De situ et formatione linearum tam rectarum quam flexarum in recto et in obliquo horizonte cum praeambulis ad sequentia. Caput 1

In verticali horologio sphaerae rectae, et in horizontali sub polo horariae lineae se vicissim in centro circuli secantes, periferiam per aequos arcus dividunt. Contra vero tam in horizontali recti situs quam in verticali horologio polari horariae lineae sunt aequidistantes.

Intelligo enim aequatoris quartam abc qui in situ sphaerae rectae verticalis circuli vicem habet, ita positam, ut semidiameter ab sit axis horizontis: semidiameter vero ac axis meridiani, et in sex aequales arcus in punctis d e f g h distinctam: et ducam per centrum a et dicta puncta rectas, quae incidant horologii horizontalis plano apud puncta k l m n o in recta bo quae communis sectio est talis plani cum aequatore, et in linea aequinoctialis dicitur, tangens periferiam bc apud b propter angulum rectum abo. Eruntque circulorum horariorum per polos ductorum in plano aequatoris abo communes sectiones, rectae ab quae meridiana est ak al am an ao. Cum plano autem horologii horizontalis communes eorundem circulorum sectiones erunt rectae per eadem puncta ad ipsam bo perpendiculares: quandoquidem circuli orthogonaliter secant aequatorem rectae, inquam, op hq mr ls kt bu quae meridiana est. Et hoc intelligam in reliqua aequatoris quarta. Ecce igitur in verticali horologio sphaerae rectae [S:213] lineae horariae ab ak al am an ao secant periferiam circuli abc per aequos arcus: in horizontali vero eiusdem situs horologio lineae horarum bu kt ls mr hq op sunt aequidistantes: sicut et caeterae lineae in collaterali quadrante intellectae. Sed aequator abc sub polo fungitur vice horizontis. Et planum bop ibidem murale est horologium: et perinde horariae ibi horizontem per aequos partiuntur arcus: in verticali vero aequidistant, sicut propositio concluserat. Neque opus est in his horizontibus recto scilicet et polari, aliis horarum lineis: in recto enim eaedem lineae distinguunt horas sive a meridie, sive ab ortu et occasu exorsas: quandoquidem meridianus et horizon sunt de numero circulorum distinguentium. In polari autem situ, paralleli aequidistantes sunt horizonti, hoc est, aequatori: et ideo, qui ab eo ad polum altum secedunt, expertes sunt ortus et occasus.

Primum praeambulum

Pro caeteris autem horologiis hoc accipe praeambulum ad intelligendas proiectiones et situs linearum. Nam sicut horizon obliquus et caeteri circuli horarii tangentes tangunt duos parallelos aequatoris in iis punctis, in quibus eosdem secant circuli horarii secantes; ita et plana horizontis et caeterorum circulorum tangentium tangunt conicas superficies, quarum bases sunt dicti paralleli, et vertex communis sphaerae centrum, et contactus sunt latera conorum, quae sunt communes sectiones circulorum tangentium et secantium et ipsarum conicarum superficierum. Quodcunque autem planum, praeter verticem, secat tam conicas superficies, quam plana tangentia et secantia: illud secando, faciet in conica superficie flexam: in planis autem tangentibus rectas lineas, quae tangunt flexam in iis punctis, in quibus secant latera conica praedicta, et in quibus dictam flexam secant rectae, quas planum praeter verticem facit in planis circulorum secantium. Atque hae rectae flexam secantes sunt horariae lineae horarum a meridie terminatrices eius singulae nominis, cuius circuli horarii, in quorum sunt planis. Rectae vero flexam tangentes, sunt lineae horarum ab ortu vel occasu inceptarum, ipsis quidem circulis horariis, a quorum planis fiunt, cognomines. Sit enim, exempli gratia, sphaerae centrum a et meridianus, in quo puncta b c d e secans duos parallelos contrapositos bxc dze super eorum diametris bc de orthogonaliter, quia per eorum polos incedit: secans autem conicas eorundem superficies communem verticem a sortitas faciat, per tertiam Primi Conicorum, triangula abc ade quae orthogonalia erunt basibus bxc dze cum planum bcde incedat per axem fg coniungentem centra fg basium et per mundi polos euntem: deinde horizon obliquus tangat parallelos bxc dze in punctis c e per 8^am Secundi Sphaericorum elementorum, [S:214] in quibus eosdem secat meridianus abcd sitque periferia horizontis obliqui cy et quo fit, ut communis sectio meridiani bcde cum horizonte cyet sit in recta cae latus scilicet conicarum superficierum. Dico itaque, quod horizon tangit easdem conicas superficies super ipsum latus cae super quo easdem secat meridianus.

