year:			main organizer:
2002-03	2003-04	2004-05	Giovanni Alberti
2005-06	2006-07	2007-08	Valentino Magnani

Luigi Ambrosio (SNS)
Recenti sviluppi sulla congettura di De Giorgi per le soluzioni intere di equazioni ellittiche semilineari

Sunto
In un recente lavoro, Jerison e Monneau hanno mostrato come sia possibile construire un controesempio in $R^d$ alla congettura di De Giorgi a partire da un minimo globale in $R^8$ avente certe proprietà di simmetria. Verrà illustrato il metodo di Jerison e Monneau, e gli ostacoli da superare per il completamento del programma.

Andrew Lorent (SNS)
Surface energy for the two well problem

Abstract
We study the functional $I_\eps$ over a class of functions from a region $\Omega$ in $R^2$ into $R^2$ having affine boundary condition. Functional $I_\eps(u)$ is a competition between two terms; the "bulk energy" term that forces the derivatives of u to be close to $SO(2) \cup SO(2)H$ (where H is a diagonal matrix) and the "surface energy" term which is given by $\int_\Omega \eps |D^2 u|$.  $I_\eps$ is the simplest functional for which in the case where surface energy is set to zero (i.e. for $I_{0}$) there exists an exact minimiser via convex integration.
We let $m_\eps=\inf_A I_\eps$ where A is the appropriate function class (i.e. having affine boundary condition, being in Sobelov space) we begin the study of the scaling of $m_\eps/\eps$ as $\eps$ tends to 0. This scaling is important because a full understanding of it will in some sense answer the question of whether convex integration has an effect on minimisation problems that in some very small way constrain oscillation.
All that is known is that $m_{\epsilon}/\epsilon\rightarrow \infty$ as $\epsilon\rightarrow 0$. We will show that the problem of the scaling of $m_{\epsilon}/\epsilon$ is linked to the problem of the scaling of $I_{0}$ over finite element spaces (i.e. functions that are piecewise affine on a triangular grid). We will indicate how this gives hope an approach to proving scaling lower bounds

Fabio Camilli (Università de L'Aquila)
Equazioni di Hamilton-Jacobi misurabili e distanze geodetiche

Sunto
Si considera una classe di equazioni di Hamilton-Jacobi  del tipo $H(x,Du)=0$ la cui Hamiltoniana è soltanto misurabile rispetto alla variabile di stato. Viene mostrato come la definizione di soluzione viscosità, introdotta da Crandall-Lions nel caso continuo,  si può adattare al caso misurabile. Viene inoltre illustrata la relazione tra tale classe di equazioni e una famiglia di  distanze finsleriane su varietà Lipschitz-continue studiate da De Cecco e Palmieri.

Nicola Gigli (SNS)
Sulle equazioni del primo ordine con coefficienti in spazi di Sobolev. I

Sunto
In questi due seminari esporremo i risultati di un articolo di P.L.Lions e Di Perna (Ordinary differential equation, transport theory and Sobolev spaces) sulla generalizzazione del teorema di Cauchy-Lipschitz. Nel primo ci procureremo gli strumenti necessari attraverso l'analisi delle equazioni lineari di trasporto e nel secondo applicheremo tale teoria allo studio delle equazioni del tipo $\dot{X}=b(X)$ ottenendo risultati di esistenza, unicità e stabilità.

Nicola Gigli (SNS)
Sulle equazioni del primo ordine con coefficienti in spazi di Sobolev. II

Andrea Mennucci (SNS)
Regolarità di soluzioni all'equazione di Hamilton-Jacobi H(x,Du(x))=0

Sunto
Presenterò risultati di regolarità per soluzioni generalizzate della suddetta equazione; questi risultati sono basati su un teorema di rettificabilità dei punti coniugati di un flusso Hamiltoniano; discuterò la relazione fra questi risultati e i risultati di lavori precedenti [Cannarsi-M-Sinestrari] [Mantegazza-M] e [Li-Nirenberg], presentando qualche esempio e controesempio.

Luigi De Pascale (Università di Pisa)
Misure minimali e 1-correnti chiuse minimizzanti

Sunto
Vi esporrò parte del contenuto di un articolo di V.Bangert (G.A.F.A. 9,  1999) che riguarda le relazioni fra il problema di minimizzare il "volume in una classe di omologia" e il problema di trovare delle misure invarianti che minimizzano l'azione (invarianza ed azione in questo caso sono riferite al flusso geodetico).

