Flussi geometrici su varietà con bordo

Wednesday, March 1, 2017
Giovanni Mascellani
Scuola Normale Superiore

I flussi geometrici sono oggetti geometrici che, a partire dalla loro introduzione da parte di Hamilton nel 1981, si sono rivelati strumenti molto potenti per risolvere problemi di analisi geometrica (particolarmente nota è la dimostrazione della congettura di Poincaré mediante il flusso di Ricci, completata da Perelman nella prima metà degli anni 2000). Un flusso consiste in un'evoluzione liscia di una varietà riemanniana; l'equazione differenziale che governa tale evoluzione è scelta in modo tale da regolarizzare le caratteristiche geometriche della varietà (tipicamente la sua curvatura).

I molteplici comportamenti a cui la metrica può andare incontro durante l'evoluzione (convergenza, formazione di singolarità di vario tipo, movimento di espansione o di contrazione, ...) hanno dato vita ad un ricco campo di ricerca, al confine tra geometria, analisi e topologia.

Senza alcuna pretesa di completezza, proverò a dare agli uditori un breve assaggio di cosa sia e come si comporti un flusso geometrico, menzionando in particolare il caso di un flusso definito su una varietà con bordo e le sue particolarità.