collateralis ipsius e in radicibus. [C:20v] Ergo talis impar est ipse f. 4 Quare per vigesimam huius, e radix multiplicans ipsum f collateralem imparem, generat hexagonum sibi collateralem. Fuit autem tale productum ipse numerus g omnino igitur et g numerus hexagonus est. Quod demonstrandum fuit.

a
1
b
2
c
4
d
8
e
16
f
31
g
496
h
32