F  r  a  n  c  i  s  c  i        M  a  u  r  o  l  y  c  i        O  p  e  r  a        M  a  t  h  e  m  a  t  i  c  a
Introduzione Help Pianta Sommario
Emendatio et restitutio Apollonii Pergaei conicorum elementorum Liber primus 54
<- App. -> <- = ->

LEMMA

In circulo abg sit ab chorda: et ag diameter: data ratio de ad ez. Oportet a diametro ad periferiam ducere lineam924 penes ipsam ab ut pote ro ita, ut quadrato ro ad rettangolo arg sit sicut de ad ez.

Ponatur ipsi de aequalis zh et eh bifariam secetur apud t et a circuli cen[S:48]tro

figura 97

c ducatur kathetus ad ab usque periferiam ad l. Et agatur lm penes ipsam ab et coincidat ipsi ca apud m. Sitque sicut tz ad zh sic lm ad mn. Ponaturque ipsi ln aequalis lx. Et coniungantur nc cx et productae [A:36r] coincidant periferiae apud o p. Et op coniuncta secet ipsam cg apud r.

// Et quoniam tz ad zh sicut925 lm ad mn.

Et conversim zh ad zt sicut mn ad lm.

Et coniunctim ht ad tz sicut nl ad lm.

Et conversim
zt ad
th
te
sicut
ml ad
ln
lx
.

Et coniunctim
ze ad
et
th
sicut
mx ad
lx
ln
.
Et conversim
te
th
ad ez
sicut
lx
mx
ad mx
.

Ideo ex aequali, quandoquidem zh ad tz ad th ad ze continuant tres rationes, quas continuant mn ad lm ad ln ad mx singulas singulis aequales; erit zh sive de ad ez sicut mn ad mx.

Cumque, propter angulos ad l rectos, et lineas926 ln lx et ipsas oc cp927 aequales ipsae928 nx op sint paralleli929.

Propterea triangolo triangolo cmn cro sunt invicem aequiangula: itemque ipsa triangolo triangolo cmx crp invicem aequiangula.

Quare, per 4am 6i Euclidis mc ad cr sicut930 mn ad ro et sicut mx ad pr. Et permutatim nm ad931 mx et ideo de ad ez sicut or ad rp932 et ideo per primam 6i sicut quadrato or ad rettangolo orp933.

Sed, per 33am tertii rettangolo orp aequale est rettangolo arg igitur sicut quadrato or ad rettangolo arg sic934 de ad ez. Estque or penes ipsam ab.

Itaque or est linea, quae ducenda proponitur.

54a Duabus datis lineis terminatis ad rectos invicem; invenire circa diametrum alteram ipsarum coni sectionem vocatam ellipsin935, in eodem plano lineis936, cuius summitas sit punctum, quod est ad rectum angulum applicatae autem a sectione ad diametrum in dato angulo possint id, quod adiacentia rectangula ad alteram lineam937, latitudinem habentia receptam sub ipsa ad summitatem sectionis, deficientia specie simili et similiter posito938 contento sub datis lineis.

Sint ad rectos datae ba ag quarum maior ab. // Datusque angulus primum939 rectus.

// Oportet in subiecto plano bag ellipsim describere: cuius diameter sit ab. // Summitas a. // Recta diametros ag. // Et ordinatae940 ad datum angulum applicatae.

Exurgat ex ab planum rectum ad subiectum, in quo circuli peripheria adb describatur bifariam secta apud d. Et coniungantur ad db941.

Sitque ipsi ag aequalis ax.

Et penes ipsam db agatur xo942. Et penes ipsam ab agatur oz.

figura 98

Et con[A:36v]iungatur dz. // Quae producta coincidat ipsi ba apud e.

// Et coniungantur az zb et producantur. Et a puncto utcunque943 relicto in za quod sit h agatur penes de linea ht coincidens ipsi ab apud c ipsique zo apud l.

// Eritque, per 26am tertii Euclidis angulus abd944 aequalis angulo dzb.

// Et quoniam945, per 16am primi Euclidis angulus eza exstrinsecus aequalis est angulis zad zda sibi intrinsecus oppositis: et ideo aequalis angulis zbd zba per 26am tertii: et ideo toti angulo abd et ideo ipsi angulo dzb. Atque, per 29am primi, angulus eza aequalis angulo zht coalterno: et angulus dzb aequalis angulo zth coalterno. Propterea anguli zth zht sunt invicem aequales. Quare per 6am primi Euclidis hz zt lineae aequales.

Describatur itaque circulus htn rectus ad triangolo thz.

Et intelligatur conus, cuius basis circulus ipsae htn vertex vero z qui rectus erit propter latera hz zt aequalia.

Et quoniam tam cir[S:49]culus htn quam subiectum planum rectum est ad triangolo thz ideo, per 19am undecimi Euclidis circuli htn subiectique plani sectio communis, quae sit recta cm recta erit ad planum , quod per946 thz.

Et perinde ipsa cm et omnis ei parallelus recta947 erit, hoc est ad rectos ipsis948 ac ch.

Itaque quoniam subiectum planum rectum949 ad triangolo thz quod per axem coni et coincidens hz zt lateribus coni secat conum tzh.

