1 Omnis perpendicularis a centro circuli ducta ad latus pentagoni intra circulum ipsum descripti dimidio lateris decagoni atque dimidio lateris exagoni intra circulum eundem descriptorum ambobus dimidiis in longum directumque coniunctis [f.147r] equalis esse probatur.

Patet igitur quia perpendicularis ducta a centro circuli ad latus pentagoni equalis est perpendiculari ducte a centro ad latus trianguli dimidioque lateris decagoni intra eundem circulum descripti directe coniunctis.

Sit linea a b latus pentagoni equilateri inscripti circulo cuius centrum c et ducatur a centro c perpendicularis ad lineam a b que per secundam partem tertie tertii dividet eam per equalia et arcum eius etiam per equalia ex 4 primi et 27 tertii. Sitque hec perpendicularis linea c d secans a b in puncto e et arcum eius in puncto d. Est igitur ut diximus linea a e equalis linee e b et arcus a d arcui d b. Protrahaturque linea b d de qua constat quod ipsa est latus decagoni equilateri proposito circulo inscripti cum ipsa subtendatur medietati quinte totius circumferentie. Dico itaque quod linea c e est equalis medietati linee c d et medietati linee d b in longum directumque coniunctis. Compleatur quidem diameter d c sitque d c g et sit e f equalis e d et protrahatur b f eritque ex 4 primi b f equalis b d. Ideoque per 5 primi angulus b d f erit etiam equalis angulo b f d. Constat autem ex ultima sexti quod angulus g c b quadruplus est ad angulum b c d eo quod arcus g b quadruplus est ad arcum b d. At vero angulus g c b per 32 primi duplus est ad angulum b d c, nam ipse est extrinsecus duobus qui sunt b d c et d b c. At ipsi sunt equales ex 5 primi, igitur angulus b d c duplus est ad angulum b c d. Quare angulus quoque b f d duplus est ad angulum b c f. Sed angulus b f d est equalis duobus intrinsecis qui sunt b c f et c b f per 32 primi. Itaque duo anguli b c f et c b f sunt equales. Ideoque per 6 primi c f est equalis b f ideoque etiam c f est equalis b d, nam b d et b f sunt equales ad invicem. Quare dimidium c d cum dimidio d b est quantum dimidium c d cum dimidio c f. At vero dimidium c d cum dimidio c f est quantum dimidium c f bis cum dimidio f d. Dimidium autem c f bis est quantum c f et dimidium f d est e f. Itaque c e est quantum dimidium c d cum dimidio d b. Quod est propositum.

Corollarium autem sic constat. Manifestum est ex 8 tertiidecimi libri quod perpendicularis ducta a centro circuli ad latus trianguli sibi inscripti est equalis dimidio linee ducte a centro ad circumferentiam. Hoc quidem ibi demonstratum est et quasi corollarium conclusum. Cum igitur ex hac prima istius 14 libri pateat quod perpendicularis ducta a centro circuli ad latus pentagoni sit equalis dimidio linee ducte a centro ad circumferentiam et dimidio lateris decagoni, sequitur quod perpendicularis ducta a centro circuli ad latus pentagoni sit equalis perpendiculari ducte a centro ad latus trianguli dimidioque lateris decagoni intra eundem circulum descripti. Et hoc est quod corollario proponitur.

. Nunc ergo explicandum est quod ait Aristeus in libro intitulato Expositio scientie 5 corporum necnon et Apollonius in dono secundo in proportionalitate figure 12 basium ad figuram 20 basium dicens quod proportio superficierum figure habentis 12 bases ad superficies figure habentis 20 bases est tamquam proportio corporis 12 basium ad corpus 20 basium. Linea etenim ducta a centro circuli pentagoni figure 12 basium duodecedri ad circumferentiam eius est quasi linea prodiens a centro circuli trianguli figure 20 basium ycocedri ad circumferentiam eius. Hec sunt ipsius magni Apollonii verba. Intelligenda sunt de figura 12 et figura 20 basium ab una eademque spera circumscriptibilium. Est enim proportio corporis duodecedri ad corpus ycocedri cum ambo una eademque spera [f.147v] circumscribit sicut proportio omnium superficierum duodecedri pariter acceptarum ad omnes superficies ycocedri pariter acceptas quemadmodum Apollonius premissorum verborum prima parte commemorat. Quod ex 10 huius 14 libri solida demonstratione stabilitur. Et est circulus circumscribens pentagonum duodecedri equalis circulo circumscribenti trigonum ycocedri cum duodecedron et ycocedron eadem spera circumscribit quemadmodum ipse Apollonius secunda parte premissorum verborum commemorat. Quod etiam in 5 huius libri demonstratione firmatur. Premittenda sunt igitur antecedentia ad tantorum virorum eloquia inconcussa veritate roboranda.

Quicquid accidit uni linee divise secundum proportionem habentem medium et duo extrema, omni linee sic divise probatur accidere etcetera.

Sit utraque duarum linearum a b et d e divisa secundum proportionem habentem medium duoque extrema, hec in c, illa vero in f sintque maiores portiones huius quidem a c, illius autem d f. Dico itaque quod ambarum ad sui maiores portiones est una proportio itemque ambarum ad sui minores portiones est proportio una. At quoque maiorum portionum ad minores una et econtrario et permutatim et coniunctim et disiunctim et eversim. Nihil enim aliud est quicquid uni earum accidit, idem quoque alii accidere. Constat enim ex diffinitione linee secundum proportionem habentem medium duoque extrema divise et ex prima parte 16 sexti: quod illud quod fit ex a b in b c est equale quadrato a c. Eodemque modo quod fit ex d e in e f est equale quadrato d f. Ideoque proportio eius quod fit ex a b in b c ad quadratum a c est sicut eius quod fit ex d e in e f ad quadratum d f. Utraque enim est proportio equalitatis. Igitur quadruplum eius quod fit ex a b in b c ad quadratum a c sicut quadruplum eius quod fit ex d e in e f ad quadratum d f quod ex 15 quinti et permutata et equa proportionalitate manifestum est. Quare coniunctim quadruplum eius quod fit ex a b in b c cum quadrato a c ad quadratum a c sicut quadruplum eius quod fit ex d e in e f cum quadrato d f ad quadratum d f. Adiungatur autem secundum rectitudinem ad lineam a b linea una que sit equalis b c que dicatur b g et ad d e adiungatur equalis e f que dicatur e h. Manifestum est igitur ex 8 secundi libri quod quadruplum eius quod fit ex a b in b g cum quadrato a c est equale quadrato linee a g. At vero similiter quadruplum eius quod fit ex d e in e h cum quadrato d f est equale quadrato d h. At vero ex communi scientia quadruplum eius quod fit ex a b in b c equum est quadruplo eius quod fit ex a b in b g eo quod b c et b g sunt equales. Similiter quoque quadruplum eius quod fit ex d e in e f equum est quadruplo eius quod fit ex d e in e h eo quod e f et e h sunt equales etiam. Igitur ex prima parte 7 quinti et ex 11 eiusdem quadratum a g ad quadratum a c sicut quadratum d h ad quadratum d f. Quare ex secunda parte 21 sexti proportio linee a g ad lineam a c sicut linee d h ad lineam d f et coniunctim a g et a c ad a c sicut d h et d f ad d f. At vero a g cum a c sunt tamquam duplum a b et d h cum d f tamquam duplum d e. Quare dupla a b ad a c sicut duplum d e ad d f. Et permutatim duplum a b ad duplum d e sicut a c ad d f. Sed duplum a b ad duplum d e sicut a b ad d e ex 15 quinti. Igitur a b ad d e sicut a c ad d f, itaque permutatim et eversim et conversim et disiunctim et coniunctim. Quod oportebat ostendere.

Diviso latere exagoni secundum proportionem habentem medium duoque extrema [f.148r] maior eius portio erit latus decagoni circumscripti a circulo ipsum exagonum circumscribente.