Quod sic ostendam: cum circulus cyet tangat circulum bxc iam per diffinitionem in principio secundi Sphaericorum elementorum, communis sectio planitierum talium circulorum quae sit recta ck tanget utrunque circulum in puncto c. Nullum itaque punctum in plano circuli cy extra lineam cae erit in superficiebus conicis: sed unumquodque extra eas. Assumatur enim in dicto plano punctum quodvis h extra lineam cae et ducatur linea recta ah et producatur donec incidat lineae ck ad punctum k omnino enim incidet ad aliud punctum quam c. Itaque punctum k erit extra periferiam bxc quandoquidem recta kc tangit periferiam dictam in stylo puncto c. Et perinde linea recta ahk erit extra conicas superficies: et ideo punctum h extra easdem. Similiter ostendam, quod omnia puncta in plano circuli cy extra lineam cae recepta, erunt extra conicas superficies: quamobrem planum circuli cy super solum latus cae tangit conicas superficies. Et sicut hoc ipsum demonstratum est de meridiano et horizonte; ita de quibuslibet aliis duobus horariis circulis uno tangente et altero secante super contactum demonstrabitur. Ut autem residuum porpositi explanetur, sit in exemplum planities quaepiam praeter verticem conicum a utpote planum circuli bxc secet conicam superficiem, et facta sectio sit flexa bxc secet planum circuli tangentes cy et sectio sit recta ck quae iam tangit flexam in puncto c in quo planum dictum secat latus conicum ac et in quo flexam secat recta bc quam dicta planities facit cum plano abc circuli secantis. Quod enim rectae lineae sint communes sectiones planorum, patet per tertiam Undecimi Euclidis. Quod autem sectum conus plano praeter verticem flexam faciat, patet in genere ex 2^a primi Conicorum, speciatim vero 4^am 11^am 12^am et 13^am eiusdem. Itaque recta bc secans flexam, erit horaria linea terminatrix horae a meridie, quam terminat circulus abc in cuius plano iacet. Itemque recta ck tangens flexam, erit horaria linea horam ab ortu vel occasu discriminans, quam circulus cy a quo generatur, discriminat. Utpote meridianus circulus facit meridianam lineam: proximus autem ad occasum per polos, primam post meridiem, et caeteri deinceps caeteras. Horizon autem facit hori[S:215]zontalem lineam, quae initium est horarum ab ortu vel occasu numeratarum: proximus autem tangens secundum ordinem motus primi, primae horae ab ortu vel occasu lineam facit: et deinceps singuli singulas suas.

Secundum praeambulum

Ponam nunc aliud praeambulum, ut dictum plani conos secantis, flexasque in conica superficie facientis, ac paulatim flexarum qualitatem, quantum opus est, manifestemus. Resumo igitur conos abc ade communem verticem a per rectam bad puncto a stante circa periferias aequalium parallelorum bc de circumactam descriptos: quos, ut dudum, planum per axem fag secet, faciens per tertiam Primi Conicorum, triangula abc ade basibus orthogonalia: in quorum uno utpote abc protraham 4^or lineas:

