Propositio 97^a

432 Quadrata portionum irrationalis lineae bimembris, quae maior appellatur, sunt binomium et residuum quartae speciei.

Constat hoc aperte in descriptione et theoria quinquagesimae septimae³⁷⁶ huius, quando abc est binomium quartum mn est maior. 433 Fuit autem ibi ak potentior quam kl in eo, quod fit ex al lb hoc est in quarta parte ipsius ef, hoc est in quadrato, quod ex dimidio ipsius bc, quod dimidium incommensurabile est ipsi ak [C:158r] quoniam eorum dupla, scilicet ab bc membra binomii sunt incommensurabilia; quo fit, ut ak rationalis potentior sit, quam kl potentialiter tantum rationalis in quadrato radicis sibi incommensurabilis. 434 Atque ideo per diffinitionem akl sit binomium quartum ex membris ak kl constans, utque lb eorundem membrorum excessus sit residuum quartum. Erat vero al quadratum ipsius m atque lb quadratum ipsius n quae sunt membra maioris praedictae, hoc est m membrum maius, et n membrum minus. Igitur quadrata talium membrorum sunt binomium quartum, et residuum quartum; quod fuit demonstrandum. [S:163]

Corollarium

435 Unde manifestum est, quod tales portiones, quae constituunt maiorem, sunt etiam ipsae irrationales, maior et minor. Hoc est, magna portio est irrationalis, quae maior appellatur; parva vero portio irrationalis, quae minor dicitur. Nam cum quadratum magnae portionis sit binomium quartum, iam per quinquagesimam septimam ipsa magna portio erit irrationalis, quae maior. 436 Cumque quadratum parvae portionis sit residuum quartum, iam per sexagesimam ipsa parva portio erit irrationalis, quae minor. Atque haec est causa, quod tales irrationales, [C:158v] maior et minor vocantur: quoniam earum membra singula cadunt sub diffinitionem compositi; unde et membra singula rursus in portiones homogeneas, et sic deinceps in infinitum (quod mirabile est) secantur.