Sit a b latus exagoni alicuius circuli et divisa secundum proportionem habentem medium duoque extrema in puncto c. Sitque maior portio eius b c. Dico quod cuiuscumque circuli a b est latus exagoni eiusdem b c est latus decagoni. Adiungatur enim ad lineam a b linea b d que sit latus decagoni illius circuli cuius a b est latus exagoni. Eritque ex 9 tertiidecimi a d divisa secundum proportionem habentem medium duoque extrema et maior portio eius linea a b. Cum igitur utraque duarum linearum a b et a d sit divisa secundum proportionem habentem medium duoque extrema, erit per premissam ambarum ipsarum ad sui maiores portiones una proportio. Itaque d a ad a b que est eius maior portio sicut a b ad b c que est etiam eius maior portio, sed d a ad a b sicut a b ad b d ex diffinitione linee divise secundum proportionem habentem medium duoque extrema, igitur ex 11 quinti a b ad b d sicut a b ad b c. Quare per secundam partem 9 quinti b d et b c sunt equales. Cum ergo b d sit latus decagoni, erit quoque ex communi scientia b c latus decagoni.

Vel aliter. Ad lineam a b adiungatur b d equalis b c eritque ex 4 tertiidecimi tota a d divisa secundum proportionem habentem medium duoque extrema et maior portio eius linea a b. Itaque per conversam 9 tertiidecimi quam continue post ipsam demonstravimus cuius circuli linea a b est latus exagoni eiusdem linea b d (ideoque linea b c sibi equalis) est latus decagoni.

Possumus iterum idem alia via (si libet) demonstrare.

Sit enim e f equalis a b que etiam dividatur in g secundum proportionem habentem medium duoque extrema et sit maior portio ipsius linea f g. Constat igitur ex premissa quod quemadmodum a b est equalis e f sic a c est equalis e g et c b equalis g f. Cumque fuerit b d adiuncta ad a b latus decagoni illius circuli cuius a b est latus exagoni, erit (sicut prius dictum est) ex 9 tertiidecimi tota a d divisa secundum proportionem habentem medium duoque extrema et maior portio eius erit linea a b. Itaque per premissam a b ad b d sicut f g ad g e. Quare per primam partem 15 sexti quod fit ex a b in g e equum est ei quod fit ex b d in f g. Cum a b sit equalis e f, erit etiam quod fit ex e f in g e equum ei quod fit ex b d in f g. Sed quod fit ex e f in g e equum est quadrato f g ex diffinitione linee divise secundum proportionem habentem medium duoque extrema et ex prima parte 16 sexti, igitur quod fit ex b d in f g est equale quadrato f g. Ideoque ex prima sexti linea b d est equalis f g. Et quia f g est equalis c b, erit quoque c b equalis b d et latus decagoni. Quod oportebat ostendere.

Quadratum lateris pentagoni intra circulum descripti quadratumque linee que illius pentagoni angulo subtenditur ambo hec quadrata pariter accepta quadrati medietatis diametri eiusdem circuli quincuplum esse pronuncio.

Sit in circulo a b c cuius centrum d inscriptus unus pentagonus equilaterus cuius unum latus sit a b et protrahatur diameter c d e dividens lineam a b et eius arcum per equalia. Est igitur arcus a e medietas quinte partis circumferentie illius circuli, quare arcus a c est due quinte totius circumferentie. [f.148v] Protrahantur itaque due linee a e et a c eritque a e latus decagoni equilateri eo quod eius arcus est medietas quinte partis circumferentie. Linea vero a c erit que subtenditur uni ex angulis predicti pentagoni eo quod arcus a c est due quinte partes circumferentie circuli. Dico itaque quod quadrata duarum linearum a b et a c pariter accepta quincuplum sunt ad quadratum linee d e. Ex 4 secundi est enim quadratum linee c e quadruplum ad quadratum linee d e. Cum autem angulus c a e sit rectus ex prima parte 30 tertii, erunt ex penultima primi quadrata duarum linearum c a et a e quadruplum ad quadratum d e, igitur quadrata trium linearum c a et a e et d e quincuplum sunt ad quadratum linee d e. Et quia ex 10 tertiidecimi libri quadratum a b est equale quadratis duarum linearum a e et d e, sequitur ut quadrata duarum linearum a b et c a sint quincuplum ad quadratum d e.Quod est propositum.

Manifestum est ergo quod quadratum lateris cubi atque quadratum lateris figure duodecim basium cum cubum et figuram duodecim basium eadem spera circumscribit ambo quadrata pariter accepta quincuplum sunt quadrati medietatis diametri circuli qui circumscribit pentagonum eiusdem figure duodecim basium.

Istud corollarium vere manifestum est. Constat enim ex demonstratione 17 tertiidecimi libri quod latus cubi subtendatur angulo pentagoni duodecedri cum cubum et duodecedron una eademque spera circumscribit. Itaque per hanc 4 sine obice concluditur corollarium etcetera.

Pentagonus figure duodecim basium triangulusque figure viginti basium, quas eadem spera circumscribit, uno eodemque circulo circumscribuntur.

Sit spera cuius diameter a b circumscribens duas solidas figuras videlicet duodecedron cuius unus ex duodecim pentagonis sit c et ycocedron cuius unus ex 20 triangulis sit d, pentagono autem c et trigono d super duo centra c et d circumscribantur duo circuli huic quidem ex 14 quarti, illi vero ex 5 eiusdem. Dico itaque quod hii duo circuli quorum alter circumscribit pentagonum c, alter vero trigonum d, sunt equales. Signentur enim duo latera pentagoni c unum ex suis angulis continentia litteris e f et f g et protrahantur linea e g que subtendat angulum f et semidiameter circuli que sit c f. Unum quoque ex lateribus trigoni d signetur litteris h, k. Et protrahatur semidiameter sui circuli que sit d k. Dehinc sumatur linea l m ad quam sit linea a b, que est diameter spere assignate, quincupla in potentia que l m dividatur in n secundum proportionem habentem medium duoque extrema sitque maior portio eius linea l n et secundum quantitatem totius l m lineetur circulus p q ita quod semidiameter circuli p q sit equalis linee l m. Eritque ex corollario 15 quarti linea l m tamquam latus exagoni equilateri circulo p q inscripti. Ideoque per 3 huius linea l n erit tamquam latus decagoni equilateri eidem circulo inscripti. Igitur ex 11 quarti inscribatur pentagonus equilaterus circulo p q cuius unum latus sit p q eritque ex 10 tertiidecimi libri quadratum p q equale quadratis duarum linearum l m et l n pariter acceptis. Constat autem ex demonstratione 16 tertiidecimi quod h k est equalis p q, ergo quadratum h k est equale quadratis duarum linearum l m et l n pariter acceptis. At vero ex demonstratione 17 tertiidecimi manifestum est quod e g est latus cubi ab eadem spera circumscriptibilis. Quare per corollarium 14 tertiidecimi a b, que est diameter spere, potentialiter est tripla ad e g que est latus cubi. Si autem e g dividatur secundum proportionem habentem medium duoque extrema patet ex demonstratione 17 tertiidecimi quod e f est tamquam maior portio eius, igitur ex secunda huius e g ad l m sicut e f ad l n. Nam ut tota ad totam sic maior portio ad maiorem. Itaque per 21 sexti quadratum e g ad quadratum l m sicut quadratum e f ad quadratum l n. Quare per 13 [f.149r] quinti quadrata duarum linearum e g et e f pariter accepta ad quadrata duarum linearum l m et l n pariter accepta sicut quadratum e g ad quadratum l m. Ergo per 15 quinti et permutatam proportionalitatem et equam triplum duorum quadratorum duarum linearum e g et e f pariter acceptorum ad quadrata duarum linearum l m et l n pariter accepta sicut triplum quadrati e g ad quadratum l m. Triplum autem quadrati e g est tamquam quadratum a b ex corollario 14 tertiidecimi. At quadratum a b est per ypothesim quincuplum ad quadratum l m, ergo triplum quadrati e g quincuplum quoque est quadrati l m. Quare etiam triplum quadratorum duarum linearum e g et e f pariter acceptorum est quincuplum ad quadrata duarum linearum l m et l n pariter accepta. Et quia prius probatum est quod quadratum h k est equale quadratis duarum linearum l m et l n pariter acceptis, sequitur ex communi scientia ut triplum quadratorum e g et e f sit quincuplum ad quadratum h k. Constat autem ex 8 tertiidecimi quod quincuplum quadrati h k est quindecuplum ad quadratum d k. Nam simplum est triplum. Et ex 4 huius constat quod triplum quadratorum e g et e f est quindecuplum ad quadratum c f. Nam simplum est quincuplum. Itaque quod quindecuplum quadrati c f est equale quindecuplo quadrati d k. Ideoque per 15 quinti quadratum c f est equale quadrato d k. Quare etiam linea c f est equalis linee d k. Ergo ex diffinitione circulorum equalium circulus circumscribens pentagonum c est equalis circulo circumscribenti trigonum d. Quod erat ex principio demonstrandum, nam semidiametri horum circulorum sunt equales videlicet c f et d k.