Alexander Plakhov (Universidade de Aveiro, Portugal)
Newton's problem of minimal resistance: The case of multiple collisions

Abstract
A body moves through a homogeneous medium consisting of non-interacting particles at rest. When colliding with the body surface, the particles reflect elastically. It is required to find the shape of the body with minimal resistance to the medium. This problem was first considered by I. Newton in a class of convex and radially symmetric bodies; in the last decade, various classes of bodies have also been studied, provided each particle interacts with the body at most once. We consider the case where multiple collisions of the particles with the body are allowed. It is shown, in particular, that resistance of a body can be made arbitrarily small by a small deformation of the body near its boundary. The two-dimensional version of Newton's problem is also considered.

Ferruccio Colombini (Università di Pisa)
Unicità e non unicità della soluzione per campi di vettori poco regolari

Sunto
Si considera il problema dell’unicità della soluzione del problema di Cauchy per l’equazione lineare del trasporto in R^d:
$$
D_t u + \sum_i  a_i(t,x)  D_{x_i} u = 0
$$
con la condizione: $\div a$ in  $L^\infty$. Verrà presentato un teorema di unicità di soluzioni $L^\infty$ per coefficienti che, eventualmente escluso un insieme relativamente chiuso di misura di Hausdorff (d-1)-dimensionale nulla, appartenengono alla classe BV-Conormale (grosso modo questo significa che localmente le derivate dei coefficienti sono misure soltanto lungo una direzione, mentre sono funzioni L^1 nelle altre). Verrà poi dato un controesempio all’unicità di soluzioni limitate in $R^3$ per coefficienti limitati e tali che $x_3 Da$ sia una misura. Si può invece notare che nel caso di $R^2$ l’ipotesi di coefficienti $L^\infty$ è sufficiente ad assicurare l’unicità di soluzioni $L^\infty$.

Matteo Novaga (Università di Pisa)
Velocità minimale di traveling waves

Sunto
Considero il problema di valutare la velocità minimale di soluzioni tipo traveling waves per sistemi di reazione-diffusione. Nel caso scalare, questo problema è equivalente a calcolare la velocità di propagazione asintotica di disturbi. Presento una caratterizzazione variazionale di tale velocità, discutendo il cosiddetto fenomeno di selezione lineare-nonlineare.

Marc Oliver Rieger (SNS)
Young measures - Basic ideas and recent applications

Abstract
Young measures have been successfully applied to various mathematical problems in material science and other areas. They are used as a tool to study problems which include different length scales, e.g. when microscopical structures affect the global behavior of a material. In this talk we will give an introduction to Young measures, filling the abstract definitions with some intuitive ideas. We apply this concept to equations modelling shape memory alloys (one-dimensional thermoelasticity with nonconvex energy density) and present a recent existence result (in collaboration with Johannes Zimmer, MPI Leipzig).

Ariela Briani (Università di Pisa)
Successioni di problemi di controllo ottimo in L^\infty: Gamma convergenza ed equazioni di Hamilton-Jacobi

Sunto
Consideriamo una successione di problemi di controllo ottimo con equazione di stato y'(t) = a_n (t,y) + b_n (t,u) e funzionale costo J_n(y,u) = supess_{t \in [0,T]} f_n (t, y(t), u(t)). Dimostriamo un risultato di Gamma convergenza e discutiamo le proprietà di stabilità per le relative equazioni di Hamilton-Jacobi che ne derivano.

Guy Bouchitté (Universite de Toulon)
Optimization of light structures. The vanishing mass conjecture

Sylvia Serfaty (Courant Institute)
Gamma-convergence of gradient flows and application to
Ginzburg-Landau vortex-dynamics

Giuseppe Buttazzo (Università di Pisa)
Tre problemi di ottimizzazione in teoria del trasporto

Abstract
We give a model for the description of an urban transportation network and we consider the related optimization problem which consists in finding the desing of the network which has the best transportation performances. This will be done by introducing, for every admissible network, a suitable metric space with a distance that inserted into the Monge-Kantorovich cost functional provides the criterion to be optimized. Together with the optimal design of an urban transportation network, other kinds of optimization problems related to mass transportation can be considered. In particular we will illustrate some models for the optimal design of a city, and for the optimal pricing policy on a given transportation network.

