1 Cum pars mathematica supremam demonstrandi vim obtineat, quod et philosophus, dum geometrica frequentat exempla, indicat, iam ea omissa, nescio quid in philosophia certitudinis relinquatur. Rursus, hac neglecta, iam nulla non professio sive in liberalibus, sive in mechanicis exercitiis, iacturam sentiet maximam, cum unicuique et fabricae et calculi quotidie opus sit instrumenta, quod ex mensura numeroque praestatur. Tanto igitur iniquius ferendum est, huius nobilissimae disciplinae studia in gymnasiis ita frigere, ut vix postremum obtineant locum. 2 Nec parum ego mecum haec agitans indignor; nam si qui philosophantur in scholis hanc philosophiae partem, quae maioribus nostris maximo fuit in precio, contemnant, si huiusmodi perspicacissimas demonstrationes negligant, si mundanorum orbium numerum, situm, formam, motumque ignorent, quid per deum optimum maximum curabunt, quid porro intelligent? Libet nobis hic immorari, quoniam haec est hominis coelesti semine prognati indagatio, hic est delitiosissimus intellectus humani cibus. 3 Alibi certitudinem non invenio. Itaque post divisionem artium, iam mathematicae, in qua versamur, partes accuratius nobis hic sunt discutiendae, quod nulla via commodius fieri poterit, quam ipsius professionis subiectum [A:10v] particulatim dividendo. Discutiemus igitur membra quantitatis ab ipso generalissimo genere exorsi, et assumptis successive differentiis per singulas species procedemus.

4 Quamvis enim quantitas sit mathematicae subiectum, tamen non nisi qualitate socia dividi potest. Quod si quantitas simpliciter, hoc est, nulli addicta formae consyderetur, erit tunc ut indivisum, sic indivisae mathematicae subiectum. 5 Quidquid ergo agitur de ductu, divisione, ratione ac proportione, nec non commensurabilitate, aut incommensurabilitate in quantitate generaliter consyderata, iam id totum ad mathematicam primam spectabit. Quam ob rem quidquid de ductu, partitione, ratione ac symmetria linearum ac numerorum ab Euclide reliquisque <ve¹>tustioribus traditur, quoniam ad quantitatem in genere referri potest, non minus ad mathematicam referetur. 6 Id autem fit numero mediante. Est enim numerus generale magnitudinum instrumentum, nec solum rationales, sed irrationales etiam quantitates numerariis terminis significantur. 7 Porro quantitatum alia discreta est, alia continua: discreta est, cuius partes ad invicem discretae sunt, ut numerus; continua vero, cuius segmenta ad communem aliquem terminum continuantur, quae magnitudo dici potest ut linea, superficies, solidum, tempus, locus, pondus, momentum, vis. 8 Partes enim numeri, ut in quinario, binarius et ternarius discretae sunt, suosque seorsum limites habent. Lineae vero portiones ad pun[A:11r]ctum; superficiei ad lineam; solidi ad superficiem, tamquam ad communem terminum copulantur.

9 Visum autem fuit Aristoteli numerum et orationem subalternari tamquam species quantitati discretae: sicut et linea et superficies et corpus et reliquae species subiiciuntur quantitati continuae, quasi oratio sit species quantitatis abstractae, quo nihil est a vero magis alienum. 10 Nam si quantitas discreta est oratio; nimirum, ob numerum syllabarum, aut dictionum, erit discreta quantitas. numerus ergo erit ad syllabas, dictionesve contractus. Non igitur erit alia, quam numerus, discreta quantitas, nam secus, et modulatus propter notularum processum, et saltatio, propter motuum frequentiam, et similia discretae quantitatis species erunt. 11 Sed quomodo res materiales possunt esse abstractae quantitates, de quibus tantum purus mathematicus agit? Numquid et pecunia et militaris phalanx numero sociae species adscribentur? Nonne duae differentiae discreta et continua generi praecipuo, quod est quantitas, apposita totidem species constituunt, discreta videlicet numerum, atque continua magnitudinem? 12 Nonne deinde, sicut magnitudo suas species habet lineam, superficiem ac solidum et caeteras; ita et numerus suas, linearem seu,planum², solidum, parem, imparem, et reliquas? Ubi hic cadit oratio? Quid mathematico cum oratione? Si inter abstractas quantitates oratio ponenda est, sicut iam de numero, de linea, de superficie, de corpore, ita et de oratione agere debuit Euclides. 