sic in uno laterum ab ac quod sit ab capiam contingens punctum quod sit l per quod ducam ipsi bc basi aequidistantem lm usque ad latus ac et non aequidistantem ln incidentes lateri ac ad puncta m n. Item ducam lateri ac aequidistantem lo quae ipsi bc occurrens apud o nusquam coincidit lateri ac in infinitum. Ducam et inter bo puncta eadem lineam lp quae producta incidat lateri ae apud q et basi de apud r quae similiter nusquam alibi, quanquam in infinitum producta, coincidet lateribus triangulorum. Deinde super singulas has quatuor lineas lm ln lo pqr superstruam singula plana orthogonalia in planum triangulorum abc ade eaque extendam, ut seceat conicas superficies: facient enim quacunque secare possunt producta in conicis superficiebus singula periferiarum genera, de quibus Apollonius latissime disserit in octo Conicorum libellis. Namque sectio facta a plano secante per lm ducto, circulus erit, cuius diameter lm per quartam Primi Conicorum: quandoquidem planum tale secans aequidistat basi conicae bc. Sectio autem a plano secante per ln ducto facta ovalis quaedam periferia erit, quae ellipsis dicitur, cuius axis sive diameter maior ln per 7^am et 13^am primi Conicorum. Sectio vero a plano lo in cono facta erit curva quaedam periferia, cuius crura per conicam superficiem infinitam in infinitum procedunt dilatata, cuius axis seu diameter lo quae nusquam, et si in infinitum producta, occurret conicae superficiei, quae sectio a praestantissimis geometris parabola dicitur, ut constat per 11^am Primi Conicorum. Sectio denique a plano per plqr ducto generata duplex est: nam utrunque conum secat: et similes in singulis conis sectiones fiunt. Quarum axis seu diameter communis est lq haec autem est curva Quarti generis periferia, cuius brachia per conicam superficiem delata in infinitum augentur: quae sectio hyperbole vocatur, tam [S:216] in uno cono, quam in altero: unde et ambae hyperbolae contrapositae dicuntur, ut patet per 14^am Primi Conicorum. Ex his solus circulus habet uniformem periferiam: congruunt enim in uno circulo arcus aequales. Ellipsis autem quamvis in se ipsam perfecto ambitu coeat, tamen circa vertices maioris diametri suscipit curvatiorem periferiam: et eo est oblongior, quo planum secans obliquus est ad conum. Verum semper a praecipuis diametris sese orthogonaliter secantibus distinguitur in 4^or quadrantes inter se similes et aequales. Parabola vero brachia in infinitum protendens, sicut semper minuit pedetentim, ita nunquam deserit curvaturam: et in duo similia secatur ab axe. Et omnes parabolae sunt inter se similes, sicut et circuli: fiunt enim eodem ductu plani penes latus conicum extensi. Non aliter hyperbole, utrinque ab axe suo similia proiicit brachia nunquam coeuntia et paulatim curvaturam minuentia: verum ab obliquiore plano angustior generatur hyperbole. Sed de his particulatim agetur per singula horologia.

Tertium preambulum

Sed prius exponam tertium quoddam praeambulum, quod est tale: plano quopiam circuli conicam tangente superficiem: omnis recta aequidistans lateri contactus extra planum tangens ad partes coni, producta omnino coincidet superficiei conicae.

Resumam lineamentum Primi praeambuli, in quo conum abc cuius vertex a basisque circulus lxc tangit planum circuli cy super latus conicum ac existente basis et plani tangentis communi sectione recta ck quae utrunque circulum tangit, ut constitit. Et ponatur per quodvis punctum extra planum ack tangens, ad partes tamen coni, quod punctum sit s ipsi ac lateri contactus aequidistans recta su quantumlibet remota a plano et a cono. Aio, quod linea su producta coincidet omnino conicae superficiei in infinitum extensae. Quod sic demonstrabo: cum linea su sit aequidistans ipsi ac quae ad punctum c occurrit plano basis bxc iam et ipsa eidem plano coincidet: coincidat ad punctum u. Et coniungatur recta cu quae, per 15^am Tertii Elementorum secabit circulum bxc quandoquidem recta ck tangit eundem. Secet in puncto x. Et ducatur latus conicum ax per primam Primi Conicorum. Erunt ergo, per 7^am Undecimi Elementorum lineae ac su ax in uno plano: coincidit autem xa linea ipsi ac lineae apud a. Igitur et eius parallelo su coincidet. Verum per primam Primi Conicorum ax continuata semper iacet in conica superficie: itaque su ipsi iam ax coincidens conicae superficiei, sicut demonstrandum proponitur, coincidet.

Quartum preambulum

Postremum praeambulum erit. Plano tangente conicam superficiem, [S:217] omnis recta in ipso iacens et aequidistans lateri contactus, nunquam occurret conicae superficiei, quanquam in infinitum et utroversum continuata. Nam, sicut in primo praeambulo fuit ostensum, contactus plani cum conica superficie fit solum super ipsum latus contingentiae: et omnia dicti plani puncta extra hoc latus, sunt extra conicam superficiem: igitur linea in ipso plano existens et lateri dicto aequidistans, quoniam semper extra latus cadet, semper extra conicam superficiem deferetur.