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Introduzione Help Pianta Sommario
Emendatio et restitutio Apollonii Pergaei conicorum elementorum Liber tertius 24
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Lemma I

142 Sit linea ab in quatuor portiones sic divisa, ut, extremae ag, bd sint aequales: mediae ge, ed quantecumque. Dico iam quod rettangolo ged rettangolo agb pariter sumpta aequalia sunt rettangolo aeb. // Nam per primam secundi Euclidis rettangolo ag, eb hoc est rettangolo ebd cum rettangolo geb simul aequale est199 rettangolo aeb. 143 // Item, per eandem, rettangolo ag ed quod est rettangolo edb cum rettangolo ag db quod est quadratum utriusvis aequale est200 rettangolo ag eb sive ebd. // Nec non rettangolo ge db sive age cum rettangolo ged simul aequale est rettangololo geb. // Igitur quatuor rectangula videtur201 quadrato202 ag db rettangolo ag ed rettangolo age rettangolo ged simul sumpta aequalia sunt rettangolo aeb. 144 // Verum per eandem primam 2i rettangolo agb aequale est tribus rettangololis videlicet quadrato203 ag db rettangolo ag ed rettangolo age. // Ergo pro tribus uno posito fiet rettangolo agb cum rettangolo ged aequale rettangolo aeb. // Quod erat ostendendum.

figura 28

rettangolo agb vel gbd graffa aperta rettangolo ag db
angolare chiusa rettangolo ag eb vel ebd angolare chiusa rettangolo aeb
rettangolo ag ed vel edb
rettangolo age vel ge db angolare chiusa rettangolo geb
rettangolo ged
204

Lemma II

145 Item sit linea ab in ternas portiones sic divisa, ut earum extremae ag, db sint aequales: media gd quantacumque: et extremarum altera bd utcumque divisa apud e. //Hoc est, ut prima quatuor portionum ag sit aequalis postremis de, eb. //Dico iam quod rettangoloaeb aequale est sumptum cum rettangolo ged ipsi rettangolo adb. 146 // Nam per primam 2i Euclidis rettangolo adb aequale est rettangolo ade et rettangolo ad be quod est rettangolo gbe simul sumptis. //Item rettangolo ade aequale est rettangolo ag de quod est rettangolo edb et rettangolo gde pariter iunctis. //Nec non rettangolo ad eb sive gbe aequale est rettangolo ag eb quod est dbe et rettangolo gd eb coniunctis. //Igitur rettangolo  adb205 aequale est quatuor rectangulis, videlicet rettangolo  ag de quod est edb rettangolo gde rettangolo ag eb quod est dbe et rettangolo gd eb similiter aggregatis. 147 // Verum primum ex his206 scilicet rettangolo ag de quod207 est rettangolo edb per 3am 2i Euclidis aequale est quadrato de et rettangolo deb. //Ergo rettangolo adb aequale erit quinque rectangulis per208 primam 2i scilicet quadrato de209 rettangolo deb rettangolo gde rettangolo ga eb rettangolo gd eb. // Sed duo ex his, scilicet quadrato de et rettangolo gde simul aequalia sunt rettangolo ged. 148 Tria vero reliqua rettangolo deb rettangolo ag eb rettangolo gd eb simul sunt aequalia rettangolo aeb. //Igitur rettangolo aeb cum rettangolo ged aequatur rettangolo adb. //Quod proponitur ostendendum.

figura 29

  angolare aperta rettangolo gde
angolare chiusa quadrato ged
rettangolo adb angolare aperta rettangolo ade
rettangolo ag de <vel> edb angolare aperta quadrato ed
  quadrato deb angolare chiusa rettangolo aeb
rettangolo ad be <vel> gbe angolare aperta rettangolo ag eb <vel> dbe
rettangolo gd eb
210

149 [A:77v] 24a Si in contrapositis ad coniunctionem a centro ducantur ad sectiones duae lineae, et dicatur211 ipsarum altera transversa diameter, altera recta: et agantur quaedam penes diametros coincidentes invicem et sectionibus: sitque actarum coincidentia in loco, qui est inter quatuor sectiones; contentum sub sectionibus aequidistantis lateri transverso cum eo (ad quod rationem habet, quod est sub segmentis aequidistantis recto, eam quam, [S:104] quod fit ex recta ad quadratum, quod fit ex transversa) aequale erit tetragono, quod bis sit ex dimidio transversi.

