Propositio 33^a

130 Sunt plerique numeri quadrati, qui coniuncti quadratum numerum faciunt. [C:23r]

Sumatur enim quilibet in ordine imparium quadratus : namque hic¹⁰¹ cum praecedenti quadrato in ordine quadratorum sumpto coniunctus, per decimam tertiam huius, quadratum conficit. 131 Exempli gratia 9 quadratus, quintus in ordine imparium, cum quadrato quarto 16 conficit 25 quadratum quintum. Item 25 quadratus, tredecimus impar cum duodecimo quadrato scilicet 144 coniunctus, conficit 169 quadratum videlicet tredecimum. Idemque semper fit in omni quadrato impari. Constat ergo per decimam tertiam veritas propositi. 132 Et aliter sic : sumantur duo inaequales quadrati numeri, aut ambo pares, aut ambo impares, sive duo plani similes ab et bc qui cum parem numerum faciant, iam totius ac dimidius [S:14] radix¹⁰² erit. Esto igitur ipse dimidius ad qui iam excedit¹⁰³ ipsum ab numerum ipso bd, ducatur numerus ab in ipsum bc et fiat e; igitur quadratus numerus erit e per primam noni Elementorum; quandoquidem ex ductu quadratorum seu similium planorum fit. 133 Sit deinde quadratus ipsius bd ipse f numerus. Ac denique ipsius ad vel dc quadratus ipse g numerus. Sic enim, per quintam secundi Elementorum ad numeros redactam, constabit quod ipsorum ef quadratorum aggregatum est aequale ipsi g quadrato. Constat ergo rursus propositum.

9 25 16

25 169 144