Ideo, per 13am huius, sectio facta in cono, cuius diameter ab ellipsis est, cuius summitas a et ordinatae950 ductae ad rectos diametro.

Et quoniam de ad ez per primam sexti , sicut951 rettangolo dez vel rettangolo bea952 per 35am tertii ad quadrato ez et sic est da ad ao ba953 ad ax per 2am sexti et ba ad ag.

Et ratio
rettangolo bea ad quadrato ez componitur ex rationibus
graffa aperta be ad ez bc ad ct zl ad lt
ae ad ez ac ad ch zl ad lh
.
Ideo et ratio ba ad ag
componetur ex iisdem rationibus
angolare aperta zl ad lt
zl ad lh
.
Sed ex iisdem rationibus componitur ratio quadrato zl ad rettangolo hlt. Igitur954 sicut quadrato zl ad rettangolo hlt sic955 ba ad ag.

figura 99

Quare, per 13am huius, ellipseos956 cuius transversa957 ba rectum latus est ag. Factum est ergo, quod faciendum proponitur.

Iisdem subiectis, sit ab minor, quam ag. // Et oporteat958 circa ab diametrum, ellipsim describere, cuius recta sit ag.

// Secetur ab bifariam apud d et ducatur edz ad rectos ab. // Sitque ez media proportionalis inter ba ad959 ag et apud d bifariam secta. // Item zh penes ipsam ab. // Sitque ut ga ad ab [A:37r] sic ez ad zh. // Quare ez maior960, quam zh. // Et quoniam ag961 ad ez ad ab sunt in proportione continua: ideo, per 17am sexti Euclidis ag ad ab et ideo ez ad zh sicut962 quadrato ez ad quadrato ab et sicut quadrato dz ad quadrato da963.

// Describatur igitur, ut prius, ellipsis, cuius diameter ez recta vero964 zh. // Quae sit azbe. // Ibit enim per a quoniam rettangolo zde ad quadrato da sicut965 ez ad zh per conversionem corollarii 13ae huius. Ibit etiam per b quandoquidem ad db aequales.

// Et quoniam ga ad ab sicut966 quadrato dz ad quadrato da et conversim: ideo, per eiusdem corollari conversionem, recta sectionis est ag.

// Vel argue, per conversionem 2i corollarii: quoniam ez secunda diametros media proportionalis fuit inter ba primam diametrum et ipsam az967 sitque ba transversa; erit az968 recta diametros969. // Rursus ergo factum, quod proponitur.

SCHOLIUM

Attendendum970 in praesenti descriptione, quod sicut ba transversa diametros in ellipsi971 habet rectam suam ag. // Ita et posita ez transversa sortitur ipsam zh rectam. // Unde, sicut patuit in 15a huius, eiusque corollario972 , ag ad ez ad ba sunt in proportione continua: itemque ez973 ad ba ad zh continue proportionales974: quare, et agad ezad ba ad zh quatuor sunt in proportione continua.

figura 100

Sed non sit iam datus angulus rectus, utpote975 bad. Caeteris, ut ante, admissis. // Secetur tunc ab per medium apud e. // Et super ae diametro describatur semicirculus aze. // Et ducatur zh penes ad ita, ut quadrato zh ad rettangolo ahe sit sicut ga ad ab quemadmodum docet976 lemma praemissum. // Et coniungantur az ze et producantur. // Sitque ipsarum de ez media proportionalis et ipsique977 et aequalis sit ec.

// Et rettangolo tzl aequale sit978 quadrato az. // Et coniungatur cl at979. // Et penes ipsam az agatur ipsa ntm coincidens ipsis ba cl apud n m.

// Quibus peractis, sicut antea, describatur ellipsis, cuius diameter ct recta vero tm et ordinate ductae ad rectos ipsi tc quae sit atbc980. Ibit enim per a ex conversione corollarii 13ae huius, quandoquidem quadrato az aequale est rettangolo tzl ibit et, per b quoniam ae eb aequales981. Centrumque982 sectionis erit e diametrique ab ct. // Et ipsa da tanget sectionem, per conversam 37ae983 huius, quoniam scilicet984 rettangolo dez aequale985 quadrato et. // Quare, per 47am ab secabit actas in sectione ipsi ad parallelos, et ideo ad angulum datum bad ordinate ductas, singulas bifariam, et perinde diameter erit.

// Et quoniam ga ad ab sicut986 quadrato zh ad rettangolo ahe et ratio ga ad ab [A:37v] componitur ex rationibus ga ad duplam da et duplae da ad ab vel da ad ae vel zh [S:50] ad he.

Et ratio
quadrato zh ad rettangolo ahe componitur ex rationibus
graffa aperta zh ad he
zh ad ha
.

Ideo
ratio composita ex rationibus
graffa aperta zh ad he
zh ad ha
aequalis est rationi compositae ex rationibus
graffa aperta ga ad duplam da
zh ad he
.

Communis auferatur ratio zh ad he.

Eritque
sicut zh ad ha
vel xa ad an
sicut ag ad duplam da.
// Quamobrem, per 50am huius ag recta est ellipseos atbc cuius transversa diametros supponitur et ostensa fuit esse ba. // Adhuc ergo987 factum quod proponitur faciendum.

Inizio della pagina
->