figura 30

150 Sint contrapositae ad coniunctionem a, b, g, d. // Quarum quidem centrum e. // Transversa diameter aeg. // Recta autem212 deb. // Ipsi aeg aequidistans zhxticl213. //Ipsique deb aequidistans mnxotpr214 coincidentes apud x. //Sitque in prima descriptione punctum x intra angulum sef. 151 //Dico iam quod rettangolozxl cum rectangulo, (ad quod rationem habet rettangololum mxr quam quadrato db ad quadrato ag) aequale est quadrato quadrato215 ae. //Cum enim quadrato sa aequale sit quadrato de per 21am 2i eadem erit ratio quadrato216 saf ad quadrato ea et quadrato de ad quadrato ea. 152 //Ratio autem quadrato217 saf ad quadrato ea et ideo ratio quadrato de ad quadrato ea componitur quidem
ex rationibus
angolare aperta sa ad ae vel nx ad xt angolare chiusa
fa ad ae vel px ad xc
ex quibus componitur ratio ad rettangolo pxn ad rettangolo  ***218 propter similitudinem triangulorum. Igitur sicut quadrato de ad quadrato ea sic rettangolo pxn ad rettangolo cxt
et similiter sic
rettangolo pxn angolare chiusa ad angolare aperta rettangolo [[cxt]]
quadrato de quadrato [[ea]]
219
.
153 Sed per 11am secundi Conicorum quadrato de aequale est rettangolo pmn hoc est rettangolo rnm. Itemque quadrato ea aequale est rettangolo czt hoc est rettangolo ltz. Namque per 8am et 16am 2i ipsae mn pr sunt aequales: ipsaeque lc tz aequales.
154 Ergo, sicut quadrato de ad quadrato ea sic
rettangolo pxn angolare chiusa ad angolare aperta rettangolo cxt
rettangolo rnm rettangolo ltz hoc est rettangolo czt
aequale autem est per primum lemmatum praecedentium
rettangolo pxn angolare chiusa
rettangolo rnm
simul rettangolo rxm
.
155 //Itaque sicut quadrato de ad quadrato ea hoc est sicut quadrato db ad quadrato ag
sic est rettangolo rxm
ad
angolare aperta quadrato cxt
rettangolo ltz
220
simul.
Demonstrandum est igitur quod [A:78r]
rettangolo zxl angolare chiusa
rettangolo cxt
rettangolo czt
similiter
aequalia sunt quadrato quadrato221 ea.
//Et ablatis utrinque iam rettangolo czt ad quadrato222 ea invicem aequalibus.
Restat demonstrandum quod
rettangolo zxl angolare chiusa
rettangolo cxt
similiter
aequalia sunt quadratoto ea.
156 // Sunt autem: quoniam scilicet per secundum lemmatum praemissorum,
ipsa
rettangolo zxl angolare chiusa
rettangolo cxt
similiter
aequalia sunt rettangololo ltz hoc est rettangolo czt quod est223 quadrato ae.
//Verum ergo est, quod proponitur demonstrandum.

figura 31

// Coincidant utique in secunda descriptione, zl mr uni nontangentium apud t. 157 // Eritque per 11am secundi Conicorum rettangolo ztl aequale quadratoto ae. Itemque rettangolomtr aequum quadrato de. //Et ideo, sicut quadrato de ad quadrato ae hoc est, sicut quadrato db ad quadrato ag sic rettangolomtr ad rettangolo ztl. //Quare rettangolo ztl cum ipsomet rettangolo ztl aequum224 quadrato quadrato ae. // Id scilicet quod proponitur si attendis, in principio demonstrandum. //

figura 32

158 Sit demum in tertia descriptione, punctum x intra angulum sey vel fek. //Eritque, ut in primo casu, ex memorata rationum compositione. Sicut quadrato de ad quadrato ea sic rettangolopxn ad rettangolo cxt. //Sed, per 11am 2i quadrato de aequale est rettangolo pmn hoc est rettangolo rnm. //Itemque quadrato ae aequale rettangolo ltz. 159 //Igitur sicut rettangolornm ad rettangolo ltz totum scilicet ad totum, sic rettangolo pxn ad rettangolo cxt (cum videlicet, per secundum lemmatum, rettangolorxm cum rettangolo pxn aequum sit225 rettangolo rnm) ablatum ad ablatum. 160 //Quare et reliquum ad reliquum, hoc est ipsum, rettangolorxm ad excessum quo rettangololtz (quod est quadrato ae) maius est rettangololo cxt erit sicut totum ad totum, hoc est, sicut rettangolornm ad rettangolo ltz et ideo sicut quadrato de ad quadrato ea id est, sicut quadrato db ad quadrato ag. [S:105] //Demonstrandum igitur, quod rettangolozxl cum praedicto excessu, aequale est quadrato quadrato226 ae. 161 //Cum autem, per primum lemmatum, rettangololtz cum rettangolo cxt aequale sit rettangolo lxz. //Auferantur hinc quadrato ae inde vero rettangolo ltz iampridem aequalia. //Et restat ostendendum quod ipsum rettangolocxt cum excessu memorato aequale est quadratoto ae. //Est autem, quoniam rettangolocxt cum tali excessu aequale fuit rettangolo ltz et perinde ipsi quadrato ae. //Verum igitur quod proponebatur demonstrandum.

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