Propositio 51^a

190 Omnis cubus aequalis est pyramidi hexagonae aequiangulae collaterali.

Exempli gratia, cubus quintus scilicet 125 qui et idem numerus est pyramis hexagona aequiangula quinta. Quod sic ostendam. Cubus quintus, per quadragesimam secundam, aequalis est aggregato columnarum triangularum quintae et quartae, necnon et trianguli quarti. 191 At per quadragesimam primam pyramis hexagona aequiangula quinta aequalis est aggregato pyramidis pentagonae quintae, pyramidis quadratae quartae, et pyramidis triangulae quartae. Demonstrandum est igitur nobis, quod haec duo praedicta aggregata sunt inter se aequalia; sic enim per¹⁷³ communem animi conceptum sequetur¹⁷⁴ ut cubus et pyramis hexagona aequiangula quinti loci sint invicem aequales. 192 Auferatur ab illo quidem aggregato columna triangula quinta; ab hoc vero aggregato pyramis pentagona quinta iampridem per ante praemissam aequales. Et demonstrandum erit quod duo residua inde, scilicet aggregatum columnae triangulae quartae et trianguli quarti; [S:22] hinc autem aggregatum pyramidis quadratae quartae et pyramidis triangulae quartae, sunt invicem aequalia; quod sic patet . 193 Per antepraemissam rursus, columna triangula quarta, aequalis est pyramidi pentagonae quartae; pyramis autem pentagona quarta, per trigesimam sextam, aequalis est pyramidi quadratae quartae et pyramidi triangulae [C:30v] tertiae. 194 Quamobrem, columna triangula quarta, una cum triangulo quarto, aequalis erit cumulo trium, scilicet pyramidis quadratae quartae, pyramidis triangulae tertiae et trianguli quarti. Ostendendum est igitur quod dictus cumulus aequalis est aggregato pyramidis quadratae quartae et pyramidis triangulae quartae. 195 Auferatur utrinque, scilicet tam ab illo cumulo, quam ab hoc aggregato, pyramis quadrata quarta, et demonstrandum supererit quod pyramis triangula tertia una cum triangulo quarto aequalis est pyramidi triangulae quartae; quod tandem constat per diffinitionem ipsius pyramidis triangulae; quippe quae assumpto semper sequenti triangulo procreat sequentem pyramidem. Qua argumentatione, sicut in quinto, ita¹⁷⁵ in quolibet alio praecedenti vel sequenti loco, semper constabit propositum.

Corollarium¹⁷⁶

196 Quoniam igitur singuli cubi ab unitate ordinati sunt singulis pyramidibus hexagonis aequilateris ab unitate dispositis collateralibus aequales; propterea manifestum est quod cuborum differentiae sunt pyramidum praedictarum differentiis singulae singulis aequales, hoc est, ipsis hexagonis aequiangulis. 197 Ac, sicut ex talium hexagonorum ad unitatem successiva coacervatione pyramides praedictae per ordinem construuntur, ita et¹⁷⁷ cubi procreantur. Suntque ipsi hexagoni cuborum gnomones ab unitate continuati.

cubus 5us 125 col. triangula. 5a 75 col. triangula 4a 40 triangulus 4us 10

pyr. hexag. aequiangula 5. 125 pyr. na 5a 75 pyr. ta 4a 30 pyr. la 4a 20

col. triang. quarta 40 pyr. na 4a 40 pyr. ta 4a 30 pyr. la 3a 10

^lus 4^us 10 ^lus 4^us 10

pyr. ^ta 4^a 30 pyr. ^ta 4^a 30

pyr. la 3a 10 pyr. la 4a 20 lus 4us 10

1 8 27 7 64 19 125 37 61