Alessio Brancolini (SNS)
Cammini ottimi in problemi di trasporto

Sunto
Nel seminario di vogliono illustrare alcuni risultati ottenuti da Qinglan Xia. Un transport path fra due misure di probabilità atomiche è un grafo orientato con peso assegnato ad ogni lato in modo da soddisfare la legge di Kirchoff in ogni vertice interno. Un transport paths fra due generiche misure di probabilitè si ottiene invece come limite di transport paths fra misure di probabilità atomiche e sarà una misura vettoriale con divergenza pari alla differenza della misura iniziale e finale. Il costo associato a ogni transport path tiene conto del fatto che in alcuni casi concreti per trasportare due masse nello stesso punto può essere più conveniente portare prima le due masse in uno stesso punto diverso da quello finale, ottenendo così un cammino a Y invece che un cammino a V. Tramite i transport paths si può definire un distanza sullo spazio delle misure di probabilità che induce la topologia debole*. Inoltre, con questa metrica tale spazio diventa un length space. Si discuteranno anche interessati relazioni fra optimal transport paths e piani di trasporto ottimali (alla Kantorovich).

Alberto Farina (Università di Amiens)
Sulla classificazione delle soluzioni di energia finita dei sistemi di Ginzburg-Landau in ogni dimensione

Sunto
Lo scopo del seminario è di presentare alcuni risultati di tipo Liouville per le soluzioni di energia finita del sistema di Eulero Lagrange associato al funzionale di Ginzburg-Landau per  funzioni da R^N a R^M, con N, M \ge 1. In particolare si determinano i valori di N ed M per i quali una soluzione del sistema definita su tutto R^N ed avente energia potenziale finita risulta costante.

Pisa Variational Day
Aula magna del Dipartimento di Matematica

15.00 - 15.45    Bernd Kawohl (Köln University): Cheeger sets, a shape optimization problem
15.45 - 16.30    Luigi De Pascale (Università di Pisa): Metric cones and absolute minimizers
16.30 - 17.00    Coffee Break
17.00 - 17.45    Paolo Tilli (Scuola Normale di Pisa):
                         Asymptotics of the Mumford-Shah functional and irrigation problems
17.45 - 18.45    Piero Villaggio (Università di Pisa):
                         Explicit solutions in the reinforcement of plates

Maria Stella Gelli (Università di Pisa)
Un'estensione del teorema di Kirszbraun per spazi metrici a curvatura limitata. Applicazione a due diverse "parametrizzazioni" di una misura minimale sul toro

Sunto
Racconterò un risultato di Lang e Schroeder riguardante l'estensione di mappe Lipschitz tra (sottoinsiemi) di spazi metrici, sotto opportune ipotesi sulle rispettive curvature e sul diametro della mappa. Applicherò poi questo risultato per dare un esempio di come si possono distinguere (omologicamente) due parametrizzazioni di una misura minimale su una varietà associando ad ognuna di esse un'opportuna corrente metrica intera sullo spazio delle misure di probabilità sulla varietà stessa.

Marino Belloni (Università di Parma)
The p-Laplace eigenvalue problem in a Finsler metric

Abstract
We consider the p-Laplacian operator on a domain equipped with a Finsler metric. We recall relevant properties of its first eigenfunction for finite p and investigate, in the viscosity solutions setting, the limit problem as p tends to infinity.

Johannes Zimmer (MPI Leipzig)
Topology and geometry of nontrivial rank-one convex hulls

Abstract
Nonconvex hulls are an important notion in the calculus of variations. In this talk, we will focus on rank-one convex hulls. Specifically, recent results on so-called $T_k$-configurations as the most prominent case of nontrivial rank-one convex hulls will be reported. We will mainly focus on the most interesting case of 2 by 2 matrices (and explain why this is the most interesting case). We show that $T_4$-configurations are not as exotic objects as one would expect at a first glance, and give a geometric description as well as a characterization of their topological structure in the spaces of quadruples of 2 by 2 matrices. Algorithms for their efficient detection will also be presented. This is joint work with Carl-Friedrich Kreiner, MPI Leipzig.

Pierre Cardialaguet (Université de Brest)
On a geometric flow arising from shape optimisation

Valentino Magnani (Università di Pisa)
An intrinsic notion of mass in the Heisenberg group

Abstract
In this talk we present a class of differential forms that allows us to give a new notion of mass for currents in the Heisenberg group. We show that the sub-Riemannian perimeter of a set can be thought of as the intrinsic mass of its boundary. In the case of regular k-dimensional surfaces, we show that their intrinsic mass corresponds to the (k+1)-dimensional spherical Hausdorff measure with respect to the Carnot-Caratheodory distance. These facts confirm how this notion of mass fits the natural sub-Riemannian geometry of the Heisenberg group.

