[A:1r]

Theonis Ex Traditione Pappi Datorum

Liber Primus

Protheoria Marini

1 Datum esse assumptum quid, aut propositum concessibile communiter diffiniunt. Item datum esse ordinatum quid, dixit Apollonius. Datum esse quidpiam notum, Diodorus. Datum esse rem ad unguem, vel prope verum cognitam, Ptolemaeus. Porimon vel porisma esse quid excogitatum, concessumque. Aporon vero ignotum, ut circuli tetragonismum, ordinatum tamen. Haec quo ad generalem diffinitionem. 2 Traditur autem in hoc opere resolvendi et argumentandi modus et via quaedam ad praxim calculumque geometricum.

Diffinitiones

1^a Data magnitudine dicuntur areae, lineae et anguli, quibus aequalia possumus exhibere.

2^a Ratio dari dicitur, cui eandem possumus exhibere.

3^a Rectilineae figurae specie dari dicuntur, quarum anguli dantur, et laterum ratio data.

3 4^a Positione dari dicuntur signa, lineae et anguli, quae eundem semper locum obtinent.

5^a Circulus magnitudine dari dicitur, cuius, quae ex centro, magnitudine datur.

6^a Positione ac magnitudine circulus dari dicitur, cuius centrum positione, et ea, quae [A:1v] ex centro, magnitudine datur.

4 7^a Segmenta circuli magnitudine dari dicuntur, in quibus anguli dati sunt, et bases magnitudine datae.

8^a Positione et magnitudine segmenta dari dicuntur, in quibus et anguli dantur, et bases positione et magnitudine dantur.

9^a Magnitudo magnitudine dato maior est, quando sublato dato, reliquum eidem aequum fuerit.

5 10^a Magnitudo magnitudine dato minor est, quando adiecto dato, totum eidem aequum fuerit.

11^a Magnitudo magnitudine, dato maior est, quam in ratione, quando ablato dato, reliquum ad idem rationem datam habuerit.

12^a Magnitudo magnitudine dato minor est quam in ratione; quando apposito dato, totum ad idem rationem habuerit datam.

6 13^a Producta est quae a dato puncto in positione rectam lineam acta recta linea in datum angulum vel in datum punctum.

14^a Reducta est, quae a dato puncto lineae positione datae, recta linea in angulo dato agitur.

15^a Appositione data est, quae per datum punctum parallelus agitur rectae positione datae.

Theoremata

1.^a

7 Datarum magnitudinum ratio ad invicem datur.

Quoniam scilicet per primam diffinitionem datis aequales exhibitae eandem, et perinde per 2^am datam habebunt rationem.

2.^a

Si duarum magnitudinum ratio data sit et earum altera data: datur reliqua.

Constat per 12^am 6ⁱ et diffinitiones praedictas.

3.^a

8 Datarum magnitudinum, datur aggregatum.

Constat.

4.^a

Datarum magnitudinum, datur excessus.

Patet per se. [A:2r]

5.^a

9 Totius ad abscisum ratione data: datur et totius ad residuum ratio.

Patet per eversam proportionem.

6.^a

Si partium data sit ratio: dabitur et totius ad singulas partes ratio.

Patet per coniunctam proportionem.

7.^a

10 Si detur totum et ratio partium: partes singulae dantur.

Patet per 11^am Sexti.

8.^a

Quae ad unum rationem habent datam: et ad invicem datam rationem habebunt.

Patet ex aequa proportione.

9.^a

11 Si duo inter se datam habeant rationem: et singula ad alterius ordinis singula datam rationem: iam et duo dicti ordinis inter se datam habebunt rationem.

Patet ex aequa proportione.

10.^a

12 Si magnitudo magnitudine dato maior fuerit, quam <in¹> ratione; et earum aggregatum eadem dato maior erit, quam <in²> ratione. Et e contrario.

Patet coniunctim et divisim.

11.^a

Si magnitudo magnitudine maior dato fuerit, quam in³ ratione: et eadem ipso aggregato, maior erit dato, quam in ratione.

Patet componendo et dividendo.

