1 Ratio, ut ait Euclides, est duarum eiusdem generis, quantaecumque sint, magnitudinum comparatio, certa. Non comparantur, nisi eiusdem generis quantitates, ideo ponitur in diffinitione eiusdem generis. Nam illae quantitates comparantur, quarum altera alteram excedere, aut altera alteri aequalis esse potest; tales autem sunt eiusdem nominis quantitates, propterea solae tales per rationem comparantur. 2 Igitur linea minime conferri potest cum superficie, linea enim neque maior, neque minor, quam superficies, neque aequalis ei dici potest. Idemque dicendum de ceteris quibuscumque diversi generis quantitatibus. Comparantur igitur duae lineae, duae superficies, duo solida, duo tempora, duo pondera, duo numeri et caetera homogenea. Certa vero ponitur in diffinitione non quasi scita vel cognita; sunt enim multae immo infinitae rationes incognitae; sed certa, hoc est determinata, ut exempli gratia sit haec, et non alia additur, quantaecumque sint: finitas enim oportet esse quantitates comparandas, neque enim finiti ad infinitum assignari potest ratio. Videtur igitur ratio esse quodammodo relatio. 3 Et tamen conferuntur rationes, quo ad aequalitatem vel inaequalitatem, unde proportio est rationum aequalitas sive identitas, quamvis Campanus et communiter omnes rationem appellent proportionem, rationum vero similitudinem proportionalitatem. Sed non interturbabit verborum diversitas conceptum rei. [A:21v]
4 Quamvis igitur ratio sit collatio quantitatum, sub praedicamento relationis ponenda, dicitur tamen ratio maior, aut minor quam alia ratio, aut etiam aequalis, quod fit propter collatarum quantitatum inaequalitatem, aut aequalitatem. Nam duae quantitates aequales ad tertiam quampiam collatae eandem habent rationem. 5 Duarum vero quantitatum inaequalium ad tertiam collatarum, maior maiorem habet rationem. Ecce rationum aequalitas aut inaequalitas ex aequalitate, aut inaequalitate quantitatum pendet. Consyderatio itaque rationum adeo late patet, ut non solum in theoria, sed etiam in praxi numquam non usu veniat; etiam ibi, ubi de rationum identitate non agitur. 6 Nam et si de proportione non agitur, collatio ipsa magnitudinum, quo ad aequalitatem, vel inaequalitatem quid aliud, quam ratio est? Similiter in calculo, et si non dum proportio respicitur, nonne denominatio magnitudinum a posita nobis cognita rationis consyderatio est? Numquam igitur sive speculantes, sive operantes absque, sive operantes absque magnitudinum collatione procedimus. 7 Et quoniam sunt duae quantitatis species discretum scilicet et continuum, et discretorum collatio semper est sicut numeri ad numerum, continuorum autem non semper, idcirco et totidem esse rationum species oportebit, ut scilicet, quae numeri ad numerum est, commensurabilis, quae vero aliter quam numeri ad numerum incommensurabilis appellatur. Omnis igitur ratio commensurabilis ab aliquo numero sive aequali, sive multiplici, sive superparticulari, sive superpartiente, sive ab his composita denominari potest. Ratio vero incommensurabilis, quia sicut numeri ad numerum [A:22r] non est, non habet unde denominetur. 8 Unde, proportionales numeri cum sint qui, eandem suscipiunt denominationem, utpote duplam utrique, aut triplam, aut quadruplam, et deinceps. Maior autem in numeris ratio, quae maiorem sortitur denominationem, utpote tripla maior quam dupla, et quadrupla quam tripla et deinceps; iam in quantitatibus continuis, in quibus infinitae sunt rationes incommensurabiles, et perinde nullam a numeris denominationem habentes, non licuit ex tali medio diffinitionem proportionalibus magnitudinibus assignari, quae communis esset commensurabilibus et incommensurabilibus, cum incommensurabiles ne unde denominentur. 9 Cogitandum igitur fuit de aliqua conditione, quae his et illis communis esset, solisque proportionalibus propria quantitatibus, per quam scilicet diffinitio solas eas, ut diffinitionem decet, determinaret. Ita scilicet, ut omnes quantitates tali conditione praeditae proportionales essent; et e contrario omnes quantitates proportionales talem haberent conditionem. 