Filippo Santambrogio (SNS, Pisa)
Problemi di traporto con congestione di traffico

Sunto
A partire dal cosiddetto "Continuous transportation model" (M. Beckman, 1952: si tratta della versione del problema del trasporto di Kantorovich con la norma $L^1$ dei campi vettoriali a divergenza fissata) mostrerò come si possano introdurre varianti per tenere conto degli effetti della congestione del traffico,  ispirandosi ad un libro del 1985 di economia urbana di M. Beckman stesso e T. Puu. Introdurrò poi un problema di pianificazione urbana con due incognite, la distribuzione delle abitazioni e dei servizi in una città, da scegliere in modo ottimale tenendo conto anche di questo nuovo costo di trasporto. Accennerò ai risultati ottenuti e alle tecniche di maggiore interesse.

Oleksandr Metelichenko (University College London)
The isodiametric problem in groups with dilations

Abstract
We show that the isodiametric inequality fails for Carnot-Carathéodory balls in the Heisenberg group and give estimates for the ratio of the volume of the ball and the maximal volume of a set of the same diameter. We also give some examples of the similar nature in the additive group $\R^n$ with non-isotropic dilations.

Luigi Ambrosio (SNS, Pisa)
Evolution problems for polyconvex functionals

Sunto
In a recent paper, Evans, Gangbo, and Savin constructed regular solution for the gradient flow (with respect to the $L^2$ metric) associated to the functional $ \int F(\det \nabla u)$,  with $F$ convex. This solution is not obtained by variational schemes (minimizing movements, implicit Euler, etc.), but it is possible to show a certain compatibility. The convergence of variational schemes in more general situations is still an open problem.

Luigi De Pascale (Dipartimento di Matematica Applicata, Pisa)
Regularity of $\infty$-harmonic functions in dimension two

Abstract
This talk consists of two part of about 45 minuts each. In the first one, I will recall the definition and main properties of $\infty$-harmonic functions. Following a paper by Crandall, Evans and Gariepy, I will show that all blow-ups of such a function at a given point are affine (even though not necessarily the same). In the second part of this talk I will show that in dimension two there is only one blow-up, which implies that every $\infty$-harmonic function on the plane is of class $C^1$ (this result has been proved in a recent paper by O. Savin).

Michele Gori (Dipartimento di Matematica, Pisa)
Inviluppi convessi di curve: alcuni problemi aperti

Sunto
La determinazione, fra le curve dello spazio di lunghezza assegnata, di quella per cui il volume dell'inviluppo convesso è massimo è un problema ancora aperto, nonostante la sua prima enunciazione risalga al 1934: in questo seminario si descrivono le conoscenze sino ad oggi acquisite su questo e su altri problemi ad esso collegati.

Albert Fathi (ENS Lyon)
The Aronsson-Euler Equation for 1-dimensional Hamiltonians

Abstract
In relation with the Hamilton-Jacobi equation $H(x, D_x u)=c$, Craig Evans introduced the Aronsson-Euler equation
$$
-D_x^2 ( {\partial H\over\partial p}(xD_x u), {\partial H\over\partial p}(xD_x u) )
- \langle  {\partial H\over\partial x}(xD_x u), {\partial H\over\partial x}(xD_x u) \rangle
=0 \ .
$$
He showed relations with weak KAM theory. Yifeng Yu has extended the work of Evans. In this joint work with Antonio Siconolfi, we study the 1-dimensional case. We show by examples that the Aubry set cannot be the uniqueness set for this Aronsson-Euler equation.

Antonio Siconolfi (Roma I)
Aubry set and applications

Abstract
For a given Hamiltonian $H(x,p)$ continuous and quasiconvex in the second argument, defined in $\R^N \times \R^N$ or on the cotangent bundle of a compact boundaryless manifold, we consider the equation $H=c$ with $c$  critical value,  i.e. for which the equation admits locally Lipschitz--continuous a.e. subsolutions, but not strict subsolutions. We show that there is a subset of the state variable space, called Aubry set and denoted by  $\A$, where the obstruction to the existence of such subsolution is concentrated. We give a metric characterization of $\A$, and we discuss its main properties. They are applied to a projection problem in a Banach space, to the study of the large-time behavior of subsolutions to a time-dependent Hamilton-Jacobi equation, and to construct a Lyapunov function for a perturbed dynamics, under suitable stability assumptions.

Didier Smets (Paris VI and Centro E. De Giorgi)
The Navier-Stokes equation for viscous fluids: an introduction to the basic regularity results

Abstract
We will try to present a self-contained introduction to some basic regularity results in the mathematical treatment of the Navier-Stokes equations. These include:
1) the local well-posedness in spaces of regular functions (a fixed point argument after some easy kernel estimates);
2) the global existence of weak solutions (after Jean Leray 1934 Acta paper);
3) the space-time size estimate on possible singularities (after Caffarelli-Kohn-Nirenberg 1984 CPAM paper);
4) (possibly) some recent results of Escauriaza-Seregin-Sverak on the blow-up of the spatial $L^3$-norm on a singularity.

