Propositio 83^a

330 Omnis columna octogona, cum hexagono³⁴¹ primi generis, ac quadrato collateralibus, duploque trianguli praecedentis coniuncta, facit triplum suae pyramidis.

331 Exempli gratia, columna octangula quinta 405 cum hexagono primi generis et [C:48v] cum quadrato quinto, hoc est, cum 45 et cum 25 duploque trianguli³⁴² quarti, scilicet cum 20 conficit 495, quod aio triplum esse pyramidis octangulae quintae, scilicet 165. Quod sic ostendo. Columna octangula quinta, per corollarium septuagesimae sextae³⁴³, constituitur ex duabus columnis: septangula quinta, triangula quarta primi generis, et triangulo quarto. 332 His ergo associo hexagonum primi generis, et quadratum quintum, nec non duos triangulos quartos; quo facto, demonstrandum erit, quod totum istud aggregatum, scilicet ex columna septangula quinta, columna triangula quarta primi generis, triangulo quarto, hexagono quinto, quadrato quinto, duploque trianguli quarti simul triplum consummabit³⁴⁴ pyramidis octangulae quin [S:43] tae. 333 Cumque, per corollarium septuagesimae quartae huius, talis pyramis quinta conficiatur³⁴⁵ ex pyramidis septangulae quintae, et pyramidis triangulae quartae combinatione, iam ostendendum erit, quod dictum aggregatum dictae combinationis triplum erit, hoc videlicet pacto. 334 Una pars illius aggregati, scilicet columna septangula quinta cum hexagono primi generis quinto, quadrato quinto, et triangulo³⁴⁶ quarto simul efficit, [C:49r] per praecedentem propositionem, triplum pyramidis septangulae quintae, quae pars est una combinationis. 335 Item residuum aggregati, scilicet columna triangula quarta primi generis, cum duplo trianguli quarti per quinquagesimam huius, triplum facit pyramidis triangulae quartae; quae³⁴⁷ est residuum combinationis. 336 Itaque, cum duae partes aggregati duarum partium³⁴⁸ combinationis singulae singularum triplae sint, iam et per primam quinti Euclidis, totum aggregatum totius combinationis triplum erit. In hoc quinto loco, et similiter alibi. Quod est propositum.

Corollarium

337 Et pro hexagono primi generis et quadrato collateralibus substituere potes hexagonum centralem et imparem collaterales.

Nam, per corollarium secundum sexagesimae sextae, hexagonus centralis et impar simul sumpti, valent hexagonum primi generis et quadratum collaterales, hoc est, in quinto loco, pro³⁴⁹ assumpto exemplo.

col. 8na 5a 405 col. 7na 5a 355 + col. la 4a pi 40 lus 4us pi350 10   us 5us pi 45 +   us 5us pi 25 +    4us pi 20    4us pi

pyr. 8na 5a 165 pyr. la 5a 145 + pyr. la 4a pi 20