MATEMATICA III - A.A. 01/02 - Argomenti delle lezioni svolte L01(01) - 09/10/01 Richiami sugli spazi euclidei, sulle successioni, sulla completezza. L02(02) - 09/10/01 Richiami sulla continuita', la derivazione, la formula di Taylor. E01(03) - 09/10/01 Esempi di sottoinsiemi completi e compatti dei reali; metodi elementari con cui studiare la convengenza di alcune successioni, con esempi. L03(04) - 10/10/01 Richiami sull'integrazione in una variabile, cambio di variabile, integrali impropri. L04(05) - 10/10/01 Richiami sull'integrazione in piu' variabili, cambio di variabile, integrali impropri. L05(06) - 11/10//01 Curve e loro lunghezza. Integrale di una funzione su una curva. Indipendenza dalla parametrizzazione. Integrazione di una 1-forma su una curva. Indipendenza per riparametrizzazione che conserva il verso di percorrenza. E02(07) - 11/10/01 Continuita', convergenza di successioni e integrazione. E03(08) - 15/10/01 Integrazione e convergenza di successioni. L06(09) - 15/10/01 Curve chiuse e semplici, curve che bordano insiemi, verso del bordo di un insieme. Differenziale di una funzione e di una 1-forma. E04(10) - 16/10/01 Definizione di insieme connesso (tramite la sua motivazione). Calcolo di alcuni integrali. L07(11) - 16/10/01 Differenziale secondo. Formula di Gauss-Green, suoi analoghi in dimensione piu' bassa, dimostrazione per i rettangoli e cenno al caso generale. L08(12) - 16/10/01 Area come integrale sul bordo. Teorema della divergenza. Forme chiuse ed esatte. Esempio di forma chiusa non esatta. Esattezza delle forme il cui integrale sulle curve chiuse e' nullo. L09(13) - 17/10/01 Insiemi semplicemente connessi, esattezza delle forme chiuse su essi. Superfici parametrizzate. Elemento d'area e area di una superficie. Integrazione di una funzione su una superficie. E05(14) - 17/10/01 Calcolo di integrali e limiti di successioni. E06(15) - 18/10/01 Formula di Taylor del secondo ordine in piu' dimensioni come conseguenza di quella in una dimensione. Integrazione di funzioni e 1-forme su curve. L10(16) - 18/10/01 Parametrizzazioni di superfici su domini piani non quarati. 2-forme e loro integrazione su superfici parametrizzate. Indipendenza per riparametrizzazione positiva, variazione del segno per riparametrizzazione negativa. L11(17) - 22/10/01 Orientazione di una superficie. Definizione di una orientazione tramite un campo normale. Integrale di una 2-forma su una superficie. E07(18) - 22/10/01 Calcolo di aree e integrazione di funzioni su superfici. L12(19) - 23/10/01 Differenziale di funzioni, 1-forme, 2-forme in tre dimensioni. Orientazione di una superficie come bordo di un dominio e di una curva come bordo di una superficie orientata. Enunciato delle due ulteriori versioni della formula di Stokes. L13(20) - 23/10/01 Chiusura ed esattezza delle 1-forme e delle 3-forme in tre dimensioni. Teoremi della divergenza e del rotore. Analogo in due e tre dimensioni della formula di integrazione per parti. E08(21) - 23/10/01 Integrazione di 1-forme su curve e calcolo di aree. L14(22) - 24/10/01 Curve piane come grafici locali. Definizione implicita di curve. Teorema del Dini bidimensionale e traccia della dimostrazione. Analogo per superfici nello spazio tridimensionale. L15(23) - 24/10/01 Curve nello spazio come intersezione di superfici trasverse e come grafico locale. Teorema del Dini per curve nello spazio. Problema dell'inversa derivabile ed enunciato bidimensionale del teorema di invertibilita' locale. L16(24) - 25/10/01 Forma generale (in dimensioni arbitrarie) del teorema del Dini e di quello di invertibilita' locale. Relazione tra questi due teoremi. Vettori normali e tangenti a curve e superfici. Estremi vincolati. Enunciato del teorema dei moltiplicatori di Lagrange in dimensione arbitraria. E09(25) - 25/10/01 Integrali di forme e funzioni su curve e superfici. Esempio di 2-forma chiusa che non e' esatta. E10(26) - 29/10/01 Integrali di forme su curve e seperfici. E11(27) - 29/10/01 Curve e superfici definite implicitamente. Estremi vincolati. L17(28) - 30/10/01 