13 Sed cum [A:11v] de ea neque Euclides, nec aliquis mathematicus graecus, neque latinus agat, neque iure agere cogi possit. Iam plane constat eam non venire in consyderationem mathematici, quod si non venit, neque in praedicamento quantitatis scribendam esse certum est. Cum igitur duae sint quantitates species numerus seu et magnitudo, duo singulis assignantur principia: hic scilicet punctum, ibi unitas. 14 Unitas est, qua unumquodque existens unum appellatur. Numerus autem ex unitatibus composita multitudo. In dubium ergo venit numerus sit unitas nec ne. Videtur enim numerus non esse, cum unitatum multitudo non sit: sed cum pars sit numeri, iam numerus esse debet: quandoquidem pars lineae linea est, et pars superficiei superficies et pars solidi solidum, et pars temporis tempus. 15 Item non conferuntur nisi eiusdem generis quantitates: sed unitas cum quovis numero proportionaliter confertur, ergo numerus est. Adhuc cum in prima divisione duplex sit numerus, singularis et pluralis, iam unitas a numeri diffinitione non excluditur. 16 Quod autem aiunt numerum esse unitatum multitudinem; sicut diffinitio binarium includit³, ita unitatem non excludit: et sub infinitis pluralibus, ad quos praecipuum habent numerum, subintelligit et singularem: atque⁴ dum non determinat unitatum multitudinem, liberum relinquit, quot unitates sint capiendae ad constituendum numerum: sicut igitur quotvis unitates, mille, centum, decem, quinque, quatuor, tres duaeve [A:12r] unitates ad constituendum numerum sumi licet: quisnam vetat⁵ unam sumi? Fateor quidem unitatem principium esse, matremque numerorum; sed sicut constituit, coeteros numeros, se ipsam non posse constituere, id nego. 17 Si enim monas constituit dyadem, triadem, tetradem, multo facilius potest constituere monadem⁶. Praeterea, si unitas est genitrix numerorum, quo pacto esse potest aliud, quam numerus? Numquid numerus a re, quae numerus non est, gigni potest? Non est igitur dubium quin, sicut unitas pluries accepta pluralem, ut puta millies chiliadicum, centies hecatontadicum, decies decadicum, quinquies pentadicum, quater tetradicum, ter triadicum, bis dyadicum, ita et semel assumpta monadicum faciat numerum. 18 Quod si unitas numerus non est, sequetur numerum conflari ex iis, quae numeri non sunt, quo nihil absurdius dici potest. Ad summam sic concludo, unitatem in gignendis numeris seu mavis constituendis, esse numerorum principium. Unitatem vero a se ipsa constitutam, esse numerum inter caeteros⁷ pari lege constitutos, neque obstare singularitatem essentiae numeri. 19 Porro sicut magnitudo suas, ita et numerus suas habet species. Est enim numerus quidam linearis, qui in lineam disponitur: qualis nullus non numerus esse potest. Quidam autem superficialis, quem et planum appellare possumus, in aliquam scilicet [A:12v] areae formam dispositum. Quidam vero solidus, qui positione corpulentiam imitatur quampiam. Lineari deinceps multae subiiciuntur species. Pares, a duplicatis per ordinem numeris facti. Impares, qui paribus unitatem adiiciunt. 20 Pariter pares ex ductu parium geniti. Impariter impares ex ductu imparium. Pariter impares vel impariter pares, ex ductu parium in impares. Perfecti, qui partium suarum adaequant congeriem. Primi, quos nullus, praeter unitatem, metitur numerus. Compositi, quos numerus quispiam mensurat. 21 Superficialium autem species sunt trianguli, tetragoni, pentagoni et hexagoni, a forma, quam prae se ferunt, denominati, scilicet tetragoni duae praesertim species consyderantur, quadratus, qui aequis constat lateribus: et parte altera longior, qui unitate longior est, quam latus. Hexagonus etiam duplex est, aequiangulus et non aequiangulus. Sunt praeterea trianguli, quadrati, pentagoni, hexagoni, heptagoni, octogonique secundi ordinis, qui ex unitate et triangulo primi ordinis in laterum numerum multiplicato generantur, de quibus in Arithmeticis nostris multa ingeniose scripsimus.

