F  r  a  n  c  i  s  c  i        M  a  u  r  o  l  y  c  i        O  p  e  r  a        M  a  t  h  e  m  a  t  i  c  a
Introduzione Help Pianta Sommario
Emendatio et restitutio Apollonii Pergaei conicorum elementorum Liber secundus 2
<- App. -> <- = ->

// PROPOSITIONES, QUARUM QUAEDAM SUNT problemata, quaedam theo- remata.

1a Si hyperbolen ad summitatem linea tangat: et ex ipsa in utramque2 diametri relicta sit aequalis potenti quadrantem speciei, et a centro sectionis ad relictos terminos tangentis ducantur lineae, productae nequaquam coincident sectioni.

Sit hyperbole, cuius diameter ab. // Centrum g. // Recta bz. // Tangens de. // Punctum tactus b. // Et tam db quam be possit quartam partem speciei, quae scilicet sub ab bz3. // Et coniungantur dg ge et producantur versus sectionem quantumlibet.

// Dico4 gd ge nusquam coincident [A:39r]sectioni.

figura 1

// Coincidat5 enim, si possibile est, ut gd apud h. // Et ordinate applicaretur ht quae, per additam post 32am praecedentis libelli, aequidistabit ipsi de tangenti. // Et quoniam per primam 6i Euclidis ab ad bz sic quadrato ab ad rettangolo abz et quadrato ab ad rettangolo abz sicut quadrato gb ad quadrato bd quandoquidem tam quadrato gb ipsius quadrato ab quam quadrato db ipsius rettangolo abz quadrans est.

Ideo et6 quadrato gb ad quadrato bd sicut abadbz.

Sed, propter triangolo triangolo gbd gth7 similitudinem quadrato gb ad quadrato bd sicut8 quadrato gt ad quadrato th.

Et9 per 12am praecedentis libri, sicut abadbz sic rettangolo atb ad quadrato th.

Igitur
quadrato gt angolare chiusa
rettangolo atb
quadratotum th eadem ratio
.

Quare per 9am quinti Euclidis, rettangolo atb ad aequale est ad quadrato gt.

Et ideo per 16am sexti btadtgadta sunt in proportione continua.

Eritque ta totum ad gt totum, sicut gt abscisum ad tb abscisum10.

Unde, per 19am 5i Euclidis ag reliquum11 ad bg reliquum sicut ta totum ad gt totum. Maius autem12 ta quam gt. Ergo et ag maior, quam gb. Sed supponuntur aequalia: quod est absurdum. Non igitur gd et simili ratione ge coincidet sectioni. Quod erat demonstrandum.

figura 2

Idem et aliter ostendam. // Coincidat enim, si possibile est, gd producta sectioni apud h. // Et quoniam bg non minor est dimidio ipsius ab. Ideo, per 29am primi Conicorum gh producta intra sectionem cadet. // Cadat, sitque ghl periferia vero sectionis sit ghk13. // Et applicetur ordinate klt quae, per additam post 32am praemissi libri, erit penes de quandoquidem ordinata est et14 de.

// Et, quoniam, per primam 6i Euclidis sicut ab ad bz sic quadrato ab ad rettangolo abz. Et quadrato ab ad rettangolo abz sicut quadrato bg ad quadrato db [A:39v]quandoquidem, tam quadrato bg quadratoti ab quam quadrato db ipsius rettangololi abz quadrans est.

figura 3

Ideo quadrato gb ad quadrato bd sicut ab ad bz.

// Sed propter triangolo triangolo gbd gtl similitudinem, sicut quadrato gb ad quadrato bd sic quadrato gt ad quadrato tl.

Ergo et15 quadrato gt ad quadrato tl sicut ab ad bz.

Sit16 autem, sicut at ad tg sic ag ad gm. Cumque sit at maior quam tg erit et ag maior, quam gm.

Et, per 19am quinti erit, sicut totum at17 ad totum tg sic reliquum gt ad reliquum tm. // Hoc est at ad tg ad tm erunt continuae proportionales.

// Quare per 16am sexti Euclidis rettangolo atm aequalis18 erit quadrato tg. Et ideo quadrato gt maius19 rettangololo atb. Et per 8am 5i Euclidis quadrato gt ad quadrato tk maius20, quam rettangolo atb ad quadrato tk.

// Sed per 12am primi Conicorum rettangolo atb ad quadrato tk sicut ab ad bz. Ergo quadrato gt ad quadrato tk maius21, quam ab ad bz.

// Fuit autem ab ad bz sicut quadrato gt ad quadrato tl. Igitur quadrato gt ad quadrato tk maius22 quam quadrato gt ad quadrato tl23.

// Quare, per 10am quinti Euclidis quadrato tl maius quadrato tk. Et ideo tl maior quam tk pars toto, quod est absurdum.

// Non igitur gd et similibus argumentis, neque ge coincidet sectioni: quod erat demonstrandum.

Vocentur autem ipsae gd ge non tangentes24, sive non coincidentes: quippe quae etiam si in infinitum producantur, numquam sectioni, coincidunt.

Per summitatem hyperboles penes alteram non tangentium acta linea non alibi, quam in summitate ipsa coincidit sectioni, productaque sub eo puncto semper intra sectionem cadit25.

Iis stantibus, quae in praemissa sunt adducta: ducatur penes ipsam bg non tangentem linea bk.

// Dico iam quod bk non alibi quam in puncto b summitatis sectioni coincidet26, inferiusque producta semper intra sectionem deducitur. // Coincidat enim, si possibile est bk sectioni apud k. Et ordinate ducatur kt iam ipsi dbe tangenti, per additam 32ae praemissi, equidistans27.

Sitque ipsius be dupla bl.

// Igitur coniuncta az producatur: sitque azn ipsique bz28 [A:40r]aequidistans tn.

//

figura 4

Quibus per actis, cum be possit quadrantem speciei sub ipsis ab bz contentae; iam bl29 poterit ipsam speciem totam.

// Quare, per 16am sexti Euclidis ipsae ab ad bl ad bz sunt continuae proportionales.

// Et ideo per 17am 6i, sicut ab ad bz sic quadrato ab ad quadrato bl30 et sicut31 quadrato gb ad quadrato be propter triangolo triangolo abl gbe similitudinem32. // Sed sicut ab ad bz sic at ad tn propter triangolo triangolo abz atn similitudinem. // Ergo sicut at ad tn sic quadrato gb ad quadrato be et sicut33 quadrato gb ad quadrato bd (cum db be sint aequales) et sicut34 quadrato bt ad quadrato tk (cum triangolo triangolo gbd btk sint similia).

// Verum, cum per 12am primi Conicorum kt possit rettangolo btn et ob id, btadtkadtn sint continuae proportionales, atque ideo quadrato bt ad quadrato tk sit sicut bt ad tn, erit iam, sicut bt ad tn sic at ad tn.

// Quare, per 9am 5i Euclidis ipsae bt ta sunt aequales: quod est absurdum.

// Igitur ipsi gd non tangenti parallelus acta per b summitatem sub signo b deducta semper intra sectionem cadit. Quod erat demonstrandum.

Inizio della pagina
->