Propositio 90^a

413 Unusquisque dictorum gnomonum aequalis est aggregato triangulorum centralium ab unitate per ordinem sumptorum, et tot quot sunt unitates imparis collateralis.

Exempli gratia 15 gnomo post unitatem aequalis est aggregato trium triangulorum centralium scilicet 1, 4, 10 quoniam ternarius est impar collateralis ipsius gnomonis secundi. 414 At 65 gnomo sequens aequalis est aggregato quinque triangulorum, scilicet 1, 4, 10, 19⁴⁴⁹, 31 quoniam scilicet 5 est impar collateralis dicto gnomoni; et sic deinceps in infinitum. Et quoniam tria talia triangula, per diffinitionem componunt pyramidem triangulam centralem tertii loci, et quinque talia praedicta triangula constituunt pyramidem triangulam centralem⁴⁵⁰ quinti⁴⁵¹ loci, et sic deinceps per impares locos in infinitum; propterea propositio praesens hoc dicit.

Corollarium

415 Quod tales gnomones sunt pyramides triangulae cen[C:61r]trales per impares locos dispositae in infinitum. Cuius propositionis et corollarii demonstratio haec est. Aio quod 65 gnomo tertii loci, est pyramis triangula centralis quinta. Quod sic patet. 416 Ducatur 5 in 31 radix scilicet quinta in triangulum 31 quintum quod⁴⁵² basis est pyramidis ipsius quintae, et producuntur 155 columna scilicet triangula quinta; huic addo quadratum quintum primae speciei scilicet 25 et triangulum quintum scilicet 15 et conflantur 195 quod per septuagesimam nonam huius, triplum est pyramidis suae quintae; productum autem ex 5 in 31 cum dictis quadrato et triangulo sumptum, est aequale producto ex 5 in 39 quoniam scilicet 39 constat ex 31, 5 et 3, hoc est, triangulo quinto, impare tertio, et radice tertia; et ex tali radice in talem imparem, hoc [S:58] est ex 3 in 5 fit dictus triangulus quintus 15 (ut ex regula progressionis facile constat). 417 Quo fit, ut productum ex 5 in 39 aequale sit producto ex 5 in 31, in 5 et in 3; hoc est, producto ex 5 in 31 cum quadrato quinarii et triangulo quinto, hoc est cum 25 et cum 15. 418 Et quoniam 31 triangulus scilicet quintus centralis cum ipso quinario et ternario, quoniam quinarius est tertius impar, conficiunt semper triplum tertii quadrati centralis⁴⁵³, qui nunc est 13, et gnomo 65 fit ex 5 in ipsum 13 per praemissam; [C:61v] iam iccirco productum ipsum ex 5 in 39, scilicet 195, triplum erit gnomonis 65; fuit autem et triplum pyramidis triangulae quintae: igitur gnomo tertius et pyramis centralis quinta sunt aequales. Quod erat demonstrandum. 419 Sed restat ostendere quod triangulus imparis loci cum ipso impare et cum radice collaterali ad imparem faciunt simul triplum quadrati centralis, qui collateralis est ipsi radici. Hoc est in⁴⁵⁴ assumpto exemplo, quod 31 cum 5 et 3 faciunt triplum ipsius 13, quod sic ostendetur. 420 Disponantur quatuor series numerorum, singulae ab unitate initium capientes: in quarum prima sint trianguli centrales⁴⁵⁵ locorum imparium, scilicet 1, 10, 31, 64 et in secunda 1, 3, 5, 7 et caeteri impares per ordinem. In tertia radices⁴⁵⁶ naturalis progressus 1, 2, 3, 4 et caeterae. In postrema 1, 5, 13, 25 et caeteri quadrati centrales⁴⁵⁷. In quibus id quod volumus facile constabit. 421 Nam cum in exordio tres unitates sint

triplum quartae; et trium subsequentium tres ad⁴⁵⁸ primas unitates augmenta super ipsas unitates faciant [C:62r] duodenarium, qui numerus triplus est ad augmentum, quo in quarta serie sequens unitatem excedit ipsam unitatem; iam ideo necesse erit, ut aggregatum trium illorum⁴⁵⁹, scilicet 10, 3, 2 sit triplum ad hunc sequentem, scilicet 5. 422 Item quoniam augmenta⁴⁶⁰ trium in tertio loco sequentium supra tres praecedentes conflant 24; et augmentum reliqui in [S:59] quarta serie⁴⁶¹ supra suum praecedentem est 8; idcirco et aggregatum⁴⁶² trium illorum, scilicet 31, 5, 3 erit et triplum dicti reliqui, scilicet 13. Et sic deinceps in infinitum, propter augmenta illic per duodenarium, hic per quaternarium crescentia semper demonstrabimus. 423 Quod demum in dictis quatuor seriebus numeri secundum talia procedant⁴⁶³ crementa, facillimum est ostendere. In triangulis quidem si considerentur⁴⁶⁴ continuatorum crementa, quae crescunt per ternarium⁴⁶⁵, iam alternatorum crementa per duodenarium augebuntur. At in serie imparium quis nescit crementum fieri per binarium⁴⁶⁶, et in serie radicum per unitatem? 424 Denique in serie postrema quadratorum⁴⁶⁷ centralium, quoniam singuli constant ex binis proximis quadratis primae speciei, quorum differentiae crescunt per binarium, quia videlicet conflatur per additionem continuam imparium, ideo differentiae⁴⁶⁸ sortiuntur per quaternarium crescentes. Sic nihil resta, quod ad demonstrandum propositum faciet.

5 13 65 39 195

+ 1     3 9   4     6 + 10     9 21   19     12 + 31     15 33   46     18 + 64     21 45   85     24 + 109     27 57   136     30 + 166   loci li differentiae differentiae impares centrales lorum lorum     continuatorum in locis imparis