Propositio 54^a

298 Omne productum duarum quantitatum potentia tantum rationalium invicem commensurabilium, est rationale.

Exempli gratia, ab quantitates potentia tantum rationales invicem commensurabiles multiplicatae invicem faciant ipsam c. Aio, quod c quantitas rationalis est. Sit enim ipsi a aequalis d et a ducta in d hoc est in se ipsam faciat e quae iam rationalis est, cum a sit potentia rationalis per hypothesim. 299 Sed per primam sexti sicut d ad b sic e ad c; commensurabilis est autem per hypothesim ipsa d ipsi b ergo, per quadragesimam octavam huius, ipsa e commensurabilis erit ipsi c. Rationalis [C:136r] est autem e; rationalis ergo per diffinitionem et c, quod fuit demonstrandum. Aliter et pulchre sic: sit ipsius a quadratum ipsa f, et ipsius b quadratum ipsa quantitas g, eritque per quinquagesimam secundam praecedentem f ad g sicut numerus quadratus ad numerum quadratum. 300 Ducatur ergo f in g et proveniat h eritque h numerus quadratus: quandoquidem fg per 28^am octavi²⁶⁴, sunt plani similes. Sed per corollarium undecimae huius, h est quadratum ipsius c, ergo c rationalis, quandoquidem radix est ipsius h, quae per numerum quadratum repraesentatur. Et radix quadrati numeri rationalis quantitas est, quia cognitus et scitus numerus, sicut proponitur ostendendum²⁶⁵.

a b c d e

f 3 a r. 3 c 6   h r. 6 b r. 12 g 12