Propositio 82^a

384 Omnis irrationalis bimembris quantitas multiplicans residualem quantitatem eorundem, sive proportionalium et commensurabilium nominum, producit quantitatem potentia rationalem, et quandoque rationalem.

Sunto, gratia exempli, a bimediale secundum, et b residuum mediale secundum eorundem sive proportionalium et commensurabilium invicem membrorum; multiplicet autem ipsa a ipsum b et producat c. 385 Aio, quod c est potentialiter rationalis, sive quandoque simpliciter rationalis. Quod sic patet. Sit ipsius a quadratum d et ipsius b quadratum e. Eritque per quinquagesimam octavam huius, d binomium tertium; atque e residuum tertium per sexagesimam primam. Fiat ergo ex d in e quantitas f. Et quoniam ab habent per hypothesim proportionalia et commensurabilia invicem nomina, iam eorum quadrata de per praecedentem et antepraemissam habebunt inter se proportionalia et commensurabilia nomina. 386 Quamobrem per septuagesimam quartam, vel septuagesimam quintam huius, d binomium mul[C:150v]tiplicans e residuum³³³, producit quantitatem rationalem. Igitur f rationalis est, et ideo c quae, per corollarium undecimae huius, est radix ipsius f, potentialiter rationalis est. Et si f fuerit quadratus numerus tunc et c magnitudine rationalis erit. Quod fuit demonstrandum. Similiter id ip[S:154]sum de quavis bimembri quantitate suaque residuali ostendetur, sicut proponitur.