[A:5v] ELEMENTORUM SECUNDUS

1 <1> Parallelogrammum rectangulum, sub conterminis lateribus contineri dicitur.

<2> Partiale autem parallelogrammum, quod circa diametrum, una cum supplementis sumptum gnomon vocetur.

1^a

2 Quod fit ex integra in divisam, aequum est eis¹ quae ex integra in partes divisae, simul sumptis.

Constat per se propositum.

2^a

Rectae quadratum aequum est iis, quae ex eadem in suas partes.

Constat sicut praecedens.

3^a

3 Secta utrinque linea, quod fit ex tota in unam partium, aequum est quadrato eiusdem partis et producto partium.

Constat non aliter, quam prima.

4^a

4 Item quadratum totius equum venit quadratis partium et duplo producti earum quae scilicet sunt supplementa.

Constat per praecedentem bis sumptam.

5^a

5 Si autem linea per aequalia et inaequalia secetur, productum inaequalium partium cum quadrato mediae simul sumptum aequivalet quadrato dimidiae.

Argue per 4^am, 3^am et p^am.

6^a

6 Quod si aequaliter divisae, quaedam apponatur, tunc, quod ex tota in adiectam, cum quadrato dimidiae sumptum aequum est quadrato eius, quae ex dimidia et adiecta constat.

Hic argue per 4^am et primam.

7^a

7 Secta utcunque linea: quadratum totius cum quadrato unius partium simul sumptum aequum est duplo producti totius in dictam partem, cum quadrato reliquae partis.

Argue per 4^am et per 3^am bis citatam.

8^a

8 Item quadratum totius aequivalebit quadruplo producti partium una cum quadrato differentiae partium pariter sumptis.

Argue per 4^am et 7^am. [A:6r]

9^a

9 Linea aequaliter et inaequaliter divisa: quadrata partium inaequalium simul sumpta duplum faciunt quadratorum, quae ex dimidia et ex ea, quae punctis divisionum interiacet.

Argue per 4^am et 7^am.

<Corollarium>

10 Unde patet, quod si totum secetur in partes inaequales tunc quadrata partium simul sumpta duplum sunt quadratorum quae fiunt ex dimidio totius et ex excessu ipsius dimidii super partem minorem.

10^a

11 Si linea in partes inaequales utcumque² secetur et partium altera per aequalia, tunc quadratum divisae cum quadrato reliquae partis simul duplum facient quadratorum, quae fiunt ex una partium aequalium, et ex ea, quae constat ex eadem parte ac parte non secta.

12 Ut si linea ab secetur utcumque in puncto c et partium utralibet per aequalia utpote ca in puncto d. Tunc dico quod quadratum ab cum quadrato bc simul facit duplum³ quadratorum quae ex cd et ex db. // Constat ex corollario praecedenti: si accipias lineam abc pro toto, partes autem inaequales ab, bc. Dimidium totius db excessum huius dimidii super partem minorem bc ipsam cd. // Hoc pacto, sicut corollarium praecedens sequitur ex 9^a. Imo est idem cum ipsa nona sicut praecedens 10^a infert idem, quod corollarium.

11^a

13 Datam lineam sic secare, ut quod sub tota et una partium continetur, aequum sit quadrato reliquae.

Capiatur per penultimam primi, linea, cuius quadratum aequum sit quadratis quae ex linea data, et ex eius dimidio: quod dimidium auferatur a tali linea. Nam residuum erit maior pars lineae secandae.

12^a

14 In triangulo amblygonio, latus obtusum subtendens angulum maius potest duobus caeteris, duplo producto unius eorum et continuatae usque ad cathetum ab acuto cadentem.

[A:6v] Argue per penultimam primi et 4^am huius.

13^a

15 In omni autem triangulo latus oppositus acuto⁴, caeteris minus potest duplo producti unius eorum et portionis eius, quae perpendiculari et acuto interiacet.

Argue per penultimam primi et 7^am huius.

14^a

16 Dato parallelogrammo rectangulo aequale quadratum describere.

Sit datum rectangulum, quod ex ab in bc secetur ac per aequalia in puncto d. Et quadratum cd excedat quadratum db in quadrato lineae e. // Tunc enim, per quintam huius, quadratum talis lineae erit aequum rectangulo abc. Cum enim rectangulum abc cum quadrato db aequivaleat quadrato cd. 17 Et nunc quadratum e cum quadrato db adaequet quadratum cd. Iam ablato utrinque quadratum db supersunt rectangulum abc et quadrato e invicem aequalia.

18 ⁵

⁶

19

cd   per 5am

db  abc ---------   e

⁷

15^a

20 Dato triangulo aequum quadratum describere.

Constituatur parallelogrammum rectangulum aequale dato triangulo per 42^am primi et parallelogrammo aequum quadratum per praecedentem.

16^a

21 Dato trapezio, sive rectilineo, quotlibet laterum, aequale quadratum describere. Distinguatur trapezium, sive rectilineum in triangula. Et triangulis singulis, per praecedentem, describantur quadrata singula aequalia. Denique, per penultimam primi, fiat quadratum omnibus illis quadratis aequale: quod quidem aggregato triangulorum et perinde proposito rectilineo aequum erit.

Hoc pacto omnis figura rectilinea quadratur.

Secundi Elementorum finis