Olvier Druet (ENS, Lyon)
Compactness results for fourth order elliptic PDE's with exponential growth

Abstract
On four-dimensional compact Riemmannian manifold, Paneitz discovered a fourth-order elliptic operator which has all the features of the Laplacian in dimension 2 (conformal invariance, curvature associated to this conformal invariance, relation with the Gauss-Bonnet-Chern-formula). We will investigate the blow-up behaviour of sequences of solutions of equations involving this type of operators. We shall see that multi-bubbling is forbidden which simplifies then a lot the analytical questions, compared to analoguous problems. I hope to give a rather complete proof of some compactness results for this type of equations.

Benedetto Piccoli (IAC-CNR, Roma)
Fluidodynamic models for traffic flows on networks

abstract

Maria Stella Gelli (Dipartimento di Matematica, Pisa)
Nozione di grado per mappe misurabili tra varietà compatte orientate: proprietà e caratterizzazioni

Sunto
In questo seminario partirò dai due lavori di Brezis e Niremberg per introdurre una nozione di grado per mappe non continue tra varietà (n-dimensionali, compatte, orientate, varietà di arrivo senza bordo). Utilizzando un'opportuna (semi)norma che controlla le oscillazioni medie di una funzione misurabile, si estende la nozione di grado  tramite approssimazione con funzioni regolari, per cui il grado è definito in modo standard. Questo procedimento è ben definito all'interno dello spazio VMO (che contiene mappe sobolev sia per esponenti critici che frazionari) e mantiene le "buone" proprietà che ci si aspetta da una nozione di grado: stabilità per piccole perturbazioni, stabilità per omotopia, ecc.

Andrea Davini (Dipartimento di Matematica Applicata, Pisa)
Comportamento asintotico di soluzioni di equazioni di Hamilton-Jacobi: un approccio dinamico generalizzato

Sunto
In questo seminario presenterò alcuni risultati ottenuti in collaborazione con Antonio Siconolfi dell'Università di Roma 1.  Il problema studiato è quello del comportamento asintotico delle soluzioni $u(t,x)$ di una equazione di Hamilton-Jacobi del tipo
$$
u_t + H(x,Du)=0
$$
in $(0,+\infty)\times\T^N$, dove l'Hamiltoniano $H(x,p)$ è continuo in  $x$, e strettamente convesso e coercivo in $p$. Dimostriamo  che $u(t,x)$ converge, per $t\to +\infty$, ad una soluzione dell'equazione stazionaria associata. Inoltre, siamo in grado di identificare il limite attraverso una formula di tipo Lax. Il principale contributo di questo lavoro è quello di usare metodi dinamici generalizzati per ottenere il risultato di convergenza in presenza di deboli
ipotesi di regolarità su $H$. Sotto queste condizioni, infatti, un flusso Hamiltoniano non può essere definito.
L'approccio qualitativo al problema è quindi basato sull'analisi delle proprietà dinamiche del così detto insieme di Aubry, condotto nello spirito di un precedente lavoro di Fathi e Siconolfi. Queste tecniche possono essere viste come una generalizzazione di quelle dinamiche usate da Fathi e da Roquejoffre in precedenti lavori, in cui lo stesso problema viene studiato sotto ipotesi di forte regolarità su $H$.

Patrick Bernard (Université Joseph Fourier, Grenoble)
Optimal transportation and Lagrangian dynamics

Abstract
I will expose some results on the optimal transportation of measures in the framework of lagrangian dyanmics. These results rest on some properties of Lipschitz regularity, which are new faces of a general family of results, federated by A. Fathi in a single abstract one,  which contain the Lipschitz graph property of Aubry Mather sets and the Lipschitz regularity of the decomposition in transport ray in Sudakov construction.

Valentino Magnani (Dipartimento di Matematica, Pisa)
Rectifiable sets and currents in Heisenberg groups

Abstract
We will present an overview of recent results by Franchi,  Serapioni and Serra Cassano concerning intrinsic notions of regular submanifolds and of currents in Heisenberg groups. Our presentation will try to be introductory and self-contained. Some related open questions will be raised.

Francesco Bonsante (Dipartimento di Matematica, Pisa)
Tempo cosmologico in gravità 3D

Sunto
Introdurremo la nozione di (funzione di) tempo cosmologico su uno spazio-tempo piatto (varietà munita di metrica lorentziana piatta) e ne studieremo le proprietà di regolarità in alcuni casi fisicamente significativi. Utilizzando il gradiente di tale funzione mostreremo come è possibile trasformare la metrica lorentziana in una metrica riemanniana a curvatura costante uguale a -1.

