FRANCISCI MAUROLYCI,
ABBATIS MESSANENSIS,
DE LINEIS HORARIIS,
LIBER TERTIUS.
Ad Ioannem Vegam, Siciliae Proregem.
Praefatio
Omnis fere in assumpto negocio difficultas constitit in flexarum linearum notitia: qui locus tam neglectus est ab iis, qui de gnomonica ratione conscripserunt hactenus, quam Conicorum doctrina fuit incognita. Nos autem, quibus decretum est ea, quae ab aliis omissa sunt, tractare, et quae ad rei speculationem magis faciunt, id praecipue curavimus explicandum.
Quoniam igitur in superioribus libellis vix species flexarum, vix pauca circa earum axes, ac delineationes tetigerimus, lineis tantum horariis describendis intentis; in hoc postremo libello percurremus aliqua circa conicarum sectionum diametros, ac proprietates, et contactus, necnon circa contrapositarum non tangentes. Ut si quid remansit obscurum, hic apertius notescat. Perstringemus igitur aliqua ex Apollonio nostro partim decerpta, partim per nos demonstrata: ut quam facillime fieri poterit, flexarum huiusmodi diffinitiones, accidentia et proprietates praecipuae aperiantur: ab ipsis diffinitionum elementis exordium capientes.
Si itaque a puncto extra circuli planum fixo, recta linea utroversus in infinitum producta per ipsius circuli periferiam totam circumducatur: descripta per lineam circumductam superficies, conica superficies vocabitur utrinque a puncto sumpta in infinitum, habens utraque unum verticem, quod est punctum ipsum fixum. Conus autem erit sub circulo, et conica superficie comprehensum solidum. Conicas basis erit circulus: et vertex, qui et conicae superficiei vertex. Axis vero recta, quae per verticem basisque centrum traiicitur. Rectus conus est, cuius axis ad basim perpendicularis est. [S:264]
Scalenus vero conus, cuius axis abliquus est ad basim, plano autem conum per verticem secante, sectio facta triangulum est, sub duobus lateribus conicis et basis diametro seu chorda contentum, per tertiam Primi Conicorum. Plano item basi aequidistante conum secante, sectio circulus erit, per quartam praedicti. Si conus scalenus plano per axem recto ad basim secetur, sectio erit, ut dictum est, triangulum: cui si superveniat planum orthogonaliter simile sed sub contrariae positum triangulum abscindens, facta in cono per superveniens planum sectio, circulus erit, per quintam Primi Conicorum. Triangulum itaque per axem in cono recto, semper rectum est ad basim: in scaleno autem non semper. Basis autem talis trianguli semper est diameter circuli, qui basis est coni. Quando ergo planum dicto triangulo ita supervenit, ut sectionem in plano dicti circuli faciat perpendicularem ad dictam ipsius circuli diametrum, nec subcontrarium auferat triangulum; tunc faciet in cono unam ex tribus flexis, scilicet parabolen, si communis sectio eius cum triangulo aequidistet uni laterum trianguli: ellipsim autem, si sectio dicta coincidat utrique laterum. Hyperbolen vero, si sectio ipsa nec aequidistet, nec coincidat lateribus: talisque sectio erit diameter flexae in cono factae ipsius sicut paraboles, ellipsis, vel hyperboles, secans per aequalia omnem lineam, quae chorda est flexae, aequidistantem communi sectioni supervenientis plani cum circulo. Tales autem chordae sic a diametro per medium divisae dicuntur ordinatae sive structim actae. Et quando triangulum per axim orthogonaliter instat basi conico, quod in cono recto semper sit, quandoque vero in scaleno; tunc diameter flexae secat ordinatas ad rectos angulos, et diameter axis ipsius flexae. Quando vero triangulum per axim inclinatur ad basim conicum, quod in scaleno cono accidit, diameter oblique secat per medium ordinatas, nec diameter axis. Extremum axis seu diametri, dici solet vertex flexae: flexa autem ipsa sive parabole, sive ellipsis, sive sit hyperbole, dici solet conica sectio: quandoquidem fit a plano conum secante. Quando item planum triangulo per axim dicto modo superveniens, neutri laterum trianguli aequidistans, et alterum tam secans hyperbolen facit in cono: secabit et contrapositum conum faciens similem et aequalem dictae hyperbolen: quae quidem dicentur contrapositae communem diametrum habentes centrumque: coniugati axes, sive coniugatae diametri in ellipsi seu in contrapositis dicuntur, quarum utraque reliquam, eiusque parallelos ordinatas intra periferiam receptas singulas per aequa dividit, sive orthogo[S:265]naliter, si sint axes, sive oblique, si tantum diametri appellantur. Quod autem diameter sectionis conicae singulas suas ordinatas per medium partiatur, ostenditur in septima Primi Conicorum, in genere, speciatim vero in aliis propositionibus. Haec est summa conum, quae tractantur in conicis. Nunc de diametri et descriptionibus singularum flexarum nonnulla exponemus.