Quadratum quod est trigincuplum tetragoni, qui sub perpendiculari ducta a centro circuli circumscribentis pentagonum figure duodecim basium ad latus pentagoni atque sub latere ipsius pentagoni continetur, omnibus superficiebus corporis duodecim basium pariter acceptis esse equale ex necessitate convincitur.

Sit pentagonus a una ex 12 basibus figure duodecedri et unum ex eius lateribus sit b c sibique ex 14 quarti circumscribatur circulus supra centrum a et protrahantur linee a b et a c, et a d perpendicularis ad b c. Dico ergo quod trigincuplum eius quod fit ex a d in b c est equale omnibus superficiebus duodecedri pariter acceptis. Constat enim pentagonum esse a divisibilem in 5 triangulos equales ex 8 primi triangulo a b c. Itaque omnes 12 pentagoni duodecedri (cum omnes sint equales et similes pentagono a) divisibiles sunt in 60 triangulos quorum quisque per 8 primi est equalis triangulo a b c. Quod autem fit ex a d in b c duplum est per 41 primi ad triangulum a b c. Ergo trigincuplum eius quod fit ex a d in b c est sexagincuplum ad triangulum a b c. Nam ut simplum ad simplum sic duplum ad duplum. Cum itaque omnes superficies duodecedri pariter accepte sint etiam sexagincuplum ad triangulum a b c, sequitur ut trigincuplum eius quod fit ex a d in b c sit equale omnibus superficiebus duodecedri pariter acceptis. Quod est propositum.

Quadratum quoque quod est trigincuplum tetragoni, qui sub perpendiculari [f.149v] ducta a centro circuli ad latus sibi inscripti trianguli figure viginti basium atque sub ipso latere trianguli continetur, equale est omnibus superficiebus figure viginti basium pariter acceptis.

Esto enim hic trigonus e una ex 20 basibus figure ycocedri et unum ex eius lateribus sit f g sibique ex 5 quarti circumscribatur circulus super centrum e et protrahantur linee e f et e g et e h perpendicularis ad f g. Dico igitur quod trigincuplum eius quod fit ex e h in f g est equale omnibus superficiebus ycocedri pariter acceptis. Constat enim trigonum e esse divisibilem in tres trigonos quorum quilibet per 8 primi est equalis trigono e f g. Itaque omnes 20 trigoni ycocedri pariter accepti (cum cuncti sint equales et similes trigono e) sunt tamquam sexagincuplum trigoni e f g. Et quia per 41 primi quod fit ex e h in f g est duplum trigoni e f g ideoque trigincuplum huius est equale sexagincuplo illius, sequitur ut trigincuplum e h in f g sit equale omnibus superficiebus ycocedri pariter acceptis. Quod erat demonstrandum.

Manifestum igitur est quod proportio superficierum figure 12 basium in aliqua spera contente ad superficies figure 20 basium in eadem spera concluse est tamquam proportio tetragoni contenti sub latere pentagoni ipsius figure 12 basium et sub perpendiculari ducta a centro sui circuli ad ipsum latus pentagoni ad tetragonum contentum sub latere trianguli ipsius figure 20 basium et perpendiculari ducta a centro sui circuli ad ipsum latus trianguli corporis 20 alchaidarum.

Quod per illud corollarium concluditur verum est sive figura 12 basium et figura 20 basium sint ab eadem spera circumscriptibiles ut proponitur sive etiam fuerint circumscriptibiles a diversis speris. Proponitur autem prout hee figure sunt circumscriptibiles ab eadem spera quoniam hoc modo valet et sufficit ad propositum. Eius ergo communis veritas sic patet. Constat enim ex 6 huius quod trigincuplum a d in b c equum est omnibus superficiebus duodecedri pariter acceptis cuius pentagonus a est una ex 12 superficiebus. Et ex hac 7 constat similiter quod trigincuplum e h in f g equum est omnibus superficiebus ycocedri pariter acceptis cuius trigonus e est una ex 20 basibus sive illud duodecedron et istud ycocedron eadem spera circumscribat sive diverse. Itaque proportio trigincupli a d in b c ad omnes superficies illius duodecedri pariter acceptas est sicut trigincupli e h in f g ad omnes superficies ycocedri pariter acceptas. Utrobique enim est proportio equalitatis. Quare permutatim trigincuplum a d in b c ad trigincuplum e h in f g sicut omnes superficies illius duodecedri ad omnes superficies huius ycocedri et per 15 quinti trigincupli ad trigincuplum est sicut simpli ad simplum. Constat per 11 quinti quod proportio omnium superficierum illius duodecedri ad omnes superficies huius ycocedri est eius quod fit ex a d in b c ad id quod fit ex e h in f g. Et hoc est quod corollario proponitur etcetera.

Proportio cunctarum superficierum corporis duodecim basium pariter acceptarum ad cunctas superficies corporis viginti basium pariter acceptas, que ab una spera ambo circumscribuntur, [f.150r] est tamquam proportio lateris cubi quem circumscribit eadem spera ad latus trianguli ipsius corporis viginti basium.

Ut ab huius 8 demonstrationis libri 14 processu ambiguitas omnis abscedat, istud prescire oportet quod si aliqua linea secundum proportionem habentem medium et duo extrema fuerit divisa et ex medietate eius tamquam dimidium sue maioris portionis detrahatur, ipsa quoque medietas secundum proportionem habentem medium et duo extrema divisa erit et eius maior portio est tamquam dimidium maioris sue duple. Verbi gratia: Sit a b divisa secundum proportionem habentem medium et duo extrema in c maiorque eius portio sit a c et sit d e tamquam dimidium a b et d f tamquam dimidium a c. Dico ergo quod d e divisa est in f secundum proportionem habentem medium et duo extrema et maior portio eius est d f. Constat enim ex 15 quinti quod proportio a b ad a c est sicut d e ad d f videlicet duplum ad duplum tamquam simplum ad simplum. Quare permutatim a b ad d e sicut a c ad d f, igitur per 19 quinti c b ad f e sicut a b ad d e. Est itaque c b dupla ad f e, sic enim est a b ad d e. Cum igitur tota a b sit dupla ad totam d e et singule partes a b ad singulas partes d e quare ex 15 quinti et 11 quinti et diffinitione linee divise secundum proportionem habentem medium et duo extrema, erit linea d e divisa in f quemadmodum proponitur. Nunc igitur demonstrationi eius quod propositum est insistamus. Ad cuius exemplum sit a b c circulus cuius centrum d circumscribens pentagonum duodecedri et trigonum ycocedri que ambo pariter eadem spera concludit. Nam ex 5 huius manifestum est quod idem circulus huius pentagonum et illius trigonum circumscribit. Sit autem linea a b latus pentagoni et linea a c latus trigoni sitque linea h tamquam latus cubi ab eadem spera circumscripti. Dico itaque quod proportio omnium superficierum duodecedri pariter acceptarum ad omnes superficies ycocedri pariter acceptas est sicut linea h ad lineam a c. Producatur quidem a centro d perpendicularis ad a b que transeat usque ad circumferentiam secans a b in puncto e et arcum eius in puncto f. Hanc autem perpendicularem constat dividere per equalia tam lineam a b quam eius arcum, cordam quidem a b per secundam partem 3 tertii, arcum vero eius per 4 primi et 27 tertii. Est igitur arcus f a decima pars circumferentie. Subtendatur itaque sibi corda a f que erit latus decagoni equilateri eiusdem circuli. Erit igitur ex 9 tertiidecimi linea constans ex d f et f a divisa secundum proportionem habentem medium et duo extrema et maior portio eius erit linea d f. At vero ex prima huius d e est equalis dimidio d f dimidioque f a in longum directumque coniunctis. Sit igitur d g perpendiculariter ad a c eritque ex corollario 8 tertiidecimi g d tamquam dimidium d f. Itaque si a linea d e que est tamquam dimidium d f a cum d f et f a sit linea una, detrahatur equalis d g que est tamquam dimidium d f, erit per illud, quod ante hoc probatum est, linea d e divisa secundum proportionem habentem medium et duo extrema et maior portio erit tamquam g d. Ex demonstratione autem 17 tertiidecimi constat quod si linea h, que est latus cubi, dividatur secundum proportionem habentem medium et duo extrema, maior portio eius erit tamquam a b que est latus pentagoni figure 12 basium. Itaque per secundam huius proportio h ad a b est sicut d e ad g d, quare per primam partem 15 sexti quod provenit ex h in g d equum est ei quod fit ex a b in d e. Ex corollario autem premisse manifestum est quod proportio omnium superficierum duodecedri, cuius latus a b, pariter acceptarum ad omnes superficies ycocedri, cuius latus a c, pariter acceptas sicut eius quod fit ex a b in d e ad illud quod fit ex a c in g d. Igitur ex prima parte 7 quinti proportio eius quod provenit ex h in g d ad illud quod provenit ex a c in g d est sicut omnium superficierum illius duodecedri ad omnes huius ycocedri. At vero eius quod provenit ex h in g d ad illud quod provenit [f.150v] ex a c in g d est per primam sexti sicut h ad a c. Itaque per 11 quinti proportio omnium superficierum illius duodecedri ad omnes huius ycocedri est sicut h ad a c. Quod est propositum. Hoc ipsum aliter probare poterimus. Si ad ipsum hoc antecedens necessarium premiserimus quod est.

