GEOMETRIA E ALGEBRA - A.A. 01/02 - Argomenti delle lezioni svolte L01(01) - 09/10/01 Numeri ed operazioni. Campi e gruppi commutativi. L02(02) - 09/10/01 Polinomi. Operazioni sulle forze applicate. E01(03) - 09/10/01 Principio di induzione e dimostrazioni per assurdo. L03(04) - 10/10/01 Traslazione e rotazione delle coordinate nel piano. Composizione di due rotazioni. Definizione di spazio vettoriale. L04(05) - 11/10/01 Definizione di spazio vettoriale ed esempi. E02(06) - 16/10/01 Costruzione geometrica di frazioni, prodotto di polinomi, esempi di spazio vettoriale. L05(07) - 16/10/01 Definizione di sottospazio vettoriale ed esempi. L06(08) - 16/10/01 Sottospazi del piano. Sottospazio generato da un insieme. Combinazioni lineari. L07(09) - 17/10/01 Vettori linearmente indipendenti e dipendenti. Esempi nel piano e nello spazio. Basi, basi canoniche di alcuni spazi, altri esempi. L08(10) - 18/10/01 Coordinate, bigezione tra vettori e coordinate indotta da una base. Buona definizione della dimensione: enunciato e schema della dimostrazione. L09(11) - 23/10/01 Dimostrazione della buona definizione di dimensione. E03(12) - 23/10/01 Sistemi di vettori che generano e/o sono linearmente indipendenti L10(13) - 23/10/01 Completamento a base di un sistema di vettori linearmente indipendenti. Estrazione di una base da un insieme di generatori. L11(14) - 24/10/01 Teorema di Grassmann e sue conseguenze. E04(15) - 25/10/01 Le successioni "alla Fibonacci" come sottospazio delle successioni. Calcolo di dimensione e verifica della formula di Grassmann. L12(16) - 30/11/01 Nucleo, immagine, formula della dimensione. Iniettivita' e surgettivita' di una lineare. Lineari bigettive. L13(17) - 30/11/01 Prodotto righe per colonne tra matrici e sue proprieta'. Applicazioni associate a una matrice. Lo spazio delle applicazioni lineari. E05(18) - 30/10/01 Ricerca di basi di sottospazi, completamento ed estrazione di basi, formula di Grassmann. L14(19) - 31/10/01 Corrispondenza tra matrici e applicazioni per gli spazi di vettori numerici. Prodotto tra matrici come composizione delle applicazioni corrispondenti. Dimensione dello spazio delle applicazioni, e matrice associata ad una applicazione rispetto a una coppia di basi. L15(20) - 06/11/01 Corrispondenza tra l'azione di una applicazione sui vettori e quella della matrice associata sulle coordinate. Ridefinizione sintetica di coordinate di un vettore rispetto a una base e di matrice associata ad una applicazione rispetto a due basi. Matrice della composizione di due applicazioni. L16(21) - 06/11/01 Inversa di una applicazione lineare e di una matrice. Regole di cambiamento delle coordinate e della matrice associata ad una applicazione quando si cambiano le basi. Sistemi lineari, matrice associata, rango, teorema di Rouche'-Capelli sulla risolubilita' di un sistema. E06(22) - 06/11/01 Nucleo ed immagine di applicazioni lineari. E07(23) - 07/11/01 Cambio di base nella matrice di una applicazioni. Formula di Grassmann. Dimensione di alcuni spazi di matrici e applicazioni lineari. L17(24) - 08/11/01 Relazione tra le soluzioni di un sistema non omogeneo e quelle del sistema omogeneo associato. Numero delle soluzioni. Determinante e inversa di una matrice 2x2. Determinante di una matrice 3x3. Proprieta' caratterizzanti ed enunciato del teorema di esistenza e unicita' della funzione determinante. L18(25) - 13/11/01 Segnatura di una permutazione, formula del determinante, sviluppi di Laplace. Invertibilita' di una matrice. Teorema di Binet. L19(26) - 13/11/01 Determinante della trasposta. Formula dell'inversa di una matrice, teorema di Cramer. Sottomatrici ed orlate. E08(27) - 13/11/01 Cambiamenti di base. Applicazione di Rouche'-Capelli. Calcolo di determinanti. E09(28) - 14/11/01 Calcoli di rango e determinante di matrici. L20(29) - 15/11/01 Enunciato e dimostrazione del teorema degli orlati. L21(30) - 20/11/01 Sottospazi affini. Sottospazio vettoriale associato, dimensione. Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi affini. L22(31) - 20/11/01 Equazioni cartesiane e parametriche sovrabbondanti. Esistenza di equazioni non sovrabbondanti. Passaggio da una presentazione all'altra per rette nel piano e nello spazio. E10(32) - 20/11/01 Matrici diverse associate alla stessa applicazione. Calcoli di determinante e rango. Applicazioni del metodo di Cramer. L23(33) - 21/11/01 Piani nello spazio. Somma di due sottospazi affini e discussione della sua dimensione. Parallelismo. Possibili posizioni di una coppia di rette nello spazio tridimensionale. E11(34) - 22/12/01 Applicazioni del teorema degli orlati. E12(35) - 27/12/01 Orlati e determinante di Vandermonde. L24(36) - 27/12/01 Unita' immaginaria. Numeri complessi come campo. Corrispondenza con il piano. Parti reale e immaginaria, coniugato, modulo. Relazioni tra queste quantita'. Disuguaglianza triangolare per il modulo. E13(37) - 27/11/01 Calcoli di rango e determinante. E14(38) - 28/11/01 Sottospazi affini dello spazio quadridimensionale. L25(39) - 29/11/01 Forma polare dei numeri complessi. Interpretazione della moltiplicazione. Esponenziale complessa. Radici dell'unita' e di un polinomio qualsiasi. Spazi vettoriali complessi. L26(40) - 04/12/01 Spazi vettoriali sui complessi pensati sui reali. Distanza tra punti e ortogonalita' tra rette nel piano. Prodotto scalare standard nel piano e nello spazio n-dimensionale. L27(41) - 04/12/01 Funzioni bilineari, simmetriche, definite positive. Prodotti scalari su spazi vettoriali astratti. Esempi. Funzioni bilineari e bilineari simmetriche sullo spazio n-dimensionale. Norma associata a un prodotto scalare. E15(42) - 04/12/01 Equazioni cartesiane e parametriche di spazi affini. L28(43) - 05/12/01 Disuguaglianze di Cauchy-Schwartz e triangolare. Distanza associata a un prodotto scalare. Vettori unitari, ortogonali, ortonormali. Coordinate rispetto a una base ortonormale. L29(44) - 06/12/01 Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Proiezioni ortogonali. L30(45) - 11/12/01 Ortogonalita' tra rette e piani nello spazio. Discussione su equazioni parametriche e cartesiane. Il prodotto esterno di due vettori. Applicazioni autoaggiunte (simmetriche) ed ortogonali. L31(46) - 11/12/01 Prodotti scalari hermitiani. Norma associata e sue proprieta'. Proiezioni ortogonali e coordinate. Disuguaglianza di Bessel. Ortonormalizzazione. Matrici hermitiane e unitarie. E16(47) - 11/12/01 Sottospazi affini. Numeri complessi. E17(48) - 12/12/01 Ortonormalizzazione, proiezioni ortogonali, matrici simmetriche e antisimmetriche. L32(49) - 13/12/01 Problema della rappresentazione di una applicazione lineare rispetto ad una base opportuna. Equivalenza con il coniugio per matrici. Diagonalizzabilita', autovalori, autovettori. Polinomio caratteristico. Il caso degli autovalori distinti. L33(50) - 18/12/01 Molteplicita' algebrica e geometrica. Criterio di diagonalizzabilita'. Teorema spettrale. Criteri per la definizione positiva di una matrice simmetrica. L34(51) - 18/12/01 Approssimazione di Taylor del secondo ordine e ricerca di massimi e minimi. Forma canonica di antisimmetriche e ortogonali. Criteri per la definizione positiva di una hermitiana. E18(52) - 18/12/01 Applicazioni lineari sui complessi. Prodotto scalare. Ortonormalizzazione. E19(53) - 19/12/01 Prodotti hermitiani, ortonormalizzazione sui complessi. Polinomio caratteristico, autovalori, diagonalizzabilita'. E20(54) - 20/12/01 Autovalori di matrici e loro molteplicita'.