De Paraboles diametris, et lineatione. Caput 1

Ut sectionem conicam, seu flexam, quae parabole dicitur, eiusque diametros intelligamus; esto conus abc cuius basis ac vertex b triangulum per axem abc. Et a quolibet puncto diametri ac utpote d excitetur ipsi ac perpendicularis df et uni laterum trianguli utpote ipsi ab aequidistans, et reliquo incidens recta de et producatur planum, in quo fde lineae faciens in cono sectionem seu flexam egf quae per 11^am Primi Conicorum parabole vocabitur. Sive rectus sit conus abc sive scalenus, et eius diameter transversa erit de sectio communis plani secantis et trianguli per axim, quae diameter secat per medium ipsam fd usque ad oppositas coni partes continuatam et omnem ei aequidistantem, quae ordinatae seu structim actae dicuntur: secat, inquam, orthogonaliter, et axis vocatur, si conus abc rectus est, aut si scalenus et triangulum abc rectum super afc planitiem sistitur: secat vero oblique, si dictum triangulum inclinatur dictae circuli planitiei: et tunc non dicitur axis, sed simplex diameter. Et solet dici transversa diameter ad differentiam rectae diametri, qui sic invenitur.

Regula Prima

Sit doctrinam 5^ae regulae sexti Capitis praemissi libri, sicut ed ad dc sic da ad eh¹ . Dico iam, quod eh² erit recta diametros parabolae egf. Omnis enim ordinata poterit rectangulum sub trasversa et recta comprehensum. Nam fd ordinata est, et potest per 8^am sexti rectangulum ad dc Ergo per 15^am sexti et rectangulum de eh hoc est, sub transversa et recta contentum.

Assumatur et contingens punctum g in periferia parabolae, et ordinata ducatur gm hoc est, ipsi fd aequidistans. Et per punctum m ipsi ac aequidistans kml facietque planum in quo kl mg in cono circulum per 4^am Primi Conicorum: eritque sicut ed ad dc sic em ad ml. Quare, sicut em ad ml sic et ad vel km ad eh. Sed mg potest rectangulum kml quando circulus est kgl. Ergo potest et rectangulum em eh per 15^am sexti. Similiter ostendemus, quod omnis ordinata in parabola poterit rectangulum contentum sub recepta ex diametro transversa ad verticem, et sub eh et ideo, quod eh est recta diameter parabolae. [S:266]

Corollarium

Hinc sequitur ex prima sexti, quod ordinatarum potentiae sunt receptis ad verticem diametris proportionales: hoc est, sicut quadratum fd ad quadratum gm sic ed ad dh³ quod in 20^a primi ostendit Apollonius. Haec autem rectae diametro paraboles inventio est multo facilior et brevior demonstratu, quam ea quae ponitur in 11^am Primi Conicorum.

Regula Secunda

Proponatur et in plano parabola fge circa transversam diametrum ed et ordinatam fd. Est autem ordinata, quam diameter utrinque periferiae applicatam per medium partitur. Volo eius rectam diametrum invenire: faciam per 4^am regulam Sexti Capitis in praemisso libro ipsis ed df tertiam proportionalem eh. Sic enim fd ordinata poterit rectangulum de eh et perinde eh omnino recta diameter est, quae quaeritur.

Regula Tertia

Quod si data sit parabolae fge seu circuli, seu cuiuslibet alterius conicae sectionis periferia nuda sive centro ac diametris: et velim aliquam in ea diametrum invenire; ducam in tali sectione duas aequidistantes rectas utrinque periferiae applicatas fo gn quas singulas per aequalia secabo in punctis dm. Et agam per ea puncta rectam dme ipsa namque erit transversa diameter sectionis: et ad eam ordinatae sunt ipsae gn fo et omnes aliae illis aequidistantes. Et haec est 44^a Secundi Conicorum.

Regula Quarta

Detur et parabole fge⁴ . Volo eius axem describere. Inveniam per praecedentem regulam aliquam eius diametrum, quae sit ed dividens per medium ordinatam fdo. Si itaque diameter ed ad rectos angulos secet ordinatam fdo iam per diffinitionem, axis est ed. Secus vero per punctum d agam ipsi ed perpendicularem gdn utrinque periferiae applicatam, eamque per aequa dividam in puncto m ipsique perpendicularem excitabo mp quae per differentiam erit axis parabolae. Et haec est propositio quadragesimasexta Secundi Conicorum.

Corollarium

Unde patet, quod axis et omnes diametri parabolae sunt aequidistantes, sicut ostenditur in quadragesimasexta Primi Conicorum. Et perinde, sola parabola inter flexarum species, caret centro. [S:267]

Regula Quinta

Ex datis denique paraboles diametris duntaxat possum delineare periferiam: ut exempli gratia, sit recta diametros parabolae ab. Axis vero, seu diametros ac volo circa diametrum ac lineare parabolen, cuius recta diametros sit ab.

Ponam in rectam unam utranque ca ab et secta ac per Sextum Caput praemissi libri, in aliquot aequas portiones, utputa quatuor in punctis d e f describam super bc bd bf diametros singulas singulos semicirculos bmc bmd boe bpf. Deinde a puncto a excitabo ad rectos ipsi bc lineam am secans periferias in punctis m n o p. In axe autem seu diametro parabolae ac ut dictum est divisa in punctis d e f ducam ordinatas lc ipsi am aequalem dk ipsi an aequalem; eh ipsi ao aequalem. Et fg ipsi ap aequalem; singulas ad aliam partem ultra diametrum ac tantundem productas. Nam delineanda periferia parabolae ibit per a g h k l puncta et eorum correlativa ultima diametrum. Quae puncta quo plura fuerint, eo certius delineabo per ea ductam periferiam leni flexu et angulosae fracturae expertem. Cuius operationis demonstratio est, quod in semicirculis, rectae am an ao ap singulae possunt singula rectangula, quae possunt singulae ordinatae cl dk eh fg in parabola, quibus sunt aequales singulae singulis.

Corollarium

Unde manifestum est, quod in delineatione parabolae semicirculi, ex quibus ordinatae eliciuntur, sese contingunt apud extremum rectae diametri. Habes itaque et hunc modum lineandi parabolen in horologiis.