Si circulo cuilibet pentagonus equilaterus inscribatur rectangulum quod sub dodrante diametri ipsius circuli et sub dextante ipsius linee angulum ipsius pentagoni subtendentis continetur eidem pentagono equum esse ex necessitate oportet.

Maiores nostri unumquodque integrum in 12 equas partes equales intellectu et ratione diviserunt omnesque eas simul hoc est ipsum totum assem vocaverunt, undecim vero earum dixerunt deuncem, decem autem dextantem, novem dodrantem, octo vero bisse, at septem septuncem, sex autem semis, quinque quincuncem, quatuor trientem, tres autem quadrantem, duas vero sextantem, unam autem appellaverunt unciam easque per ordinem talibus designavere figuris que sepissime inveniuntur in antiquis libris:

As deunx dextans

dodrans bisse septunx

semis quincunx triens

quadrans sextans uncia

Unciam quoque, quam duodecimam partem assis fore diximus, in alias rursus 12 fractiones, sed alia via diviserunt. Nam medietatem uncie dixerunt semunciam, tertiam vero duellam, quartam sicilicum, sextam sextulam, octavam dragmam, duodecimam emisesclam, decimamoctavam tremissem, vicesimam quartam scripulum, quadrigesimam octavam obolum, septuagesimam secundam bissiliquam, nonagesimam sextam ceratem. Ultimam vero que est centesima quadragesima quarta pars ipsius uncie siliquam nominaverunt. Hiis autem 12 fractionibus uncie posteriores adiunxere calcum. Est autem calcus centesima nonagesima secunda pars uncie. Cuius additionis causa fuit ut usque ad minimum extremum diatesseron et diapente simphoniarum tonorum semitonorumque intervallis distinctarum harum fractionum denominatio conscenderet et ipsas omnes secundum ordinem talibus annotavere figuris.

semuncia duella sicilicus

sexcula dragma emisescla

tremissis scripulus obulus

bissiliqua ceratis siliqua

Calcus

Eius ergo quod dicitur sensus est quod si in aliquo circulo pentagonus equilaterus inscribatur illud quod fit ex tribus quartis diametri circuli in quinque sextis linee subtendentis unum ex angulis inscripti pentagoni est equale pentagono. Verbi gratia:

Sit circulus a b c super centrum d eique ex 11 quarti inscribatur pentagonus equilaterus cuius duo latera unum ex suis angulis continentia sicut a b et b c, et angulo b subtendatur linea a c et protrahatur diameter b d e secans lineam a c per equalia in puncto g. Sitque d f medietas d e et g h dupla ad h c eritque b f dodrans diametri, est enim tres quarte ipsius, et a h erit dextans a c, est enim 5 sexte eius. Protrahatur autem linea a d. Dico itaque quod istud quod provenit ex b f in a h est equale pentagono inscripto circulo. Cum enim a g sit perpendicularis ad b d, erit ex 41 primi et istud quod provenit ex b d in a g duplum ad triangulum a b d ideoque quod provenit ex b f in a g triplum erit ad eundem triangulum et quod provenit ex b f in g h duplum et ex b f in totam a h quincuplum. Cum itaque totus pentagonus quincuplus sit ad eundem triangulum, constat quod illud quod fit ex b f in a h est equale pentagono. Et illud erat demonstrandum.

Quod igitur ex principio propositum est, nunc alia via (sicut promisimus) demonstremus. Sint itaque circulo, cuius centrum h, inscripti pentagonus figure 12 basium et trigonus [f.151r] figure 20 basium quas eadem spera circumscribit. Constat enim ex 5 huius quod huius duodecedri pentagonus et illius ycocedri trigonus ab eodem circulo circumducentur sitque pentagonus a b c d e et trigonus a f g. Et angulo a pentagoni subtendatur linea b e que ex demonstratione 17 tertiidecimi erit latus cubi quem eadem spera concludit. Protrahatur itaque diameter a h k secans orthogonaliter et per equalia utramque duarum linearum b e et f g, hanc in puncto l, illam in puncto m. Dico ergo quod proportio omnium superficierum duodecedri ad omnes ycocedri, quorum pentagonus et trigonus proposito circulo sunt inscripti, est sicut linee b e que est latus cubi ab eadem spera conclusi ad lineam f g que est latus trigoni ycocedri. Constat enim ex corollario 8 tertiidecimi quod linea h m est dimidium linee a h ideoque a m erit dodrans diametri a k, est enim eius tres quarte. Si ergo l n dupla est ad n e, erit b n dextans b e, est enim quinque eius sexte. Itaque per premissum antecedens quod provenit ex a m in b n est equale pentagono a b c d e, quod autem provenit ex a m in m f est equale triangulo a f g. Igitur ex prima sexti proportio pentagoni ad trigonum est sicut b n ad m f. Quare duodecupli illius pentagoni ad vigincuplum istius trigoni sicut duodecupli linee b n ad vigincuplum linee m f, quod per 15 quinti et equam proportionalitatem manifestum est. Duodecuplum autem b n est tamquam decuplum b e, nam 12 dextantes coequant 10 asses, hoc est 10 tota, vigincuplum vero m f est tamquam decuplum f g, nam f g est dupla ad m f. Igitur duodecupli illius pentagoni ad vigincuplum istius trigoni est sicut decupli b e ad decuplum f g. Et quia duodecuplum illius pentagoni est omnes superficies duodecedri, vigincuplum autem huius trigoni est omnes superficies ycocedri et quia per 15 quinti decupli b e ad decuplum f g sicut b e simple ad f g simplam, erit per 11 quinti proportio omnium superficierum duodecedri pariter acceptarum ad omnes superficies ycocedri pariter acceptas sicut b e ad f g. Et hoc est quod oportuit nos demonstrare.

Divisa qualibet linea secundum proportionem habentem medium et duo extrema erit proportio linee potentis supra totam lineam eiusque maiorem portionem ad lineam potentem supra totam eiusque minorem portionem tamquam proportio lateris cubi ad latus trianguli corporis viginti basium una cum cubo ipso in eadem spera contenti etcetera.