22.^a

13 Duarum magnitudinum, quae singulae ad tertiam habeant rationem datam, et aggregatum ad eandem datam habebit rationem.

23.^a

Si totum ad totum rationem habuerit datam, habuerint autem et partes ad partes singulae ad singulas rationes datas, licet non easdem. Et omnia ad omnia rationes datas habebunt.

14 Hoc absolvetur faciendo aliqua segmenta proportionalia, et arguendo per 19^am Quinti et per aequam proportionem, et per disiunctam. [A:2v]

24.^a

Si in tribus continue proportionalibus, extremorum ratio data sit: dabitur et primi ad secundum ratio.

Patet, quoniam primi ad tertium ratio, eius, quae primi ad secundum, rationis dupla est.

25.^a

15 Rectarum positione datarum se invicem secantium, punctum sectionis positione datur.

Nam ex positione linearum data, certiores de sectionis puncto sumus.

26.^a

Si lineae limites sint positione dati: datur linea magnitudine.

Patet, nam limites terminant ipsam magnitudinem.

27.^a

16 Si lineae positione et magnitudine datae unum extremum detur, dabitur reliquus.

Patet.

28.^a etc.

Linea vero positione data: quaecunque alia linea per datum punctum, illi aequidistans, sive ad datum angulum incidens: sive data magnitudine eadem dabitur et positione.

32.^a etc.

17 Parallelis positione datis superveniens linea data magnitudine datos facit angulos. Et datos facit angulos, datur magnitudine. Et si superveniens a dato signo ducatur, in datam rationem secabitur. Et si ad datam rationem secetur, acta per signum⁴ penes parallelos datur positione.

18 Haec uti praecipua et maxime necessaria, et alioquin facilia, ex quibus ceterae quaestiones emanari possunt, decerpsimus finem primo libello imponentes.

14.^a, 15.^a, 21.^a, 20.^a

19 Si fuerint duae datae magnitudines: duaeque aliae datam rationem ad invicem habentes: atque singulae singulis additae, [A:3r] sive ablatae fuerint: aggregata, sive residua datam inter se rationes habebunt: si quatuor magnitudines proportionales erant: secus vero aggregatum aggregato, sive residuo, dato maius erit quam in ratione.

Scholium⁵

20 Sed in 21^a6 Theon repetit illud, quod in 14^a. Et supervacuus est.

39.^a

Triangulum, cuius latera singula dantur magnitudine, datur specie.

Nam per 22^am Primi Elementorum, ex talibus lateribus construitur triangulum propositum⁷ aequilaterum et aequiangulum: et ideo propositum triangulum per tertiam diffinitionem datur specie.

40.^a

21 Triangulum, cuius anguli singuli magnitudine dantur, datur specie.

Nam per 23^am Primi faciam triangulum proposito aequiangulum: cuius per 4^am Sexti, latera proportionalia erunt lateribus propositi trianguli: igitur, per 3^am diffinitionem propositum triangulum datur specie.

41.^a

22 Triangulum, cuius unus angulus datur et laterum illum angulum comprehendentium ratio data: datur specie.

Patet per 6^am Sexti et diffinitionem praedictam.

42.^a

Triangulum, cuius laterum inter se datur ratio, datur specie.

Patet per 5^am Sexti, et diffinitionem praedictam.

43.^a

23 Triangulum, cuius unus angulus datur, et duorum laterum alium angulum continentium ratio data: reliquus vero angulus, aut rectus, aut maior, minorve recto fuerit: datur specie.

Patet per 7^am Sexti et diffinitionem praefatam.

45.^a

24 Triangulum, cuius unus angulus datur et aggregatum duorum laterum dictum⁸ angulum continentium ad reliquum latus rationem habet datam: datur specie.

Ut si triangulum abc habeat datum angulum abc et laterum ab, bc congeries datam habeat rationem ad latus ac. Dico quod triangulum abc datur specie.