22 Solido numero tres subiacent species, cubus⁸ scilicet, qui ex quovis numero in latus suum ducto gignitur. Prisma, sive laterata columna, ex quovis numero in superficialem suum, triangulum, pentagonum, aliumve ex reliquis progenita: et ab angulorum seu laterum numero denominata. Unde tam⁹ ex primi ordinis, quam ex secundi ordinis superficialibus columnae propagantur. 23 Pyramis ex aggregatione unitatis et [A:13r] sequentium eiusdem speciei superficialium, ut triangulorum, quadratorum, reliquorumve, in utrolibet ordine conflata, numerumque angulorum vel laterum suscipiens. De linearibus numeris, de quadratis¹⁰, tetragonis, cubisque satis disseruit Euclides in tribus Elementorum libris. Triangulas, reliquasque tam planorum quam solidorum formas exequitur Boetius, a Philolao et Nicomacho multa mutuatus. 24 Et ex nostris Iordanus omnia demonstrative complexus est, quamquam ab Euclide demonstrata repetere non debuit. Nos autem in Arithmeticis nostris multa ab aliis omissa, tam speculativis iucunda, quam practicis utilia supplevimus. Ubi et praxeos regulas brevissime demonstravimus. Omitto hic practica praecepta, quaestiunculas et argutias a plerisque recentiorum traditas, et a theoria tamquam a fonte derivatas.

25 Dicendum nunc de reliquo praecipui stipitis ramo, cum de uno satis dictum sit. Diximus enim numeri sive multitudinis species, explicandae nunc sunt magnitudinis differentiae, quaecumque sint, atque in primis de puncto agendum, quod quidem sicut est quantitatis expers, ita est magnitudinum principium. Est enim continuorum indivisibilis origo. Quod et notam vocat Censorinus, multi autem signum. 26 Punctum, inquit Euclides, est cuius pars non est, ut autem Heron, limes sine spacio. Punctum enim est linearum cuiusvis terminus, ad quem copulantur. Idem mediae magnitudinis est certus index, sive polus sit motus versatilis, sive pyramidalis vertex, sive magnitudinis, aut gravitatis, aut utriusque centrum, sive se invicem secantium, sive [A:13v] se vicissim tangentium linearum locus, atque contactus. 27 Primariae autem magnitudinum species sunt linea, superficies, atque solidum. Si enim magnitudo unicam habeat dimensionem, linea est; si binas, area; si demum tres, solidum. Linea est longitudo latitudinis expers, inquit Euclides et Heron. Campanus addidit et sine profunditate, quasi exclusa latitudine, non excluderetur omnis alia praeter longitudinem dimensio. 28 Linea est communis superficierum limes, ad quem coniunguntur; unde si quis areae partem albam, partemque nigram exponat, iam albi nigrique limitem constabit sensui simul et intellectui lineam esse de neutra partium arealium quidpiam occupantem, et perinde latitudinis omnis immunem. Linearum aliae rectae, aliae non; et non rectarum aliae circulares, aliae flexae¹¹, inquit Heron. Item linearum aliae planae, aliae solidae, ut ait Geminus. 29 Omnis linea aut recta est, aut circumcurrens, aut mixta, ut Plato et Aristoteles. Recta linea est, quae ex aequo sua interiacet puncta. Nam puncta sunt lineae extrema. Recta linea est, in qua media extremis directe occurrunt, ut Plato. Recta linea est, cuius partes invicem semper congruunt, quaeque, revoluta circa eosdem limites, semper eundem obtinet locum, ut Heron. 30 Recta linea est brevissima earum, quae terminos habent eosdem, ut Archimedes; unde omnis seu visibilis potentiae, seu luminis radius, quoniam infinitae velocitatis est, et quidquid vehementissimo fertur impetu, brevissimum tractum eligens in rectum progreditur¹². 31 Item addi[A:14r]mus his nostram diffinitionem. Recta linea est extensio longissima cuiuspiam longitudinis: nam flexa longitudo inter duos terminos, tunc limites quam maxime distantes habent, cum in rectum extensa fuerit. 32 Curva vero linea infinitas habet species, sed earum praecipua est circularis, sive totus ambitus, sive dimidium, sive plus minusve dimidio sumatur. Sunt et aliae periferiarum species, ut quae in conicis sectionibus hyperbola, ellipsi, atque parabola, de quibus Apollonius et Serenus. Sunt et spirae quae circumvolutae dilatantur, de quibus Archimedes. 