Equazioni differenziali. Esistenza e unicita' locale. Problema dell'intervallo di esistenza. Studio qualitativo di alcuni esempi. L18(29) - 30/10/01 Criteri di confonto. Sistemi di equazioni e riduzione dell'ordine. Equazioni del primo ordine lineari (omogenee e non). E12(30) - 30/10/01 Intgrali su curve. Teorema del Dini. L19(31) - 31/10/01 Equazioni differenziali esatte e a variabili separabili. Equazioni lineari di ordine qualsiasi. Globalita' delle soluzioni. L20(32) - 31/10/01 Wronskiano. Ricerca di una soluzione di una equazione omogenea tramite una soluzione data. Metodo della variazione delle costanti per la soluzione dell'equazione non omogenea. L21(33) - 05/11/01 Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. E13(34) - 05/11/01 Studi qualitativi di equazioni differenziali. L22(35) - 06/11/01 Stabilita' delle soluzioni di una equazione lineare rispetto ad una variazione dei coefficienti. Teorema di esistenza, unicita', e dipendenza continua dal dato iniziale per problemi di Cauchy sufficientemente regolari. L23(36) - 06/11/01 Sistemi bidimensionali autonomi. Il caso lineare ed il teorema di linearizzazione. Sviluppo di Taylor della soluzione di una equazione. E14(37) - 06/11/01 Equazioni differenziali. E15(38) - 07/11/01 Equazioni differenziali lineari e studi qualitativi. L24(39) - 07/11/01 Approssimazione delle equazioni differenziali ai tempi discreti via serie di Taylor. Equazioni alle differenze. Esistenza e unicita' della soluzione. Il problema dell'inversione del tempo. L25(40) - 08/11/01 Equazioni alle differenze lineari. Il caso a coefficienti costanti. Convergenza di serie numeriche. Serie geometriche e serie armonica. L26(41) - 08/11/01 Criteri di convergenza per serie a termini positivi e per serie a termini di segno alterno. Assoluta convergenza. E16(42) - 13/11/01 Equazioni alle differenze, serie numeriche. L27(43) - 13/11/01 Convergenza delle serie assolutamente convergenti. Serie numeriche complesse. Discussione di commutativita' ed associativita' per serie. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Discussione del comportamento rispetto a questi tipi di convergenza della continuita', dell'integrabilita', della derivabilita'. E17(44) - 13/11/01 Equazioni differenziali lineari. L28(45) - 14/11/01 Serie di funzioni con norma (o norma della derivata) sommabile. Derivazione sotto il segno di integrale. Serie di potenze. Raggio di convergenza. E18(46) - 14/11/01 Convergenza uniforme di successioni di funzioni. Equazioni alle differenze non lineari. L29(47) - 15/11/01 Metodi di calcolo del raggio di convergenza. Derivazione ed integrazione di serie di potenze. Funzioni analitiche. L30(48) - 15/11/01 Funzioni di variabile complessa. Cenni alle funzioni a piu' valori. Non-esistenza di una funzione radice continua. L31(49) - 19/11/01 Funzioni esponenziale, trigonometriche, iperboliche nel campo complesso. Studio della funzione seno. E19(50) - 19/11/01 Descrizione qualitativa di sistemi autonomi con due variabili, studi di convergenza di serie numeriche e serie di potenze (sui numeri complessi). L32(51) - 20/11/01 Forme differenziali complesse, relazione con le forme reali, loro integrazione. L33(52) - 20/11/01 Derivabilita' in senso complesso, funzioni olomorfe, necessita' e sufficienza delle equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche, armoniche coniugate. E20(53) - 20/11/01 Studi di convergenza puntuale e uniforme di serie di funzioni (di una e due variabili). L34(54) - 21/11/01 Derivabilita' in senso complesso delle somme di serie di potenze complesse. Equivalenza tra olomorfia e preservazione degli angoli da parte del differenziale reale. E21(55) - 21/11/01 Convergenza puntuale ed uniforme di successioni e serie di funzioni. E22(56) - 22/11/01 Serie di potenze: calcolo del raggio di convergenza e comportamento agli estremi. E23(57) - 22/11/01 Ricerca dell'armonica coniugata ad una data. Scrittura reale di una funzione olomorfa. Preimmagine delle rette parallele agli assi rispetto alla funzione sin. L35(58) - 26/11/01 Derivazione parziale