Producatur enim ab usque ad d ita ut bd [A:3v] sit ipsi bc aequalis: et coniungatur cd. // 25 Et quoniam abc angulus datur, dabitur angulus cbd. Igitur et reliqui anguli in triangulo bcd isoscele dantur, scilicet angulus bcd et angulus cdb⁹. Sed per hypothesim ratio da ad ac datur, ergo per 5^am10 huius, datur acd triangulum specie. Igitur angulus a datur: ergo et reliquus angulus acb datur. Quare per 22^am11 huius, datur triangulum abc specie.

46.^a

26 Triangulum, cuius unus angulus datur: et aggregatum duorum laterum alium angulum continentium ad reliquum latus rationem habet datam, datur specie.

Ut si triangulum abc habeat angulum a datum, et aggregatum laterum ab, bc ad latus ac rationem datam. Dico quod triangulum abc datur specie. Producatur ab ponaturque ipsi bc aequalis bd et coniungatur cd. Itaque per hypothesim da datam rationem habet ad latus ac et angulus a datur. 27 Igitur per 23^am12 huius triangulum acd datur specie: quare eius angulus d datur in triangulo bcd isoscele: ipsique aequalis bcd et perinde reliquus cbd angulus. Et ex hoc, eius intrinsecus abc. Quare cum et a angulus per hypothesim detur, dabitur et reliquus acb. Et ideo per 22^am13 huius, triangulum abc specie datur.

[A:4r] 47.^a

Omne rectilineum specie datum in triangulos specie datos distinguitur.

28 Descriptis¹⁴ in proposito rectilineo triangulis universis: constat propositum per 20^am15 tertiam huius toties repetitam, quot fuerint triangula.

48.^a

Triangula specie data super eandem lineam descripta datam ad invicem habent rationem.

Quoniam sunt ad invicem, sicut celsitudines, quae datam habent rationem inter se, eam scilicet, quam latera correlativa.

49.^a

29 Rectilinea specie data super eandem lineam descripta datam ad invicem habent rationem.

Singula enim rectilinea secantur in triangulos specie datos per antepraemissam et per praemissam datur ratio inter se triangulorum: hinc per aequam et coniunctam proportionem, totius ad totum rectilineum ratio dabitur.

50.^a

30 Similia rectilinea super lineas datam inter se rationem habentes descripta, datam invicem rationem habent.

Siquidem duplam correspondentium laterum, per 18^am Sexti.

51.^a

Rectilinea specie data super lineas datam inter se rationem habentes descripta, datam invicem rationem habent.

Absolvitur, sicut antepraemissa.

52.^a

31 Rectilineum specie datum super data magnitudine lineam descriptum, datur magnitudine.

Patet, describendo quadratum super eandem lineam: quod per 49^am datam habebit rationem ad rectilineum: quare cum detur quadratum magnitudine, dabitur et rectilineum.

53.^a

32 Duabus figuris specie datis: per datam duorum correlativorum laterum rationem, datur inter reliqua ratio.

<54.^a16>

Item per datam figurarum rationem dabitur laterum ratio.

[A:4v] 33 Harum utraque absolvitur, ad unam figuram applicando figuram alteri similem, per aequam proportionem.

55.^a

Rectilinei specie et magnitudine dati, dantur latera singula magnitudine.

34 Patet per 25^am Sexti describendo rectilineum sub specie et magnitudine data.

66.^a

In triangulo datum angulum habente, quod sub lateribus datum angulum continentibus continetur, rectangulum datam habebit rationem ad triangulum.

35 Triangulum abc datum habeat angulum a. // Dico quod rectangulum bac ad triangulum abc datam habebit rationem. // Ducatur enim bd perpendicularis ad latus ac. Datique erunt anguli trianguli bad et ipsum triangulum abd specie datum. 36 Igitur ratio ab ad bd data: verum sicut ab ad bd, sic rectangulum bac ad rectangulum bd ac. Igitur ratio rectanguli bac ad rectangulum bd ac data. Sed rectangulum bd ac duplum est trianguli abc. Ergo ratio rectanguli bac ad triangulum abc data, sicut proponitur.

67.^a

37 In triangulo datum angulum habente, area, qua potentius est aggregatum <laterum¹⁷> datum angulum continentium, latere reliquo, datam habebit rationem ad triangulum.