33 Linearum porro in eadem superficie descriptarum, quaedam sunt paralleli, quae quamvis in infinitum productae utrique nusquam contactum admittunt. Quaedam vero ad angulum concurrunt. Angulus igitur est linearum concursus, ut Euclides, vel ad punctum unum ab effracta linea confractio, ut Heron; vel linearum retusio, ut Eudemus peripateticus, vel intervallum coeuntium linearum, aut superficierum, ut Carpus Antiochenus; vel coeuntem lineam seu superficiem ad punctum unum, ut Apollonius. 34 Qui et de cochleae figura scribens tres linearum species facit, rectam scilicet, circularem et obliquam. Sunt etiam in hyperbola, quae una sectionum est conicarum, non coincidentes lineae, extra ipsam sectionem, quae ab uno puncto prodeuntes, et in infinitum extensae semper magis, magisque approximant periferiis sectionis, nusquam tamen illis coincidentes, de quibus in secundo Conicorum Apollonius. [A:14v]

35 Nunc veniam ad superficiem ultimam magnitudinis speciem, quae longitudini latitudinem addit, quam loci corporisque limitem esse dixit Heron, et ad quam solidi partes tamquam communem terminum sunt contiguae. Huius species binae, plana scilicet et curva. Planam superficiem esse quae ex aequo suas interiacet rectas, ait Euclides. 36 Plana superficies est, quae cunctis suis congruit partibus, vel cui recta linea quaqua verius coaptata congruit, ut ait Heron. Vel brevissima eosdem limites habentium, si Archimedem sequimur, vel longissima extensio superficialis, tunc enim curva superficies limites adipiscitur distantissimos, cum in planam protenditur. 37 Curva vero superficies est, quae curvatur, vel cui recta non in omnem tractum congruit. Planae superficiei species sunt curvilineam et rectilineam. In curvilineis primus est circulus, unica quidem linea, quae periferia dicitur, contentus, a cuius puncto medio, quod centrum est, omnes rectae ad periferiam ductae sunt aequales; semicirculus autem sub diametro, quae per centrum transit et dimidio periferiae continetur; portio vero maior, minorve semicirculo sub chorda et assumpta periferia. 38 Sector quoque circuli sub duabus semidiametris et interiecto arcu comprehenditur. Sunt et aliae curvilineorum species, ut sectiones conicae, hyperbolae, ellipsis ac parabola, quae in cono certa lege secto fiunt, de quibus in Conicis perspicacissimus ratiocinatur Apollonius. Rectilineorum species sunt triangula, quadrangula, quinquangula et coeterae figurae ab angulorum, seu laterum numerum denominatae. 39 Triangulorum aliud est aequilaterum, quod aequalia latera et angulos habet, aliud isosceles, quod duo tantum crura, aequalia; aliud scalenum quod in totum inaequalia latera sortitur. Rur[A:15r]sus, triangulorum aliud orthogonium, quod unum ex angulis rectum; aliud amblygonium, quod unum obtusum, aliud denique oxygonium, quod acutos omnes habet; neque enim duos obtusos, aut rectos, aut alterum rectum et alterum obtusum habere potest, cum omnes tres anguli aggregati duos conficiant rectos. 40 Recti autem sunt anguli, quos recta in rectam lineam incidens utrinque facit aequales; perpendicularis seu in eam, acutus autem angulus recto minor est, obtusus vero maior. 41 Quadrilaterarum deinde figurarum aliud est parallelogrammum, quod opposita latera aequidistantia, et perinde aequalia et oppositos angulos aequales habet; aliud trapezium utcumque formatum. Parallelogrammorum, aliud quadratum quod aequa latera et rectos sortitur angulos; aliud rectangulum, quod rectos habens angulos latera tantum opposita aequalia servat. 42 Aliud praeterea rhombus, quod habens aequa latera, oppositos tantum angulos aequales tenet. Aliud rhomboides, quod tantum opposita latera aequalia, oppositosque angulos aequales. Quinquilaterae autem et coeterae multilaterae figurae ita singulae suas faciunt¹³ species, ut quadrifariam distinguantur: aut enim aequilatera est et aequiangula, aut aequilatera tantum, aut aequiangula tantum aut neutra. At curvae superficiei species sunt, sphaerica, conica, cylindrica, sphaeroides, conoides et aliae infinitae; quarum diffinitio ex solidorum constabit. 43 Solidorum enim aliud circulare, aliud polyepipedum. Circularium aliud sphaera, aliud conus, aliud cylindrus, aliud tornatile. Sphaera. Namque si semicirculus super fixam diametrum circumducatur, sphaera. Si triangulum orthogonium super [A:15v] unum laterum, quae circa rectum angulum, conus. Si quadrilaterum rectangulum circa quodvis laterum, cylindrus formabitur, quamquam sunt tam¹⁴ coni, quam cylindri scaleni qui aliter per circumductam ad circuli periferiam lineam formantur. 