Gianluca Crippa (SNS, Pisa)
Soluzioni oscillanti di equazioni di trasporto

Sunto
Sia $X$ uno spazio vettoriale topologico di funzioni definite su $R^n$. Diciamo che $X$ ha la "proprietà di chiusura" se vale il fatto seguente: preso un qualsiasi campo vettoriale $f$ dipendente dal tempo, con componenti appartenenti a $X$ e divergenza limitata, e preso un qualsiasi dato iniziale $u_0$ in $X$, allora esiste una funzione u dipendente dal tempo ed appartenente a $X$ che risolve nel senso delle distribuzioni l'equazione del trasporto con campo vettoriale $f$ e dato iniziale $u_0$.
Recentemente, A. Bressan ha posto la questione dell'esistenza di uno spazio $X$ che soddisfi la proprietà di chiusura, che si immerga in $L^1_{loc}$ con compattezza e che contenga le funzioni limitate che siano localmente in BV.  In un lavoro in collaborazione con Camillo De Lellis (Università di Zurigo) mostriamo che un tale spazio $X$ non può esistere. La nostra prova si basa su un esempio di N. Depauw, che mostra un'equazione di trasporto malposta il cui campo vettoriale è "quasi BV". Nel seminario indicherò le motivazioni che portano a considerare spazi con le proprietà sopra elencate e, dopo aver descritto l'esempio di Depauw, cercherò di mostrare la strategia con cui procediamo nella nostra costruzione.

Enrico Valdinoci (Università di Roma II, Tor Vergata)
Geometric features of some models related with phase transitions and fluid jets

Abstract
We deal with the functional
$$
\int |\nabla u|^p +W(u)
$$
where either $W(u)=(1-u^2)^p$ or $W(u)=\chi_{(-1,1)}(u)$. We consider some Harnack inequalities and curvature estimates for level sets and we derive some one-dimensional simmetry results.

Francis Clarke (Institut Universitaire de France et Université de Lyon 1)
On the regularity of solutions in the calculus of variations

Abstract
We review briefly the two main approaches to regularity in the multiple integral calculus of variations, that of De Giorgi, and Hilbert-Haar theory. Then we present some new results of Hilbert-Haar type in which the boundary regularity hypotheses are greatly reduced. We also discuss some recent developments in the one-dimensional setting.

Sven Winklmann (Universität Duisburg-Essen / Centro E. De Giorgi)
Curvature estimates and Bernstein type results for parametric variational problems

Abstract
In this talk we consider immersed hypersurfaces in euclidean $(n+1)$-space which are stationary with respect to an elliptic parametric functional with integrand $F=F(N)$ depending on normal directions. We derive a generalized Simons' inequality for the Laplacian of the length of the anisotropic second fundamental form with respect to a perturbed metric associated with $F$. As a consequence, we show that curvature estimates leading to a Bernstein type result for stable hypersurfaces of dimension $n \leq 5$ can be proved if $F$ is $C^3$-close to the area integrand. In particular, this extends the well-known curvature estimates of Schoen-Simon-Yau for stable minimal hypersurfaces as well as Simon's estimate for $F$-minimizers. Finally, we briefly discuss the application of our estimates to the corresponding non-parametric problem.

Aldo Pratelli (Università di Pavia)
The sharp quantitative estimate for the isoperiometric inequality

Abstract
The classical isoperimetric inequality states that, given a set $E$ in $R^n$ with the same volume of the unit ball $B$, the perimeter $P(E)$ of $E$ is greater than the perimeter $P(B)$ of $B$. Moreover, if the isoperimetric deficit $D(E) = P(E) - P(B)$ equals 0, than $E$ coincides with (a translation of) $B$. A quantitative version of the isoperimetric inequality consists in showing that $L(E) < D(E)^p$, where the Fraenkel asymmetry $L(E)$ of $E$ is defined as the volume of the symmetric difference between $E$ and a suitable translation of $B$ (the translation minimizing $L(E)$!). We will prove the above inequality with $p=1/2$, showing also that this is sharp; this result gives a positive answer to a to a conjecture by Hall (given also, in a weaker version, by Bonnesen).

