Il Piano Iperbolico

Uno dei problemi che più a lungo hanno appassionato i matematici e i filosofi è quello dell'indipendenza dell'ultimo postulato di Euclide.

Prendiamo i quattro assiomi "minimi e naturali" della geometria piana:

  1. due punti distinti sono congiunti da un'unica retta;
  2. ogni segmento si estende a una retta;
  3. per ogni punto e per ogni numero positivo esiste un cerchio con quel punto come centro e quel numero come raggio;
  4. tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro.

Da questi assiomi segue anche il quinto, cioè che per un punto esterno a una retta passa una sola parallela alla retta data?

La risposta è stata cercata per oltre due millenni, ed è giunta solo intorno al 1830. La risposta è no: il piano iperbolico, di cui la figura illustra un modello (tassellato in triangoli) fornisce un esempio di geometria piana che soddisfa i primi quattro assiomi di Euclide ma non il quinto.

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