44 Axis autem, tam sphaerae, quam coni, quamque cylindri est ipsa fixa linea, super quam fit revolutio. In sphaera vero axis extrema poli dicuntur. Quodcumque autem planum sphaeram secat, circulum facit; maiorem quidem si praeter centrum, secans¹⁵ hinc eam in duo hemisphaeria; minorem vero, si praeter centrum faciens maius, minusve segmentum. 45 Sed de sphaera, circulisque, maioribus, minoribus, parallelis¹⁶, se invicem secantibus, aut tangentibus, deque eorum axibus et polis agit Theodosius in tribus Sphaericorum elementorum libellis; in totidem quam Menelaus De triangulis sphaeralibus. 46 Nos autem et in duobus libellis multa in Sphaericis de sinuum ratione tractavimus. Polyepipedum autem solidum duas habet species: regulare et irregulare. Regularia solida quinque tantum sunt: pyramis, quod quatuor triangulis aequilateris; octahedrum, quod octonis, et icosahedrum, quod vicenis clauditur; cubus, qui sex quadratis, et dodecahedrum, quod duodecim pentagonis concluditur. 47 Atque si in eadem sphaera includantur, minimum erit pyramis, maius autem octahedrum; maior adhuc cubus, maius icosahedrum, ac maximum dodecahedrum; decrescentibus interim ordine contrario lateribus. Ita ut dodecahedri, latus minimum; pyramidis vero maximum existat. De his acutissime disseruit Euclides in tribus postremis Elementorum libris, quibus nos multa et notatu digna et scitu necessaria olim [A:16r] adiecimus. 48 Irregularium vero solidorum unum potest esse ex quatuor speciebus, scilicet parallelepipedum, quod facies oppositas aequidistantes habet quadrilateras. Prisma, quam et columnam lateratam scilicet, trilateram, quod et solidum serratile, quadrilateram, pentagonam et deinceps a numero laterum vel angulorum dicere possumus. 49 Pyramis, quae similiter a numero laterum basis denominabitur, a cuius lateribus totidem triangula compaginata verticalem angulum faciunt pyramidem concludentes. Polyhedrum est solidum multarum basium. Quod nihilominus potest habere bases oppositas aequidistantes, sicut parallelepipedum habet, et sicut solida regularia, praeter pyramidem. Solidum autem tornatile, est quod describitur a dimidio rectilinei polygonii, diametro fixa, circumducto. 50 Sicut autem in discretis unitas, ita in continuis punctum est quantitatum principium, diversa tamen ratione. Nam numerus ex unitatibus, tanquam totum ex partibus integratur. Magnitudo vero ex punctis minime constat: nam cum punctum sit indivisibilis nota, etiam si infinities sumatur, numquam continuum quidque conflabit. Unitas ergo quantitas est quia pars numeri. Punctum vero omnino quantitatis immune. Et perinde, si moveri intelligatur, describet motu longitudinem tantum, itaque lineam generat. 51 Mox linea in latum impulsa, superaddit longitudini secundam dimensionem, atque ita superficiem designat. Demum superficies in latum delata, tertiam adiiciens mensuram, solidum comprehendit. Praeterea in hoc differunt numerus et magnitudo, quia in numeris solae rationales et commensurabiles quantitates, in ma[A:16v]gnitudinibus autem sunt et irrationales et incommensurabiles et incognitae. 52 Dubitatur autem de angulo, an sit quantitas; non enim est linea, cum sit concursus linearum; non superficies, cum duae lineae superficiem non claudant, non denique solidum. Huic dubio sic respondeo, angulum esse spacium coeuntium linearum in assumpta periferia limitatum; unde, anguli ad circuli centrum constituti sunt assumptis arcubus et sectoribus ipsis proportionales. 53 Figura igitur est, quae termino vel terminis clauditur: namque sicut circulus unica linea, ita sphaera unica superficie continetur. Unde sicut inter planas figuras circulus, ita inter solidas sphaera maxime excellit, unitate termini, aequalitate, simplicitate, uniformitate, similitudine meatorum, atque capacitate. 54 De circuli atque sphaerae dimensione acutissime ratiocinatur Archimedes¹⁷. Et quamvis sphaericam superficiem ad suum maximum circulum quadruplam esse demonstret, periferiae tamen ad diametrum non nisi prope verum determinat rationem, paulo scilicet tripla sesquiseptima minorem. Ego autem frustra super hoc laborasse et semper laboraturos mathematicos existimo; eamque rationem non solum inter rationales, sed ne inter cognitas quidem existere certis argumentis coniicio. 