nella variabile complessa e nella sua coniugata. Differenziazione di funzioni e forme complesse. Chiusura delle forme con coefficiente olomorfo. Teorema di Cauchy-Goursat. E24(59) - 26/11/01 Biolomorfismi tra aperti del piano complesso. L36(60) - 27/11/01 Teorema di rappresesentazione di Cauchy. Analiticita' delle funzioni olomorfe, teorema di rappresentazione per le derivate. L37(61) - 27/11/01 Disuguaglianze sul modulo delle derivate. Funzioni olomorfe sul piano e limitate. Teorema fondamentale dell'algebra. Limite uniforme di funzioni olomorfe. E25(62) - 27/11/01 Calcolo di integrali di 1-forme olomorfe su curve nel piano complesso. L38(63) - 28/11/01 Principi di identita' per funzioni olomorfe. Ordine di uno zero. E26(64) - 28/11/01 Funzione olomorfa definita da una continua sul bordo. E27(65) - 29/11/01 Caratterizzazione dei polinomi. Serie di potenze con coefficiente periodico. Integrazione di forme con coefficiente olomorfo. L39(66) - 29/11/01 Sviluppo di Laurent. Tipo di una singolarita' isolata. E28(67) - 03/12/01 Calcolo dei primi termini di alcune serie di Laurent. L40(68) - 03/12/01 Modulo di una funzione olomorfa nell'intorno di una singolarita'. Insieme di convergenza di una serie di Laurent. E29(69) - 04/12/01 Sviluppi di Laurent. L41(70) - 04/12/01 Aggiunta del punto infinito al piano complesso. Funzioni meromorfe. Tipo di singolarita' di una funzione all'infinito. E30(71) - 04/12/01 Integrali di forme con coefficiente meromorfo su curve chiuse nel piano. L42(72) - 05/12/01 Residui: metodi di calcolo e loro uso per il calcolo di integrali. E31(73) - 05/12/01 Cammini che compiono piu' giri intorno a un punto. Primitiva di funzione olomorfa. Funzioni olomorfe sul piano con rapporto limitato. L43(75) - 06/12/01 Calcolo di integrali indefiniti tramite la teoria dei residui: i due teoremi principali. Teorema dell'indicatore logaritmico. E32(74) - 06/12/01 Singolarita' isolate di funzioni olomorfe. L44(76) - 10/12/01 Approssimazione di funzioni. Risoluzione di equazioni differenziali con dato espresso come somma di funzioni trigonometriche. Richiami sui prodotti scalari. Disuguaglianza di Bessel. E33(77) - 10/12/01 Residui ed integrali lungo curve. L45(78) - 11/12/01 Ortogonalita' delle funzioni trigonometriche e serie di Fourier. Discussione dello spazio nel quale ambientare l'approssimazione tramite la serie. Espressione della somma parziale come convoluzione con il nucleo di Dirichlet. E34(79) - 11/12/01 Espressione ed olomorfia di un ramo continuo della funzione logaritmo. Integrali tramite residui. Trasformazioni del piano unito il punto infinito. E35(80) - 11/12/01 Integrali impropri, indicatore logaritmico. L46(81) - 12/12/01 Lemma di Riemann-Lebesgue. Criterio di convergenza del Dini. Esempio di serie di Fourier e calcolo della somma di alcune serie numeriche. E36(82) - 12/12/01 Funzioni meromorfe. Trasformazioni del piano completato con il punto infinito. L47(83) - 13/12/01 Derivabilita' ed integrabilita' termine a termine della serie di Fourier. L48(84) - 13/12/01 Fenomeno di Gibbs. La serie come trasformazione. Trasformazione del prodotto e della convoluzione. L49(85) - 17/12/01 Trasformazione di Fourier come limite della serie. Trasformazione di funzioni assolutamente integrabili. Convergenza della trasformazione inversa. E37(86) - 17/12/01 Serie di Fourier. L50(87) - 18/12/01 Proprieta' della trasformazione di Fourier. E38(88) - 18/12/01 Risoluzione dell'equazione del calore su una barra finita e della equazione di Laplace con dato al bordo fissato tramite serie di Fourier. E39(89) - 18/12/01 Integrazione impropria tramite il semipiano inferiore. Ruolo dell'orientazione nel calcolo degli integrali superficiali. L51(90) - 19/12/01 Trasformata di Laplace e sue principali proprieta'. E40(91) - 19/12/01 Esempi di trasformazione di Fourier. Calcolo di integrali tramite residui. L52(92) - 20/12/01 Trasformazione di Laplace inversa. Trasformazioni Zeta e di Mellin. E41(93) - 20/12/01 Risoluzione di equazioni differenziali tramite trasfomazioni di Fourier e Laplace.