Stefania Maniglia (Università di Pisa)
Transport equation for log-lipschitz vector fields and Littlewood-Paley decomposition

Abstract
We illustrate the results of the paper "Equations de transport relatives à des champs de vecteurs non-lipschitziens et mecanique des fluides" by H.Bahouri and J.-H.Chemin. In particular, we describe (as done by the authors in their paper) how to get an existence and uniqueness result for measure valued solutions of the Cauchy problem for the transport equation, using the Littlewood-Paley theory and Besov spaces, where the involved vector field is supposed to be a divergence-free vector field belonging to the space $L^1_{loc} ( R^+ ; LL(R^d) )$ and
$LL(R^d)$ denotes the space of log-lipshitz functions.

Annamaria Montanari (Università di Bologna)
The Alexandrov Soap Bubbles Theorem for the Levi curvature

Abstract
The celebrated Alexandrov Theorem asserts that a compact hypersurface with constant mean curvature is a sphere. In this talk we shall show that a similar result holds for the Levi curvature.

Scott D. Pauls (Dartmouth College, NH)
Constant mean curvature surfaces in sub-Riemannian geometry

Abstract
In 1996, Garofalo and Nhieu showed the existence of solutions to the Plateau Problem in the setting of sub-Riemannian spaces, beginning close to a decade of sustained investigation of minimal surfaces in sub-Riemannian spaces.  In this talk, we will focus on a first example, the sub-Riemannian Heisenberg group, to describe the current state of knowledge. While smooth minimal surfaces have some remarkable rigidity properties, we will discuss new constructions of minimal surfaces of lower regularity, some of which can be shown to be minimizers.  If time permits, we will discuss extensions of these ideas to the minimal surface problem in the roto-translation group which has direct application to a model of the function of the first layer of the visual cortex (due to G. Citti and A. Sarti) and to recent digital inpainting algorithms (due to L. Ambrosio and S. Masnou).

Luigi Ambrosio (SNS)
Equazioni di evoluzione di tipo Hamiltoniano nello spazio delle misure di probabilità. I parte

Sunto
Consideriamo alcuni problemi di evoluzione nello spazio delle misure di probabilità che presentano formalmente una struttura di tipo Hamiltoniano. Si mostra come queste queste considerazioni formali possono essere rese rigorose usando il calcolo differenziale di F. Otto nello spazio di Wasserstein. Verrà discusso anche il caso finito-dimensionale, le approssimazioni finito-dimensionali e alcune questioni aperte riguardanti l'unicità delle soluzioni.

Diego Pallara (Università di Lecce)
Funzioni a variazione limitata ed equazione del calore

Sunto
Si discutono alcune relazioni tra la variazione totale di una funzione u in L^1 e le proprietà della soluzione dell'equazione del calore con dato iniziale u, in vari contesti. I risultati presentati sono ispirati alla definizione originale di variazione totale data da De Giorgi, ed ai legami tra diseguaglianze isoperimetriche e semigruppo del calore.

Luigi Ambrosio (SNS)
Equazioni di evoluzione di tipo Hamiltoniano nello spazio delle misure di probabilità. II parte

Federica Dragoni (SNS)
Metric inf-convolutions

Abstract
We define and briefly study the Carnot-Carathéodory inf-convolutions. Then we investigate the behaviour of $\epsilon \log w^\epsilon(t,x)$ as $\epsilon$ tends to $0$, where $w^\epsilon$ are the solutions of a suitable family of hypoelliptic second order equations. In particular, we show that they converge to the metric inf-convolution with respect to the associated Carnot-Carathéodory distance, applying the Large Deviation Principle. The main problem is to show the applicability of the LDP in our hypoelliptic case. We will show that this is possible, instead of generalizing Varadhan's proof (covering up to the Riemannian case), using basic properties of measure theory.

Matteo Novaga (Università di Pisa)
Insiemi di Cheeger di domini convessi

Sunto
Verranno presentate alcune proprieta dei cosiddetti insiemi calibrabili e verra discussa l'unicità degli insiemi di Cheeger in domini convessi.

Giovanni Bellettini (Università di Roma Tor Vergata)
Remarks on the variational nature of heat equation and motion by mean curvature

Abstract
We show that the classical solution of the heat equation can be seen as the minimizer of a suitable functional defined in space-time. Using similar ideas, we introduce a functional $F$ on the class of space-time tracks of moving hypersurfaces, and we relate minimizers of $F$ to solutions of the mean curvature flow.

Franco Flandoli (Università di Pisa)
Some open problems on stochastic Navier-Stokes equations

Abstract
Well posedness of the deterministic 3D Navier-Stokes equations is a well known open problem. There is some hope to make progresses in the case of white noise perturbered 3D Navier-Stokes equations. The hope comes generically from the stronger results of uniqueness for finite dimensional stochastic differential equations (with respect to their deterministic counterparts), and specifically from recent results, about strictly stochastic 3D Navier-Stokes equations, on the existence of selections with continuous dependence on initial conditions. The talk will review these ideas.