55 Quod si quis parabolae quadraturam ab Archimede elaboratam obiiciat, satis sit in circulo, ex semidiametro in dimidium periferiae aream perduci, sicut fit in polygoniis rectilineis, quam praerogativam parabola [A:17r] non habet. Hic et illa controversia sedanda est. Uter nam rectius fecerit Euclides, an Boetius, quorum hic a discretis, ille a continuis exordium sumpsit. 56 Opinio autem communis est arithmeticam geometriae praemittendam esse; vel ob id, quia arithmetica organum est geometrici calculi, proinde Boetii ordo a plerisque magis laudatur. Sed cum punctum sit simplicius principium, quam unitas, utpote quantitatis expers, atque geometricae formae sensibus expositae magis, quam numeri, item cum in continuis sint rationales et irrationales proportiones, in numeris autem tantum rationales, apparet utique maior continuorum quam discretorum dignitas; nec temere damnandus est Euclides. 57 Quippe qui distulit proportionum tractatum in quintum librum, antea enim eo non indiguit, distulit numeros in septimum duosque sequentes, utpote ad speculationem symmetriae non antea necessarios. 58 Frustra igitur calumniantur quidam Euclidem¹⁸. Frustra Apollonius communes conceptiones conatur demonstrari, quasi inconcessa principia. Frustra Pappus nescio quid adiicit conceptionibus euclideis. Frustra Campanus ac mendaciter infinitas conceptiones ab Euclide omissas asserit, cum ipse inscitiam suam non videat. Aiunt nonnulli Euclidem enumerasse angulum inter relationes, sicut Eudemum inter qualitates. 59 Sed hoc quomodo verum esse potest cum Euclides angulos conferat quo ad aequalitatem vel inaequalitatem, et proportionem, quod non nisi inter quantitates fit? Quantitas ergo est angulus apud Euclidem, [A:17v] quemadmodum et Carpus Antiochenus angulum esse dixit intervallum comprehendentium ipsum linearum aut superficierum, quo ad solidum angulum. Mero ergo artificio Elementorum libri ab Euclide fuerunt contexti, adeo ut natura sagacius non posset. Quorum ordo sic distingui potest. 60 Omnis enim quantitas, aut magnitudo est, aut numerus. Si magnitudo, tunc vel consyderatur in ea aequalitas, vel inaequalitas; aut proportio aut commensurabilitas vel incommensurabilitas. Si aequalitas¹⁹ vel inaequalitas, tunc vel in planis, et de hoc agitur in primo, secundo, tertio et quarto, vel in solidis, et de hoc in undecimo. 61 Si consyderatur proportio, tunc aut in quantitate utra, et de hoc agit in quinto, aut in figuris; figuris inquam aut planis, et de hoc in sexto, aut solidis. Solidis inquam, aut communibus, et de hoc in duodecimo, aut regularibus, et de hoc in tertio decimo, quarto decimo, quinto decimo. Si consyderatur commensurabilitas et incommensurabilitas, de hoc agit in decimo. 62 Si autem quantitas numerus est, tunc aut consyderantur numeri primi et compositi, et de his in septimo, aut numeri plani et solidi, et de his in octavo, aut numeri pares, impares et perfecti, et de his in nono. Sunt igitur planorum libri quatuor. In quorum primo de triangulis et parallelogrammis, in secundo de ductu linearum, in tertio de circulis et angulis, in quarto de inscriptione et circumscriptione figurarum. 63 Proportionum libri duo, in quorum [A:18r] primo, qui quintus est, agit de proportione magnitudinum in genere. In secundo, qui sextus, de proportione linearum et superficierum. Arithmeticorum²⁰ autem libri tres: in quorum primo, qui septimus, de numeris primis atque compositis. In secundo, qui octavus, de numeris planis ac solidis. In tertio, qui nonus, de numeris paribus, imparibus ac perfectis. Decimus autem symmetria vocari potest videlicet de quantitatum commensurabilitate et incommensurabilitate. 64 Solidorum libri quinque: in quorum primo, qui undecimus est, agit de angulis solidis, et parallelepipedis. In secundo, qui duodecimus, de columnis et pyramidibus. In tertio, qui tertius decimus, de structura regularium. In quarto, qui quartus decimus, de collatione eorundem. In quinto, qui postremus, de mutua inscriptione eorundem.

