[A:7r]

Demonstrationes secundi

22

Prima

23

2^a

3^a

24

ab ac

ac   ac cb

4^a

25

ab per 2am  ac ab per 3am  ac .   ac cb  cb ab per 3am   bc  ac cb

5^a

26

ac vel cb per 4am   cd   db per 3am  cb bd <vel >  ac <bd> per pam   ad db  cd db  cd db

6^a

27

cd per 4am   cb   bd per pam  ad bd   cb bd   cb bd <vel >  ac <bd>

7^a

28

ab per 4am  ac  bc per 3am  ab bc  ac cb  ac cb per 3am  ab bc  bc   bc

8^a

29

ad per 4am  ab per 7am   ab bc <vel ab> bd  bd <vel > cb   ab bc <vel ab> bd       ac  ab bd  ab bd

[A:7v]

9^a

30

ad per 4am  ac  cd  ac cd<vel > cb  <cd> per 7am   ac  ac cd <vel > cb  <cd>  db   db   cd

31 ⁸ Ex qua sequitur 10^a.

11^a

32

df fb per 6am  ef <vel > ea   eb per penultimam primi   eb   ba

33 Dempto utrinque   eb

  df fb ---------   ba

demptoque utrinque   dbh

  ch ---------   hf

12^a, 13^a

34

Demonstratio 13^ae

35

ac ce  ad

per 6am   cd

Apposito utrobique   bd ex penultima primi

ac ce   ab9

bc

36

Additio

37 Hoc modo differentia quadratorum ab, bc divisa in basim ac [A:8r] exhibet lineam ec quae est¹⁰ differentia portionum basis.

ac per 2am   ac ea  ac ea   ac ce ut iam ostensum est   bc       ab

38 Igitur quadratum bc minus est quadratis ab, ac simul sumptis in rectangulo ac ea. Et hoc est, quod concludit 13^a Secundi quoniam in triangulo perpendicularis intus cadit.

Demonstratio 12^ae

ca  ad  ca ad  ca ad

per 4am  cd

39

Apposito utrobique  bd ex penultima primi fiet

ca  ab  ca ad  ca ad

bc

40 Igitur quadratum bc (¹¹quoniam perpendicularis extra cadit)¹² maius est quadratis ab, ca¹³ simul sumptis in duplo rectanguli ca ad. // Et hoc concludit 12^a 2ⁱ.

Additio secunda

41 Item quadratum bc excedit quadratum ab in quadrato ca dictoque duplo. Hoc est in rectangulo quod fit¹⁴ ex ac in cda. Quam ob rem differentia quadratorum ab, bc, divisa in ac exhibet totum cda a quo si auferatur ca superest duplum ad unde notescit ipsa ad.

Exemplum per 13^a

42

ac 196  ab 169 365  bc 225  ca ae 140

Quod est duplum rectanguli ca ad quod est 70.

Per 12^a

43

169 16 185

225 185 40

quod est duplum rectanguli ca ad.

44 Per sequentibus

4 14   56   169   225

Duae propositiones additae

45 Quando perpendicularis cadit intus in basim, tunc productum basis in differentiam portionum una cum quadrato lateris minoris sumptum aequiperat quadratum lateris maioris. Ex hac sequitur demonstratio 13^e ut supra.

46 Quando autem perpendicularis cadit extra, tunc productum basis in aggregatum ex basis duploque adiectae usque ad perpendicularem una cum quadrato lateris minoris sumptum aequivalet quadrato lateris maioris. Quae conclusio sequitur ex demonstratione 12^ae ut supra. [A:8v]

Scholium

47 Notandum, quod ratio postulabat, ut huius libri 13^a praeponeretur 12^ae. Nam 13^a pertinet ad perpendicularem intus cadentem, quod est commune triangulo orthogonio, amblygonio et oxygonio. At 12^a loquitur de perpendiculari extra cadente, quod accidit solum triangulo amblygonio.

48 Erat ergo hic optimus ordo, ut post 11^am immediate sequeretur praecedentium additarum prior. Deinde 13^a, quae ex ipsa addita demonstratur. Post hanc vero 12^a quae per 4^am huius et penultimam primi ostenditur. Postremo autem reliqua ex additis, quae ex 12^a demonstratur.

Hoc videlicet ordine.

Additio

49 In omni triangulo, si perpendicularis intus cadit in basim: latus maius potentius est minore in rectangulo quod fit ex basi in differentiam portionum basis.

13^a

50 Tunc autem latus oppositum acuto utrumlibet minus potentius¹⁵ reliquo et basi in rectangulo quod fit ex basi et portionis inter dictum acutum et perpendicularem sumptae duplo.

12^a

51 Si autem perpendicularis extra cadat: quod accidit triangulo amblygonio: tunc latus, quod obtusum angulum subtendit, potentius est reliquis in rectangulo quod fit, ex basi et ex continuatae ad perpendicularem usque duplo.

Additio

52 Tunc autem latus dictum subtensum obtuso potentius est reliquo in rectangulo quod fit ex basi et ex aggregato basis et dupli eius, quae basi ad perpendicularem usque continuatur.

Post hanc sequentur 14^a, 15^a, 16^a. Atque ita fient 18 propositiones.

Et completur Elementorum secundus.

30 Ianuarii