Sit linea a b divisa secundum proportionem habentem medium duoque extrema et maior portio eius sit linea a c et super centrum a secundum quantitatem linee a b describatur circulus b d e eique inscribatur ex 11 quarti pentagonus equilaterus cuius unum latus sit d e et ex secunda eiusdem triangulus equilaterus cuius unum latus sit d f et uni ex angulis pentagoni, qui sit d, subtendatur linea e g. Constat igitur ex 5 huius quod spera circumscribens duodecedron, cuius pentagoni latus est d e, circumscribit simul ycocedron cuius trianguli latus est d f. Et ex demonstratione 17 tertiidecimi manifestum est quod eadem spera circumscribit cubum cuius latus est e g. Sumatur ergo linea h potens super totam a b [f.151v] et eius maiorem portionem a c et sumatur k potens super totam a b et minorem eius portionem b c. Dico itaque quod proportio e g ad d f, hoc est lateris cubi ad latus trianguli ycocedri una cum ipso cubo ab ipsa spera contenti, est sicut h ad k. Constat quidem ex corollario 15 quarti quod a b est tamquam latus exagoni equilateri circulo b d e inscripti. Igitur ex tertia huius a c est tamquam latus decagoni eiusdem circuli. Itaque per 10 tertiidecimi d e potens est super totam a b et eius maiorem portionem a c. Quare d e est equalis h. Nam quadratum utriusque earum tantum est quantum quadrata duarum linearum a b et a c pariter accepta. Patet autem ex 8 tertiidecimi quod d f est tripla potentialiter ad a b. At vero ex 5 eiusdem patet quod k quoque tripla est potentialiter ad a c. Ergo ex secunda parte 21 sexti proportio d f ad a b est sicut k ad a c. Quare permutatim d f ad k sicut a b ad a c. Et quia ex demonstratione 17 tertiidecimi manifestum est quod si e g dividatur secundum proportionem habentem medium et duo extrema, maior portio eius erit tamquam d e, erit per secundam huius proportio e g ad d e sicut a b ad a c. Quare per 11 quinti erit quoque e g ad d e sicut d f ad k et permutatim e g ad d f sicut d e ad k. Et quia per primam partem 7 quinti d e ad k sicut h ad k eo quod d e et h sunt equales, erit per 11 quinti e g ad d f sicut h ad k. Quod est propositum.

Non solum autem est proportio e g lateris cubi ad d f latus trianguli ycocedri sicut h ad k, immo simpliciter sicut quarumlibet duarum linearum unius ad alteram quarum altera potest super totam quamlibet lineam divisam secundum proportionem habentem medium et duo extrema et super eius maiorem portionem, altera vero super totam et eius minorem portionem, nam singularum duarum linearum talium est proportio una. Verbi gratia: Maneant priores ypotheses circa lineas a b, h et k et sumatur quelibet alia linea que sit l m divisa secundum proportionem habentem medium et duo extrema in n et portio maior sit l n sitque linea p potens super totam l m et eius maiorem portionem l n et linea q sit potens super totam l m et minorem eius portionem m n. Dico ergo quod proportio p ad q est sicut h ad k. Constat enim ex secunda huius quod b a ad a c sicut m l ad l n, ergo per primam partem 21 sexti quadrati b a ad quadratum a c sicut quadrati m l ad quadratum l n. Quare coniunctim quadrati h ad quadratum a c sicut quadrati p ad quadratum l n, et permutatim quadrati h ad quadratum p sicut quadrati a c ad quadratum l n. Eodem argumentationis genere sequetur quod proportio quadrati k ad quadratum q est sicut quadrati c b ad quadratum n m. Et quia ex secunda huius et prima parte 21 sexti quadratum a c ad quadratum l n sicut quadratum c b ad quadratum m n, erit ex 11 quinti quadratum h ad quadratum p sicut quadratum k ad quadratum q. Quare per secundam partem 21 sexti h ad p sicut k ad q. Et permutatim h ad k sicut p ad q. Quod erat demonstrandum.

Et ne quisquam dubitationis locus ea que demonstranda restant obfuscet, premittenda adhuc arbitramur quedam, quibus sequentia firmo demonstrationis robore inconcussa permaneant.

Si aliqua plana superficies speram quamlibet secet, communis differentia plane superficiei secantis et curve superficiei spere erit circumferentia continens circulum.

Sit igitur aliqua plana superficies secans speram et sit linea a b communis sectio superficiei secantis et superficiei spere. Dico quod linea a b est circumferentia circuli. Aut enim centrum spere est in plana superficie secante aut extra. [f.152r] Quod si fuerit in ea, ponatur ubicumque contigerit et sit c. Quia ergo tota linea a b est in superficie spere et quia omnes linee ducte a centro spere ad ipsius circumferentiam sunt equales quemadmodum constat ex diffinitione spere, sequitur ut omnes linee ducte a puncto c ad lineam a b sint equales. Est igitur ex diffinitione circuli superficies, quam continet linea a b, circulus et eius centrum est c videlicet idem quod centrum spere. Si autem centrum spere fuerit extra superficiem secantem, ponatur ergo ubilibet quod sit d a quo secundum doctrinam 11 undecimi ducatur linea d c perpendicularis ad superficiem secantem et protrahantur ab eodem centro d due linee recte quomodocumque contingat ad lineam a b que sint d a et d b et iungatur c cum a et cum b eruntque due linee d a et d b equales eo quod ipse sunt a centro spere ad superficiem eius. Ex diffinitione autem linee perpendicularis ad superficiem manifestum est quod anguli d c a et d c b sunt recti ideoque ex penultima primi et ista communi scientia (Que equalibus sunt equalia, inter se sunt equalia) erunt quadrata duarum linearum d c et c a pariter accepta equalia quadratis duarum linearum d c et c b pariter acceptis. Dempto itaque utrinque quadrato d c erit quadratum c a equale quadrato c b. Et quare linea c a linee c b. Eodem argumentationis genere necesse est omnes lineas ductas a puncto c ad lineam a b esse equales. Ergo ex diffinitione circuli superficies, quam continet linea a b, est circulus et eius centrum est c. Quod est propositum.

Ex hoc itaque manifestum est quod cum superficies secat speram super centrum eius, sector proveniens in superficie spere est linea continens circulum cuius centrum est centrum spere. Cum autem superficies secat speram non super centrum eius, sector quoque proveniens in superficie spere est linea continens circulum cuius centrum est punctus ille in quo incidit perpendicularis ducta a centro spere ad superficiem secantem.

Amplius autem dico quod: Si in spera aliqua fuerint circuli equales, perpendiculares ducte a centro spere ad superficies illorum circulorum erunt ad invicem equales.

Sint in spera, cuius centrum a, signati duo circuli b et c equales ad quorum superficies protrahantur a centro spere videlicet a puncto a perpendiculares secundum quod docet 11 undecimi, ad hunc quidem a b, ad illum a c. Dico quod due linee a b et a c sunt equales. Protrahantur enim a punctis b et c singule linee recte ad circumferentias illorum circulorum prout libuerit, in hoc quidem b d, in illo autem c e et iungatur a cum d et cum e. Eritque ex diffinitione linee supra superficiem perpendiculariter stantis uterque duorum angulorum a b d, a c e rectus. At vero ex secunda parte premissi corollarii manifestum est quod duo puncta b et c sunt centra circulorum b, c ideoque due linee b d et c e sunt semidiametri eorum qui circuli cum ponantur equales, sequitur ex diffinitione equalium circulorum has semidiametros esse equales. Et quia due linee a d et a e sunt equales quia sunt ducte a centro spere ad eius superficiem, erunt ex penultima primi due perpendiculares a b et a c equales. Quod oportebat demonstrare. Nunc igitur ad propositum redeamus.

Proportio corporis duodecedri ad corpus ycocedri que ambo una eademque spera includit, est sicut omnium superficierum [f.152v] eius pariter acceptarum ad omnes superficies illius pariter acceptas.