65 Hic mihi minime temperare nequeo, quin aliquid de traditione Campani ac de tralatione Zamberti dicam; hos²¹ Iacobus Faber simul coniunxit; melius utique facturus si ex utroque unicum fecisset opus, et illum corrigens et huius additamenta oportuna non omittens. 66 Campanus enim sibi nimium confisus diffinitiones authoris immutavit ac pervertit, barbaricis nescio quibus verbis usus; et in diffinitione quantitatum continue proportionalium turpiter erravit de quo loco alibi disseremus: dixit etiam omnem figuram aequilateram circulo circumscriptam esse aequiangulam; et omnem figuram aequiangulam circulo inscriptam esse aequilateram. Quorum utrumque [A:18v] falsum est in figura paris numeri laterum, sicut in nostris adnotationibus demonstravimus. Sic Campanus non solum pro libidine sua praestantissimi authoris sententias transtulit, sed etiam in demonstrando hallucinatus est. 67 Multa tamen oportuna et non abiicienda per se adiecit. Mox Zambertus Elementa rursus transtulit ex traditione Theonis, adeo tamen fidus interpres, ut ne quidem mendas graeci exemplaris correxerit; quis enim dubitet, praesertim in hac facultate, graeca etiam exemplaria mendosa passim reperiri? Itaque speculationis vir huius expers, dum totus effervescit in Campanum, in eoque increpando modestiam excedit, ut plurimum ibi eum notat, ubi notandum non est. 68 Quanto magis officium Fabri commendatur, qui et Zamberti tralationem emaculavit, et eius in Campanum contumelias sustulit. Sed ut ad institutum redeam, aiunt pythagorei puncto assimilari monadem, quia utrumque sit in suo genere indivisibile: illud in continuis, haec in discretis. Item lineae aequiperari dyadem, quia linea finita duos habeat terminos, sive quia duobus in ea punctis datis, datur linea positione. 69 Adhuc superficiei adscribi triadem, quia trias sit primus superficialis numerus, sive quia rectilinea superficies tribus ad minimum lateribus constet. Demum solido assignari tetradem, quod tetras sit primus numerus solidus, pyramis scilicet triangula, sive quia epipedum solidum quatuor ad minimum basibus claudatur. 70 Hinc fortasse de[A:19r]narii dignitas, quia monadis, dyadis, triadis ac tetradis summam comprehendat, sive quia idem linearis, superficialis ac solidus numerus, linearis quidem, qualis nullus non numerus esse potest; superficialis autem triangulus; solidus tandem, eiusdem nominis pyramis. Quamquam et huc accedit, quia natura hunc eundem numerum ex digitorum utriusque manus numero, per quos primi homines numerare ceperunt, nos docuerit, quod et Aristotelis in Problematibus asserit.

71 Est illud simul discutiendum, consonantia ne sit unisonus. Nam si, ut aiunt, consonantia est dissimilium vocum concordia; certum est unisonum sub hac diffinitione non comprehendi et perinde consonantiam non esse. Contra cum similitudo vocum ad consonandum maxime conducat, absurdum videtur unisonum ex vocibus quam simillimis compositum a consonantia excludi. 72 Immo dicendum est voces omnis similitudinis expertes ad consonandum esse ineptas. Nec, nisi eas, consonare posset, quae sunt alicuius similitudinis participes, et si non quo ad gravitatem et acumen, saltem quo ad commensurabilitatem. Unde proportio dupla, quadrupla, octupla et caeterae multiplices a pariter paribus numeris denominatae, quoniam in praecipua commensurabilitate consistunt, perfectissimas faciunt consonantias. 73 Quam ob rem et aequalitas, quae talium proportionum basis est et fundamentum, faciet perfectarum symphoniarum praecipuam. Et sicut numerorum princeps est unitas, proportionum aequalitas: [A:19v] scalarium graduum basis, ita et symphoniarum regina unisonus erit. Occurrit et illud determinandum, quantitatis ne sit, an qualitatis species voces acumen et gravitas. 