Propositio 22^a

142 Si quantitas quaelibet in duo segmenta dispescatur, cubus totius aequalis erit his, scilicet duobus cubis segmentorum, et triplo solidi, sub tota et singulis segmentis contenti.

Esto, ut prius, quantitas ab utcunque secta in a et b segmenta. Dico, quod cubus totius ab aequalis est his, scilicet cubo ipsius a cubo ipsius b et triplo solidi, cuius latera sunt tota ab a et b. Quod sic ostendam. 143 Per praecedentem, cubus totius ab aequalis est his, scilicet cubo ipsius a cubo ipsius b et triplo eius, quod ex quadrato ipsius [S:108] a in b ac triplo eius, quod ex quadrato ipsius b in a. Sed per [C:108r] primam secundi Euclidis, quadratum ipsius a cum eo quod ex a in b simul aequalia sunt ei quod ex ab in a. Et per eandem, quod fit ex quadrato ipsius a in b una cum eo, quod fit ex ab in b aequale est ei, quod ex producto totius ab et a in¹⁴² b hoc est solido trium laterum ab a b. 144 Atque quod ex producto totius ab in b aequale est ei, quod ex quadrato ipsius b in a hoc est¹⁴³ solido trium laterum a b b. Igitur quod ex quadrato ipsius a in b una cum eo, quod ex quadrato ipsius b in a aequalia sunt ei, quod ex producto¹⁴⁴ ipsius ab et a in b hoc est solido trium laterum ab a et b. Quare et triplum illius aequale triplo huius; ergo cubus totius ab aequalis erit his , scilicet cubo ipsius a cubo ipsius b et triplo solidi, cuius latera sunt ab a b. Quod erat demonstrandum.

Per praemissam

cubus ab cubo a cubo b triplo solidi a a b triplo solidi b b a

Sed per primam 2ⁱ a cum ab aequalia sunt simul sumpta a b a.

Igitur solidum a a b cum solido b b a aequalia sunt solido ab a b.

Quare et tripla illorum aequalia triplo huius.

Ergo

cubus ab cubo a cubo b triplo soli- -di ab a b

Quod est propositum.