10 Et rursum quantitates tali conditione carentes diversarum essent proportionum. Et vicissim quantitates inaequalium rationum omnino talis conditionis expertes essent. Hic meo quidem iudicio maxime commendanda est Euclidis perspicacia, si modo is primus extitit medii talis inventor. 11 Namque ex hoc medio pendet tota mathematicae disciplinae demonstratio. Itaque, quoniam ratio est quantitatum eiusdem generis habitudo quaedam, ideo non nisi inter duas quantitates esse potest homogeneas. Proportio autem, cum sit rationum identitas, inter duas erit rationes. Duae autem [A:22v] rationes si singulae sint diversarum magnitudinum hoc est diversi generis; iam singulae duas seorsum quantitates sibi postulabunt. 12 Ita proportio, sive proportionalitas, in quatuor terminis satis assignari potest; quos non necesse est esse eiusdem omnes generis: modo duo primi sint eiusdem generis, et duo reliqui etsi alterius, unius tamen generis; ut scilicet tam inter illos quam inter hos suscepta ratio sit inter homogeneas quantitates; fieri ergo potest, ut omnes quatuor sint eiusdem generis, ut quatuor lineae, sive quatuor superficies, sive quatuor solida. 13 Aut ut binae sint unius generis, et binae alterius, ut illae duae lineae; hae autem duae superficies, aut duo solida, et deinceps. Hinc lineae superficiebus, solidis, temporibus, ponderibus et numeris, et quaelibet duae unius generis quantitates, quibuslibet unius generis quantitatibus proportionales esse dicuntur. 14 Proportionalibus igitur quantitatibus haec semper inhaerebit peculiaris et inseparabilis conditio: ut scilicet, cum prima ad secundam eius rationis erit, cuius tertia ad quartam, primaeque et tertiae assignentur aeque multiplices; itemque secundae et quartae aeque multiplices iuxta quamvis multiplicationem: semper illae multiplices has, singulae singulas, vel simul excedent, vel simul aequabunt, vel simul deficient. 15 Proportionales igitur quantitates erunt, quibus numquam non huiusmodi conditio affuerit. Et e contrario, si proportionales supponantur quantitates, omnino tali conditionem erunt praeditae. Illae vero, quibus haec conditio non inerit, diversarum erunt rationum; et vicissim [A:23r] si diversarum fuerint rationum, erunt omnino talis conditionis immunes. Hinc triangula, parallelogramma, nec non parallelepipeda solida, pyramides quoque ac columnae sub eodem fastigio1 basibus proportionalia demonstrantur. 16 Namque triangulum triangulo eam servat rationem, quam basis basi propterea quidem, quod his quatuor quantitatibus scilicet duobus triangulis, duobusque basibus semper adhaeret dudum memorata conditio. Nam primum triangulum est prima magnitudinum, alterum triangulum secunda, basis primi trianguli tertia, basis reliqui trianguli quarta. 17 Sed multiplicato primo triangulo, aeque multiplicatur eius basis, sic prima et tertia magnitudines aeque multiplicantur; dein multiplicato altero triangulo, aeque multiplicatur eius basis, sic secunda et quarta magnitudines aeque multiplicantur. Sed multiplicia triangulorum triangula sunt, multiplicia vero basium bases. Si autem triangulum triangulo maius erit, et basis basi maior erit, et si aequale, aequalis, et si minus, minor. 18 Ecce igitur quatuor quantitatibus inest supradicta conditio et ideo proportionales sunt ipsae quantitates: hoc est, sicut triangulum ad triangulum, sic basis ad basim. Hoc idem de parallelogrammis superficiebus aut solidis dudum memoratis sub eadem celsitudine constitutis ostenditur. Nec minus de angulis ad circuli centrum constitutis, nam tales anguli assumptis periferiis, atque sectoribus ex tali conditione proportionales esse demonstrant. 19 Hinc similium triangulorum et figurarum tam planarum quam solidarum respondentia latera rationum identitate copulantur. Hac itaque diffinitione Euclides complexus est proportionales magnitudines [A:23v] tam commensurabiles, quam incommensurabiles; hoc est diffinivit quid sit rationum identitas, quam proportionem et proportionalitatem appellare licet.