74 Ptolemeus enim inquit, videtur gravis acutique soni differentia quantitatis esse species, cum dependeat ex tarditate aut celeritate motus, quae fit ex quantitate percussi ac percutientis corporis. Porphyrius autem quid prohibet, sonos quatenus tarditatis alacritatisque comites dici in quanto, quatenus vero in acumine et gravitate, qualitatis esse? Et recte respondet: Nam qualitas huiusmodi sicut aliae multae, a celeritate aut tarditate motus collisi corporis intensionem ac remissionem suscipit; celeritas²² autem et tarditas provenit ex magnitudine corporis: nam maiora corpora, quia tardius moventur, gravius sonant; et ideo qualitas a quantitate modificatur et ut ita dicam, graduatur. 75 Haud absimilis est quaestio, quae de tempore, pondere, momento ac vi moveri solet. Difficilis enim est temporis diffinitio, quamvis a multis mensura motus appelletur, ut scilicet tempus sit mora peracti motus, atque vicissim spacium a motu peragratum dimensio sit collapsi temporis. 76 Sed quid, quia temporibus aequis diversa spacia²³ peragrantur? Omnino tempus est fluxus quidam, et continuatae mutabilitatis processus indeficiens, cuius praeteritum et futurum semper ad indivisibile instans copulatur, et cuius mensuratio ad primi coeli motum refertur, [A:20r] et ad solem astrorum principem. Sic spacia per eundem motum peracta semper temporibus ipsis, in quibus peraguntur proportionalia. Et sicut lineae peragratae per motum, ad punctum, ita et tempora ad unum copulantur indivisibile momentum.

77 Pondus quoque ac levitas, cum respectivae qualitates sint, quemadmodum gravitas et acumen, haud aliter ad quantitatem redigi possunt. Qualitas enim talis respectiva est; cum idem corpus alio respectu leve sit, alio autem grave; veluti pumex respectu aquae levis, gravisque respectu aeris. 78 Similiter vox eadem, respectu vocis acutioris gravis est, respectu autem gravioris acuta. Sicut igitur voces inter se proportione, ita et pondera comparantur. Pondus autem est gravis corporis potentia, qua rectilineo motu movetur versus universale centrum. Unde gravius corpus maiori potentia feretur. 79 Corporum autem eiusdem materiei, quod maius est, graviumque esse oportet et²⁴ aequalia aeque gravia. Sed corpora²⁵ diversarum materierum, ut plurimum differunt pondere quamvis aequalia, et aeque gravia, discrepabunt magnitudine. Unde palam est, pondus aliam esse quantitatis speciem quam corpus. 80 Rursus aequalia pondera a diversis spaciis non aequaliter, et inaequalia aequaliter ponderant; nam pondus a longiori spacio appensum ponderosius est, ut patet in statera. Erit ergo tertia quaedam potentia, sive tertia magnitudinis differentia, diversa a corpore, diversa a pondere, quam momentum vocant. 81 Corpus igitur acquirit pondus a quantitate et qualitate, pondus autem momentum [A:20v] suscipit a spacio ad quod appenditur. Unde quando spacia sunt ponderibus reciproca, momenta sunt aequalia, ut Archimedes in libro Aequalium momentorum demonstravit. 82 Pondera igitur seu momenta, sicut et aliae continuae quantitates copulantur ad aliquem communem terminum utpote ad commune utriusque tamquam unius ponderis centrum, sive ad aequilibrii punctum. Centrum autem gravitate in quovis pondere est punctum illud, quod, quotiescumque et undecumque appendatur corpus, semper versus universale centrum perpendiculariter pendet.

83 Est et ultra corpus, pondus, momentum, quarta quaedam potentia, quae impetus aut vis appellari potest, a tribus praedictis omnino diversa, de qua quaerit Aristoteles in Mechanicis quaestionibus. Quod enim quis impetu aut vi incussi mallei, aut securis impactae, sive cudendo sive secando facit, nullo quamvis magno pondere vel momento fieri potest. 84 Talis est etiam vis illa sive excussi arcus telum, sive bombardae ignis erumpentis impetu pilulam eiaculantis, quae vires etiam inter se, sicut coeterae magnitudines proportionaliter conferuntur. Suntque machinis ipsis, mediove impetu facienti pene proportionales. Namque maiores arcus, seu bombardae longius eiaculantur. Et rursum arcus intentiores, aut bombardae nitro confectiores, maiore impetu, et longius eiaculantur. 85 Superest postremus loco; locus: qui quoniam tantus ac talis est, quantum ac quale locatum corpus et eadem cum eo superficie circumscribitur; satis est de corpore dixisse.

Catanae, die 18^o iunii 1554.