Hoc est quod superius post demonstrationem prime huius auctoritate Aristei et Apollonii commemoravimus cuius demonstratio ex hiis que premissa sunt evidenter elicitur. Ex 5 quidem huius manifestum est quod circuli quorum alter circumscribit pentagonum duodecedri, reliquus vero trigonum ycocedri que ambo corpora spera una cohercet, sunt ad invicem equales. Itaque tunc perpendiculares a centro spere ad superficies omnium circulorum circumscribentium pentagonos huius duodecedri et trigonos illius ycocedri in eorum centra cadentes sunt ad invicem equales sicut ex premissis manifestum est. Nam omnes hii circuli teste 5 huius, sicut dictum est, equales sunt sibi invicem. Piramides igitur quarum sunt bases pentagoni duodecedri, coni autem earum sunt centrum spere atque piramides quarum bases sunt trigoni ycocedri et coni earum similiter centrum spere, sunt eque alte. Cunctarum quidem piramidum altitudinem determinant a conis ad bases perpendiculares cadentes. Piramides autem eque altas suis basibus proportionales esse oportet quemadmodum in 6 duodecimi probatum est. Itaque proportio piramidis cuius basis pentagonus duodecedri ad piramidem cuius basis trigonus ycocedri est sicut illius pentagoni ad hunc trigonum ideoque per 24 quinti proportio duodecupli illius piramidis cuius basis pentagonus duodecedri ad piramidem cuius basis trigonus ycocedri sicut duodecupli illius pentagoni ad hunc trigonum. Hee autem 12 piramides quarum sunt bases 12 pentagoni ipsius duodecedri sunt tamquam totum corpus ipsius duodecedri. At 12 pentagoni tamquam omnes eius superficies itaque proportio corporis duodecedri ad piramidem cuius basis est trigonus ycocedri est sicut proportio omnium superficierum duodecedri ad trigonum ycocedri. Quare rursus ex 24 quinti proportio corporis duodecedri ad vigincuplum illius piramidis cuius basis est trigonus ycocedri est sicut omnium superficierum duodecedri ad vigincuplum trigoni ycocedri. Cum igitur vigincuplum huius piramidis sit tamquam totum corpus ycocedri ad vigincuplum istius trigoni tamquam omnes superficies ipsius ycocedri, erit proportio corporis duodecedri ad corpus ycocedri que ambo una eademque spera concludit sicut proportio omnium superficierum corporis duodecedri pariter acceptarum ad omnes superficies corporis ycocedri pariter acceptas. Hoc autem est predictorum philosophorum de proportione horum duorum corporum sententia fixa solidaque demonstratione roborata. Cui quoque adiciendum est hoc. Nam cum proportio lateris cubi ad latus trianguli corporis ycocedri una cum ipso cubo ab eadem spera circumscripti sit tamquam proportio omnium superficierum corporis duodecedri pariter acceptarum in eadem spera conclusi ad omnes superficies ipsius ycocedri sicut ex 8 huius demonstratum est, erit ex 11 quinti proportio corporis duodecedri ad corpus ycocedri que ambo spera una circumvolvit tamquam proportio lateris cubi eidem spere inscriptibilis ad latus trigoni ipsius ycocedri. Amplius autem quia divisa qualibet linea secundum proportionem habentem medium et duo extrema est proportio linee potentis super totam et eius maiorem portionem ad lineam potentem super totam et eius minorem portionem sicut lateris cubi alicui spere inscripti ad latus trigoni corporis ycocedri ab eadem spera circumducti sicut ex 9 huius demonstratum est, erit etiam ex 11 quinti ut divisa qualibet linea secundum proportionem habentem medium et duo extrema sit proportio linee potentis super totam et eius maiorem portionem ad lineam potentem super totam et eius minorem portionem veluti proportio corporis duodecedri ad corpus ycocedri que ambo una atque eadem spera circumscribit. Ex dictis igitur manifestum est quod proportio lateris cubi alicui spere inscripti ad latus trigoni ycocedri ab eadem spera circumscripti itemque proportio cunctarum superficierum duodecedri ad cunctas superficies ycocedri que ambo spera eadem circumscribit et rursus [f.153r] proportio linee potentis super quamlibet lineam divisam secundum proportionem habentem medium et duo extrema et super eius maiorem portionem ad lineam potentem super eandem et super eius minorem partem atque iterum proportio corporis duodecedri ad corpus ycocedri que ambo una eademque spera cohercet est proportio una. Mirabilis itaque est potentia linee secundum proportionem habentem medium et duo extrema divise cui cum plurima philosophantium admiratione digna conveniant, hoc principium ex superiorum principiorum invariabili natura procedit ut tam diversa solida tum magnitudine tum basium numero tum etiam earundem figura irrationali quadam symphonia rationabiliter conciliet. Quippe demonstratum est quod proportio duodecedri corporis ad ycocedron corpus, que ambo spera una coambit, est quasi proportio linee potentis super quamlibet lineam secundum prefatam proportionem divisam et super eius maiorem partem ad quamlibet lineam potentem super eandem et eius minorem partem.

Quoniam vero de tribus ceteris corporibus regularibus non habemus aliquid dictum, studeamus de ipsis aliquid dicere.

In omni triangulo equilatero si ab uno angulorum eius perpendicularis ad basim ducatur, latus eiusdem trianguli ad ipsam perpendicularem potentialiter sesquitertium esse conveniet.

Sit enim triangulus equilaterus a b c ducaturque ab angulo a linea a d perpendicularis ad basim. Dico quod a b est potentialiter sesquitertium ad a d. Sunt quidem ex 5 primi duo anguli b et c equales et quia anguli ad d sunt recti, erit per 26 primi linea b c divisa per equalia in puncto d. Itaque ex 4 secundi quadratum b c quadruplum est ad quadratum b d ideoque etiam quadratum a b quadruplum est ad quadratum b d. Est enim triangulus equilaterus. Quare per penultimam primi quadrata duarum linearum a d et b d pariter accepta quadruplum sunt ad quadratum b d. Itaque quadratum a d triplum est ad quadratum b d. Constat ergo propositum etcetera.

Omnis trigonus equilaterus cuius est latus rationale, superficies medialis esse probatur.

Sit ut prius triangulus a b c equilaterus et sit eius latus a b rationale sive in longitudine sive in potentia tantum. Dico itaque quod ipse triangulus est superficies medialis. Ducatur enim perpendicularis a d ab angulo a ad basim eritque ex premissa et ex 6 decimi et diffinitione superficiei rationalis quadratum linee a d rationale et linea a d rationalis in potentia. Ipsa autem erat ex ultima parte 7 decimi mediante premissa incommensurabilis linee a b ideoque linee b d que est tamquam eius dimidium. Sunt itaque due linee a d et d b rationales potentialiter tantum communicantes. Igitur ex 19 decimi superficies unius earum in alteram est medialis. Cumque superficies unius earum in alteram sit equalis trigono a b c, constat verum esse quod diximus.

Cuncte superficies utriuslibet duorum solidorum quorum alterum est piramis quatuor basium triangularium [f.153v] et equilaterarum, reliquum vero corpus octo basium triangularium et equilaterarum pariter accepte, si diameter spere ea circumscribentis rationalis fuerit, componunt superficiem medialem.

Nam si diameter spere alterum duorum propositorum corporum circumscribentis fuerit rationalis sive in longitudine sive in potentia tantum, erit ex corollario 13 tertiidecimi libri latus piramidis rationale in potentia et ex corollario 15 eiusdem latus quoque corporis octo basium rationale in potentia. Quare per premissam trianguli qui sunt bases utriuslibet corporis erunt superficies mediales. Et quia trianguli utriuslibet eorum ad invicem sunt equales, erunt ex 21 decimi omnes superficies utriuslibet eorum pariter accepte componentes superficiem medialem quemadmodum proponitur etcetera.

Si tetracedron et octocedron una eademque spera circumscribat, erit una ex basibus tetracedri sesquitertia ad unam ex basibus octocedri. Omnes autem bases octocedri pariter acceptas ad omnes bases tetracedri pariter acceptas sesquialteram proportionem habere necesse est.

Sit aliqua spera cuius diameter a circumscribens piramidem cuius latus b et octocedron cuius latus c. Dico itaque quod triangulus equilaterus cuius latus b sesquitertius est ad triangulum equilaterum cuius latus c, et quia superficies quam componunt 8 trianguli equilateri cuiusque quorum est latus c sesquialtera est ad superficiem quam componunt 4 trianguli equilateri cuiusque quorum est latus b. Constat enim ex corollario 13 tertiidecimi quod quadratum a ad quadratum b sicut 6 ad 4, igitur econverso quadratum b ad quadratum a sicut 4 ad 6. Ex corollario vero 15 eiusdem manifestum est quod quadratum a ad quadratum c sicut 6 ad 3. Itaque per equam proportionalitatem quadratum b ad quadratum c sicut 4 ad 3. Quadratum autem b ad quadratum c est sicut trigonus equilaterus cuius latus b ad trigonum equilaterum cuius latus c, utraque enim est sicut b ad c proportio duplicata ex secunda parte 18 sexti. Igitur trigonus equilaterus cuius latus b ad trigonum equilaterum cuius latus c sicut 4 ad 3. Quare constat prima pars propositi. Ex quo evidenter elicitur secunda. Erit enim per conversam proportionalitatem trigonus equilaterus cuius latus c ad trigonum equilaterum cuius latus b sicut 3 ad 4. Ideoque octuplum trigoni equilateri cuius latus c ad quadruplum trigoni equilateri cuius latus b est sicut octuplum ternarii ad quadruplum quaternarii. Hoc est sicut 24 ad 16. Et quia octuplum trigoni equilateri cuius latus c est omnes bases octocedri [f.154r] cuius latus c et quadruplum trigoni equilateri cuius latus b est omnes bases piramidis cuius latus b et quia proportio 24 ad 16 est sesquialtera, sequitur ut superficies quam componunt omnes bases octocedri cuius latus c ad superficiem quam componunt omnes bases piramidis cuius latus b sesquialtera (sicut diximus) proportione respiciat etcetera.