20 Hinc constat notitia quantitatum continue proportionalium, neque oportet eas rursus per eandem conditionem diffinire, sicut egit Campanus. Nam qui vult diffinire tres quantitates continue proportionales quas eiusdem generis esse oportet, quoniam medius terminus bis confertur: is geminet mediam quantitatum, ita ut singulae rationes hinc inde seorsum binos habeant terminos; atque ita diffinitio eodem redeat, hoc est sicut diffiniuntur quatuor quantitates proportionales. 21 Quod si quantitatibus continue proportionalibus sua seorsum assignetur diffinitio. Sic, quemadmodum fecit Campanus, quantitates continue proportionales sunt, quarum aeque multiplicia, aut aequa sunt, aut aeque addunt vel minuunt; iam istaec conditio inerit omnibus quantitatibus successive crescentibus absque similitudine rationis, et ita diffinitio, ut ipsemet Campanus fatetur, est falsa. At interpretatur ipse diffinitionem, dicens multiplicium incrementum non simplex sed secundum eandem proportionem intelligendum esse. O ridiculum caput. 22 Iam si diffinitio fit per terminum diffinitum, futilis est, et involucrum potius, quam diffinitio. Talis enim diffinitio sic intelligitur. Quantitates continue proportionales sunt, quarum aeque multiplicia sunt continue proportionalia. Sed si sic intelligenda est diffinitio, sicut et ipse fatetur, sic etiam scribenda est: non enim aliter scribenda est et aliter intelligenda. Quid ergo opus fuit multi[A:24r]plicium medio uti, potuit sic brevius diffinire. Quantitates continue proportionales sunt illae, quae sunt continue proportionales: nihil ergo diffinit utens termino diffinito: ac si diffiniens hominem diceret, homo est homo.
23 Expungenda est ergo haec diffinitio ab Elementis, tamquam inanis et nihil determinans: cum continuarum proportionalium quantitatum diffinitio (ut diximus) bis assumpto medio termino, redigatur ad quatuor proportionalium diffinitionem. Posset et proportionalia aliter diffiniri sic: tunc enim bini hic termini, binis illic positis proportionales esse dicuntur: cum quoties hic, toties illic minor de maiori auferri potest; et quoties hic, toties illic residuum de minori: itemque et quoties hic residuum de ablato, toties illic residuum de ablato, itaque in infinitum. 24 Nam si nihil quandoque sit hic et illic relinquatur, tunc tam hic, quam illic commensurabiles erunt termini, et ipsae rationes commensurabiles, sicut per 2am decimi constat. Haec quo ad diffinitionem proportionis seu proportionalitatis. Similis autem proportio est, cum antecedentia singula singulis consequentibus comparantur. Permutata proportio, cum antecedens antecedenti, et consequens consequenti, comparantur; et talia sunt permutatim proportionalia. Conversim proportionalia sunt, cum consequentia pro antecedentibus et antecedentia pro consequentibus accipiuntur. Coniunctim proportionalia, cum antecedentis et consequentis utrobique aggregatum ad consequens confertur. 25 Disiunctim vel divisim proportionalia, cum excessus antecedentis super consequens comparatur ad ipsum consequens. Eversim proportionalia, cum antecedens ad dictum [A:24v] confertur excessum. 26 Quoniam igitur antecedentia consequentibus comparata fuerint proportionalia: iam et permutatim, et conversim, et coniunctim, et disiunctim et eversim erunt proportionalia. Quoniam autem fuerint quotlibet quantitates in uno ordine, tunc ratio primae earum ad postremam dicetur composita ex rationibus mediis: et si rationes mediae fuerint eaedem, quotcumque fuerint, toties erit multiplex ratio primae ad postremam rationis unius ex mediis, ut duplex, triplex. 27 Et si in alio ordine fuerint totidem quantitates quarum rationes mediae sint rationibus mediis primi ordinis singulae singulis aequales, sive lateraliter sive perversim collatae, tunc ex aequali primae postremis proportionales erunt; eaedem enim rationes et eiusdem numeri eandem rationem componunt.
28
Sed omittam hic ea, quae in Elementis demonstratur, et repetam distinctius rationis ipsius sive proportionis differentias. Nam si rem abunde tractare vellem, oporteret omnino me de proportione loquentem, quaecumque in 5o et 6o Elementorum, quaecumque in 10o quidquid in arithmeticorum ac solidorum libris traduntur, complecti. Satis mihi nunc sit rationis species distinguere.
29
Cum vero quidquid de ductu, ratione, ac symmetria linearum ac superficierum in praedictis voluminibus traditur, id totum procul dubio ad quantitatem universaliter acceptam referri possit; iam et rationalium et ir[A:25r]rationalium species de omni quantitate praedicari possunt, quae cum respectu quantitatis rationalis positae consyderentur, ut scilicet quantitas, quae positae sive magnitudine, sive saltem potentia commensurabilis est, rationalis appelletur, quae vero neutro modorum commensurabilis, irrationalis.
