<Propositio> 24^a

105 Omnis numerus perfectus est hexagonus tetragonicus sive primus.

Hoc nos sic demonstrabimus. Exponantur ab unitate continuati numeri⁷⁸ pariter pares, hoc est, in proportione continua dupla a b c d e quorum aggregatum sit numerus primus qui sit f et ex e postremo in f producatur g qui per ultimam noni Elementorum Euclidis, erit numerus perfectus. 106 Ostendendum igitur est, quod g hexagonus est, non aequiangulus, hoc pacto. Sit ipsius e duplus ipse h. Et tunc si ab ipso b secundo et ab ipso h dematur primus, scilicet unitas, erit per penultimam noni⁷⁹ praedicti, sicut residuum ipsius b ad unitatem, sic residuum ipsius h ad aggregatum ipsorum abcde⁸⁰. 107 Sed residuum ipsius b est unitas et perinde aequalis unitati. Igitur et residuum ipsius h aequale erit aggregato ipsorum abcde⁸¹ , hoc est, ipsi f. Verum si ab ipso h duplo ipsius e et perinde numero pari subtrahatur unitas, iam superest numerus impar collateralis ipsius e in radicibus. [C:20v] Ergo talis impar est ipse f. 108 Quare per vigesimam huius, e radix multiplicans ipsum f collateralem imparem, generat hexagonum sibi collateralem. Fuit autem tale productum ipse numerus g omnino igitur et g numerus hexagonus est. Quod demonstrandum fuit.