Piramide quatuor basium triangularium atque equilaterarum intra speram quamlibet collocata si a quolibet angulorum eius per centrum spere recta linea ad basim ducatur, in centrum circuli basim circumscribentis eam cadere atque eidem basi perpendiculariter insistere necessario comprobatur.

Sit piramis a b c d 4 basium triangularium atque equilaterarum intra speram aliquam cuius centrum sit f collocata et cum quilibet 4 angulorum istius piramidis possit esse conus eius atque quilibet 4 triangulorum basis, imaginemur nunc eius solidum angulum a esse conum et triangulum b c d imaginemur esse basim atque huic basi intelligamus circumscriptum esse circulum b c d. Dehinc a puncto a quem imaginati sumus conum piramidis ducamus ad basim b c d lineam rectam transeuntem per punctum f qui est centrum spere circumscribentis piramidem de qua disputamus et occurrat hec linea superficiei b c d quam imaginati sumus basim piramidis super punctum e. Dico igitur quod punctum e est centrum circuli b c d et quod linea a f e est perpendicularis ad superficiem b c d. Producam enim lineas f b, f c, f d. Et quia 4 puncta a, b, c, d sunt in superficie spere cuius centrum f propter hoc quod illam speram positum est circumscribere hanc piramidem, erunt omnes 4 linee f a, f b, f c, f d ad invicem equales. Sunt enim ducte a centro spere ad eius superficiem. Ergo quia duo latera a f et f b trianguli a f b sunt equalia duobus lateribus a f et f c trianguli scilicet a f c et basis a b basi a c, nam piramis proposita est equilatera, erit ex 8 primi angulus a f b equalis angulo a f c ideoque per 13 primi angulus b f e erit equalis angulo c f e. Eodem modo probabis angulum d f e esse equalem angulo c f e. Necesse est enim ex 8 primi ut angulus a f c sit equalis angulo a f d. Quare per 13 primi angulus quoque c f e erit equalis angulo d f e. Sunt igitur tres anguli b f e, c f e, d f e ad invicem equales. Protractis igitur lineis e b, e c et e d sequetur ex 4 primi bis assumpta eas esse ad invicem equales. Ideoque per 9 tertii punctus e est centrum circuli b c d. Et quia perpendicularis ducta a centro spere ad superficiem cuiuslibet circuli eam secantis cadit super centrum eiusdem circuli sicut ex hiis que premissa sunt didicisti, convincitur lineam a f e esse perpendicularem ad superficiem circuli a b c quemadmodum proponitur. Sin autem, erunt eiusdem circuli duo centra quod natura tamquam impossibile exhorruit etcetera.

Solidum octo basium triangularium atque [f.154v] equilaterarum quod ab aliqua spera circumscribitur divisibile est in duas piramides eque altas quarum altitudo equalis est semidiametro spere, basis autem utriusque quadratum quod est subduplum quadrato diametri spere.

Esto corpus 8 basium triangularium atque equilaterarum cuius sex anguli sint a, b, c, d, e, f circumscriptum a spera cuius centrum g. Constat itaque quod sex puncta a, b, c, d, e, f sunt in superficie spere cuius centrum g. Si igitur centrum g iungatur cum quolibet horum sex punctorum, erunt linee iungentes ipsum eis ad invicem equales, cum ipse sint a centro spere ad superficiem. Cum autem ex corollario 15 tertiidecimi sit diameter spere potentialiter dupla ad latus huius corporis, erit ex 4 secundi latus huius corporis potentialiter duplum ad semidiametrum spere. Quadratum ergo c f duplum est ad quadratum c g ideoque equale duobus quadratis duarum linearum c g et g f. Itaque per ultimam primi angulus c g f est rectus. Eadem ratione quisque trium angulorum f g d, d g e et e g c est rectus. Quare per 14 primi et c g d et f g e est linea una. Igitur ex 2 undecimi quinque puncta c, f, d, e, g sunt in superficie una. Manifestum est autem ex 5 primi et 32 eiusdem quod quilibet 4 angulorum c, e, d, f est rectus, igitur ex diffinitione quadrati superficies c e d f est quadrata. Et quia latus eius est latus propositi corporis, constat ex corollario 15 tertiidecimi istud quadratum esse subduplum quadrato diametri spere. Consimili quoque ratiocinatione constat utramque duarum linearum a g et g b cum qualibet 4 linearum c g, f g, d g et e g continere angulum rectum ideoque ex 4 undecimi utramque earum esse perpendicularem ad superficiem c e d f et ambas, scilicet a g et g b, per 14 primi componere lineam unam. Divisum est igitur propositum corpus in piramidem a c f d e cuius basis quadratum c e d f quod est subduplum quadrato diametri spere et etiam altitudo linea a g que est semidiameter spere et in piramidem b c f d e cuius basis est predictum quadratum et eius altitudo linea g b que est semidiameter spere. Et hoc est quod oportebat ostendere.

Piramidem quatuor basium triangularium atque equilaterarum spera aliqua circumscribente erit proportio tetragoni qui sub linea potentialiter subsesquitertia ad dodrantem lateris ipsius piramidis et sub linea superquinquepartiente vicesimasseptimas eiusdem dodrantis continetur ad quadratum diametri spere sicut corporis ipsius piramidis ad corpus octo basium triangularium atque equilaterarum que ambo eadem spera circumducantur.

Sit spera cuius diameter a b et centrum h circumscribens piramidem 4 basium triangularium atque equilaterarum a c d et corpus 8 basium triangularium atque equilaterarum quod sit e sitque linea l m potentialiter subsesquitertia ad dodrantem linee a c que est latus et piramidis et linea m n contineat dodrantem predictum et eius quinque vicesimasseptimas sitque p quadratum diametri a b. Dico itaque quod proportio piramidis a c d ad octocedron e est sicut superficiei l m in m n ad quadratum p. Imaginemur enim solidum angulum a esse conum piramidis et basim piramidis, cuius unum latus est d c, secare diametrum spere in puncto f eritque (quemadmodum ex ratiocinatione 13 tertiidecimi manifestum est) a f dupla ad f b. Cumque etiam a b sit dupla ad b h, erit ex 19 quinti b f dupla ad f h ideoque a f quadrupla ad f h. Imaginemur igitur superficiem secantem piramidem a c d super centrum spere equidistanter basi ipsius. Sitque linea g k communis sectio huius superficiei et trianguli a c d eritque ex 17 undecimi proportio c a ad a g sicut f a ad a h, igitur c a ad a g sicut 4 ad 3. Sic enim est ex eversa proportionalitate f a ad a h. Constat autem ex secunda parte 29 primi et 16 undecimi et 10 eiusdem et prima parte 2 sexti et diffinitionibus similium superficierum et similium corporum quod piramis a g h k est similis piramidi a c d ideoque ex 8 duodecimi proportio piramidis a c d ad piramidem a g k est sicut c a ad a g triplicata, quare sicut 4 ad 3 triplicata. Constat autem ex 2 octavi quod proportio 4 ad 3 triplicata est sicut 64 ad 27. Itaque proportio piramidis a c d ad piramidem a g k est sicut 64 ad 27. Fiat ergo triangulus equilaterus q r s ex linea equali a g quam constat esse dodrantem linee a c et producatur linea q t perpendicularis ad r s eritque ex 11 huius linea q t potentialiter subsesquitertia ad lineam q r. Ideoque equalis l m. Adiciatur quoque linee r s linea s x ita quod proportio r x ad r s sit sicut 64 ad 27. Dividatur r x per equalia in v ut sit r v 32 de partibus illis de quibus r s est 27 aut r x 64 eritque r v equalis m n. Et ducantur linee q v et q x eritque ex prima sexti proportio trianguli q r x ad triangulum q r s sicut 64 ad 27. Cumque per eandem sit triangulus q r x duplus ad triangulum q r v, at ex 41 primi quod fit ex q t in r v duplum quoque sit ad triangulum q r v, erit quod fit ex q t in r v (et ipsum est equale superficiei l n) equale triangulo q r x, quare proportio superficiei l n ad triangulum q r s est sicut 64 ad 27, ideoque sicut piramidis a c d ad piramidem a g k. Manifestum est autem ex 15 huius quod linea a f est perpendicularis ad basim piramidis a c d ideoque per 14 undecimi linea a h est etiam perpendicularis ad basim piramidis a g k. Igitur altitudo a g k piramidis est semidiameter spere. Dividitur itaque octocedron e quemadmodum proponit premissa, erit itaque utraque duarum piramidum in quas ipsum e dividitur eque alta piramidi a g k. Nam singularum altitudo est semidiameter spere. Quia igitur omnes laterate piramides eque alte suis basibus sunt proportionales ut in 6 duodecimi demonstratum est, erit proportio piramidis a g k ad utramque earum in quas dividitur octocedron e sicut basis eius ad bases illarum. Quare per 24 quinti proportio piramidis a g k ad totum octocedron e est sicut sue basis quam constat esse equalem triangulo q r s ad bases ambarum piramidum in quas dividitur e pariter acceptas quas constat esse equales quadrato diametri spere per premissam videlicet p. Quoniam ergo proportio piramidis a c d ad piramidem a g k est sicut tetragoni l n ad trigonum q r s videlicet 64 ad 27 et piramidis a g k ad octocedron e sicut trigoni q r s ad quadratum p, [f.155v] erit per equam proportionalitatem proportio piramidis a c d ad octocedron e sicut tetragoni l n ad quadratum p. Et hoc erat demonstrandum.