Triangulum abc habeat angulum a datum. // Dico quod quadrati quod ex bac tamquam uno, excessus super quadratum bc datam habebit rationem ad triangulum abc. // Producatur enim ba sitque ipsi ca aequalis ad. Et coniungatur ac producatur dc donec ipsi be ad aequidistantiam ipsius ac ductae coincidat. 38 Eruntque triangula dac, dbe similia: et ideo ipsae db, be aequales. Secetur per medium ed in puncto f [A:5r] eritque per 5^am Secundi Elementorum, rectangulum dce cum quadrato cf aequale quadrato df. // Apponatur utrobique quadratum bf, eritque rectangulum dce una cum quadrato cf et quadrato fb, aequale quadrato df cum quadrato fb. 39 // Sed per penultimam Primi, quadratum cf <et¹⁸> quadratum fb simul aequalia sunt quadrato bc. // Et quadratum df quadratum fb simul quadratum bd. // Igitur rectangulum dce cum quadrato bc simul aequum est quadrato bd, hoc est quadrato bac laterum tamquam unius. // Excedit ergo quadratum bac ipsum quadratum bc in rectangulo dce. //40 Demonstrandum itaque quod rectangulum dce ad triangulum abc rationem habet datam. Sic. // Cum angulus bac sit datus: dantur anguli trianguli cad; et triangulum cad specie datur. Quare quadrati ad ad quadratum dc ratio datur. // Et quoniam propter aequidistantiam linearum ac, be, sicut ba ad ad sic ec ad cd; sicut autem ba ad ad sic rectangulum ba ad ad quadratum ad. 41 Itemque sicut ec ad cd, sic rectangulum ec cd ad quadratum cd; propterea sicut rectangulum ba ad ad quadratum ad sic rectangulum ec cd ad quadratum cd et permutatim. // Datur autem ratio quadrati ad ad quadratum cd. 42 Igitur datur ratio rectanguli ba ad ad rectangulum ec cd. // Sed cum ca, ad sint aequales, iam ipsum rectangulum bad est ipsum rectangulum bac. // Ergo ratio rectanguli bac ad rectangulum ecd datur. // Cumque angulus bac datus sit, datur per praecedentem ratio rectanguli bac ad triangulum abc. // Itaque ex aequali, dabitur ratio rectanguli ecd ad triangulum abc. Quod fuit demonstrandum.

80.^a

43 In triangulo datum angulum habente, si quod sub lateribus datum angulum continentibus continetur rectangulum datam habeat rationem ad id, quod ex reliquo latere [A:5v] quadratum, datur triangulum specie.

44 Sit triangulum abc angulum a datum habens: et rectangulum bac datam habeat rationem ad quadratum bc. // Aio quod datur specie triangulum abc. // Cum enim angulus a datus sit, excessus ipsius¹⁹ quadrati bac tamquam unius super quadratum bc ratio ad triangulum abc²⁰ per praecedentem datur. Esto talis excessus area d. // Datur ergo ratio areae d ad triangulum^lum abc. // Sed per antepraemissam trianguli abc ratio ad rectangulum bac datur, quoniam angulus a datus est. //45 Per hypothesim autem datur ratio ipsius rectanguli bac ad quadratum bc. // Ex aequali ergo, dabitur ratio areae d ad quadratum bc. // Et coniunctim dabitur ratio aggregati ex area d et quadrato bc hoc est ipsius quadrati bac tamquam unius ad quadratum bc. 46 // Quare et ipsum bac, quod est laterum ba, ac aggregatum circa angulum a datum habebit rationem datam ad latus bc. Namque quadratorum datam rationem habentium latera datam rationem habent. // Atque ideo per 26^am huius libelli, quam fuit 45^am in ordine Datorum, triangulum abc dabitur specie. Quod fuit demonstrandum.

bac

.  area d --------- per praemissam  abc .  bc --------------- per hypothesim  bac

per antepraemissam

Catanae, VII Aprilis M. D. L. IIII.