30
Omnino haec relatio2 geminas praecipuas faciet in ratione species: rationalem scilicet et irrationalem. Sed ego altius exorsus stypitem primum in geminos secabo ramos. Omnem enim rationem aut cognitam esse, aut incognitam in primis, nemo ibit inficias; ut cognita illa sit, quae sive commensurabilitate, sive aliqua relationis lege, quae indidem originem habeat, per numerarios terminos limitata in aliquam omnino veniat notitiam. Incognitam vero, quae neque commensurabilitate, neque ullis numerariis terminis nominari possit: et perinde 
hoc est innominabilis neque nobis, neque naturae notescat.
31
Cognitam igitur rationem appello eam, quae est inter duas quantitates, quae sive per magnitudinem, sive per potentiam primam, secundam, vel quotamcumque, sive per duo vel plura nomina numerariis terminis significari possunt: non enim incommensurabilitas obstat cognitioni, dum nomina sortiantur quantitates, unde ratio quae est inter latus pentagoni et diametrum circuli pentagonum circumscribentis et si irrationalis, cognita tamen est; quoniam et diameter et latus figurae numerariis terminis significantur.
32
Incognitam vero, quae nullo modo in numerum cognitarum cadit, et omnis cognominationis est expers. Unde cum cognita per essentialem differentiam diffiniatur, et numerata demonstretur; incognita non nisi per privationem diffiniri [A:25v] potest, ac sicut a numeris aliena, ita et indemonstrabilis est.
33 Talis, ut ego existimo, est ratio periferiae ad diametrum. Omittamus igitur incognitam rationem, quae numeraria lege nequaquam cohiberi potest. Cognita autem ratio, aut rationalis erit, aut irrationalis. Si rationalis, hinc aut ipsa quantitate, cum scilicet collatae quantitates sunt inter se commensurabiles aut potentia tantum, cum collatarum quantitatum solum potentiae sunt inter se commensurabiles. 34 Rationalis ratio in quantitate sex habet species, scilicet aequalitatem, multiplicem, superparticularem, superpartientem, multiplicem superparticularem, multiplicem superpartientem. Irrationalis autem ratio aut unius nominis erit, aut plurium: sumpta videlicet ex collatione quantitatis irrationalis unius, aut plurium nominum ad positam rationalem. Si unius nominis, sic ergo erit, aut medialis, aut medialis secunda, aliaeque in infinitum. Si plurium nominum tunc aut duorum, aut trium, quatuor pluriumve. 35 Si duorum aut erit binomialis, aut recisa. Si binomialis, aut erit ex binis nominibus, cuius sunt sex differentiae, aut bimedialis prima, aut bimedialis secunda, aut maior, aut rationale mediumque potens, aut bina potens media. Si recisa, erit apotome harum sex specierum. 36 Et3 sicut singulae sex binomialium species in se ductae producunt singulas earum, quae, ex binis nominibus, differentias. Ita singulae sex recisarum species in se multiplicatae procreabunt singulas residuorum differentias. Si tandem trium, quatuor, pluriumve nominum fient infinitae species. Sed de quantitatibus cubo tantum rationalibus nihil Euclides.
37 Ex quibus gigni poterat alia irrationalium magnitudinum et perinde rationum turba. Sed ne nimiae curiositatis arguamur, erimus praedicti contenti. Sciendum igitur est multas quantitates in [A:26r] geometria esse incognitas, utpote multorum triangulorum, quorum cognita sunt latera, tamen anguli sunt incogniti; et e contrario multorum, quorum noti supponuntur anguli, latera tamen ignota sunt. 38 Loquimur enim de cognitione punctuali geometrica, non de cognitione proxima veritati. Item de quantitate solidorum angulorum nemo ratiocinatur; et tamen sicut solidus angulus cubi ad sphaerae centrum constitutus comprehendit octavam sphaericae superficiei partem (sicut angulus planus rectus quadrantem circuli) quantum de sphaerica superficie assumat alius quispiam alterius solidi regularis angulum ut pyramidis, octahedri et reliquorum ignotum est. 39 Ignota est arcus ad chordam, periferiae ad circulum, circuli ad rectilineum, cylindricae conicaeve scalenae superficiei ad basim, sphaeralis triangulae superficiei ad totam sphaericam, et multorum ad multa proportio. Unde non dubito huiusmodi rationes in numero incognitarum ponendas esse.
|
In arce Catanensi, die 
, 22o iunii 1554.