Ex premissis igitur manifestum est quod perpendicularis veniens a centro spere piramidem 4 basium triangularium atque equilaterarum circumscribentis ad quamlibet basim ipsius piramidis equalis est sexte parti diametri spere.

Cum enim cuncti trianguli piramidem ambientes sint similes et equales, erunt quoque circuli ipsos circumscribentes equales ideoque perpendiculares a centro spere ad eosdem circulos in eorum centra cadentes erunt equales. Perpendiculares autem ad circulos sunt perpendiculares ad bases piramidis itaque perpendiculares ad bases piramidis sunt ad invicem equales. Linea autem h f est perpendicularis ad basim piramidis a c d quam h f quia constat ex predictis esse sextam partem diametri a b. Relinquitur esse verum quod per corollarium concluditur.

Idem aliter demonstrare contingit si prius hoc antecedens fuerit stabili ratione firmatum.

In omni triangulo equilatero linea descendens ab uno angulorum eius orthogonaliter supra basim tripla est ad perpendicularem que a centro circuli trigonum ipsum circumscribentis ad quodlibet eius latus protrahitur.

Sit enim triangulus a b c equilaterus sitque d centrum circuli ipsum circumscribentis a quo ducantur linee ad singulos angulos quas manifestum est esse equales cum sint a centro circuli ad circumferentiam. Sunt enim tria puncta a, b, c in circumferentia circuli ipsum trigonum circumscribentis. Protrahatur autem a d in continuum et directum quousque obviet lateri b c super punctum e. Constat igitur ex 8 primi quod angulus a d b est equalis angulo a d c ideoque ex 13 primi angulus b d e est equalis angulo c d e. Quare per 4 primi b e est equalis e c et anguli qui sunt ad e recti. Itaque d e perpendicularis est ad b c veniens a centro circuli circumscribentis trigonum a b c et a e perpendicularis est etiam ad b c veniens ab uno angulorum predicti trigoni. Dico ergo quod a e tripla est ad e d. Constat enim quod tetragonus qui fit ex d e in e b equalis est trigono b d c, tetragonus quoque qui fit ex a e in e b equalis est trigono a b c. At quia trigonus a b c triplus est ad trigonum d b c eritque tetragonus qui fit ex a e in e b triplus ad eum qui fit ex d e in e b. Cumque ex prima sexti sit proportio tetragoni a e in e b ad tetragonum d e in e b sicut a e ad e d, erit a e tripla ad e d. Quemadmodum proponitur.

Necesse ergo est ut perpendicularis cadens ab aliquo angulo alicuius trigoni equilateri super latus oppositum transeat per centrum circuli trigonum ipsum circumscribentis.

Nunc itaque quod promisimus absolvamus. Ad hoc autem imaginemur piramidem 4 basium triangularium atque equilaterarum, cuius una ex 4 basibus eius sit trigonus a b c, circumscriptam esse a spera cuius centrum d et protrahatur linea d e perpendicularis ad superficiem trianguli a b c quam constat cadere in centrum circuli dictum trigonum circumscribentis. Dico igitur lineam d e esse sextam partem diametri spere propositam piramidem circumscribentis. Producam enim lineam d c et lineam c f perpendicularem ad lineam [f.156r] a b quam c f ex proximo corollario constat transire per punctum e et ex premisso antecedente triplam esse ad e f. Constat autem ex 4 secundi quod secundum quod quadratum diametri spere cuius centrum d est 36, est quadratum semidiametri d c 9, ex corollario autem 13 tertiidecimi est quadratum b c 24 et per 11 huius quadratum c f 18 et per premissum antecedens quadratum c e 8. Quia igitur ex penultima primi quadratum d c est equale quadratis duarum linearum d e et e c, est autem quadratum d c 9 et quadratum c e 8 prout quadratum diametri spere est 36. Relinquitur quadratum d e unum prout quadratum diametri spere est 36. Itaque linea e d est unum prout diameter spere est 6. Quod oportebat probare.

Eodem demonstrationis genere declarabitur nobis quod semidiameter spere circumscribentis corpus 8 basium triangularium atque equilaterarum tripla est in potentia ad perpendicularem a centro spere circumscribentis ipsum ad quamlibet suarum basium descendentem. Constat quidem quemadmodum dictum est prius quod cum omnes bases huius corporis sint equales et similes, erunt circuli ipsas circumscribentes equales ideoque perpendiculares a centro spere in ipsorum circulorum centra cadentes erunt ad invicem equales. Cumque perpendiculares ad circulos basium sint quoque perpendiculares ad bases, sequitur ut perpendiculares a centro spere ad singulas bases ad invicem sint equales. Si ergo quod dicimus de perpendiculari ad unam suarum basium probetur, relinquetur verum esse quod proponitur. Sit itaque ut prius triangulus a b c una ex basibus octocedri circumscripti a spera cuius centrum d et cetera quoque fiant ut prius. Cum igitur ex corollario 15 tertiidecimi diameter spere sit potentialiter dupla ad latus octocedri, sequitur ut latus octocedri sit potentialiter duplum ad semidiametrum spere. Ideoque cum quadratum linee b c erit 12, erit quadratum linee d c que est semidiameter spere 6, ex 11 autem huius cum quadratum b c est 12, quadratum c f est 9. Et ex premisso antecedente quadratum c e est 4. Itaque cum quadratum d c, que est semidiameter spere, est 6, quadratum c e est 4. Et quia ex penultima primi quadratum d c est equale quadratis duarum linearum c e et e d, sequitur ut quadratum e d sit duo prout quadratum d c est 6. Constat ergo quod diximus.

Duplum quadrati quod ex diametro spere cubum circumscribentis describitur equum est omnibus superficiebus ipsius cubi pariter acceptis. Perpendicularis quoque que a centro spere ad quamlibet ex superficiebus cubi producitur medietati lateris cubi eiusdem equalis esse ex necessitate convincitur.

Manifestum est enim ex corollario 14 tertiidecimi libri quod diameter spere cubum concludentis tripla est in potentia ad latus cubi. Cum igitur quadratum diametri spere triplum sit ad quadratum lateris cubi, duplum quadrati diametri spere equum erit sexcuplo quadrati lateris cubi. Sunt autem omnes superficies cubi sex quadrata que ex latere cubi in se producuntur, itaque duplum quadrati diametri spere equum est omnibus superficiebus cubi. Constat igitur prima pars. Secundam autem partem ex 18 et 19 et 40 undecimi libri facile probabis. [f.156v]

Ex hiis ergo evenire manifestum est ut ex medietate lateris cubi in bisse quadrati ex diametro spere ipsum cubum ambientis cubi soliditas producatur.