Séverine Rigot (Université Paris-Sud - Orsay)
Remarks about minimal curves in Carnot groups

Abstract
It is well-known that Riemannian and sub-Riemannian geometry can be extremely different. This can be for instance reflected through differentiability, or non differentiability, properties of the distance function and qualitative behaviour of minimal curves. We will try to illustrate this phenomenon. We will show how classical geometrical properties of Euclidean spaces, namely the Besicovitch covering property and the isodiametric inequality, can fail to hold in Carnot groups, counter-examples being based on specific features of the distance function and minimal curves.

Gianluca Crippa (Scuola Normale Superiore)
Regularity and compactness for the flow associated to weakly differentiable vector fields

Abstract
Given a vector field with Sobolev or BV regularity and with bounded divergence, thanks to the results of Di Perna-Lions and of Ambrosio it is possible to give a good notion of solution to the ordinary differential equation, encoded in the concept of regular Lagrangian flow. Roughly speaking, the regular Lagrangian flow is the unique solution of the ODE which is stable with respect to smooth approximations of the vector field. Several questions about the nature of the regular Lagrangian flow are possible: in connection with the Cauchy-Lipschitz theory it is reasonable to investigate the approximate differentiability with respect to the initial datum, and in view of some applications to conservation laws it is interesting to discuss the compactness of the flow under natural bounds on the BV norm of the vector field and on the compressibility coefficient of the flow.
During the talk, we will give a general overwiev of the problem, first recollecting some results present in the recent literature (due to Le Bris and Lions and to Ambrosio, Lecumberry and Maniglia), and then presenting the new approach contained in a work in collaboration with Camillo De Lellis. This method leads to a Lusin-type approximation of the flow relative to $W^{1,p}$ vector fields (p>1) with Lipschitz maps, with quantitative estimates on the Lipschitz constant. We will indicate how this implies some new compactness and stability results.

Adriana Garroni (Università di Roma I)
A variational model for dislocations

Abstract
Dislocations are line defects which are present on slip planes of crystals and are consider responsible for many interesting phenomena, like plasticity and hardening. Those defects can be described by a multi-phase field variational model recently introduced by Koslowski and Ortiz. This is a 2d vector phase-transition functional, with a non local singular perturbation and a non linear potential which vanishes on a lattice. We describe, by means of $\Gamma$-convergence, the asymptotic behaviour of these functionals as the lattice parameter goes to zero and we obtain, in the limit, an anisotropic line tension energy. The anisotropic line tension energy density can be completely described in the scalar case (where the scalar phase describe the activation of one slip system in the slip plane) and exhibits a one dimensional character (i.e. the optimal profile is one dimensional), while in the vector
case we can show by means of explicit construction that the optimal transition may produce oscillations.

Andrea Braides (Università di Roma II)
The use of Gamma-convergence in the study of asymptotic problems

Abstract
Gamma-convergence is a commonly recognized tool for the description of complex variational problems involving small parameters (homogenization, phase transitions, atomistic systems, etc.). Anyhow, its application is sometimes criticized (besides not giving correct information for local minimizers) either for not giving an accurate description with respect to varying parameters (e.g., boundary conditions, applied forces, etc.) or simply not providing the same approximate theories that are used by practitioners. I will present some proposal on how to use Gamma-convergence to fit (some of) those requirements. Joint work with Lev Truskinovsky.

Piero Villaggio (Università di Pisa)
Problemi variazionali della locomozione [colloquio di dipartimento]

Boris Mordukhovich (Wayne State University)
Methods of variational analysis in optimization and control

Abstract
Variational analysis has been recognized as a rapidly growing and fruitful area in mathematics concerning mainly the study of optimization and equilibrium problems, while also applying perturbation ideas and variational principles to a broad class of problems and situations that may be not of a variational nature. It can be viewed as a modern outgrowth of the classical calculus of variations, optimal control theory, and mathematical programming with the focus on perturbation/approximation techniques, sensitivity issues, and applications. One of the most characteristic features of modern variational analysis is the intrinsic presence of nonsmoothness, which naturally enters not only through initial data of optimization-related problems but largely via variational principles and perturbation techniques applied to problems with even smooth data. This requires developing new forms of analysis that involve generalized differentiation.
In this talk we discuss some new trends and developments in variational analysis and its applications mostly based on author's recent 2-volume book Variational Analysis and Generalized Differentiation, (Springer, 2006). Applications particularly concern optimization and equilibrium problems, optimal control of ODEs and PDEs, mechanics, and economics. The talk does not require preliminary knowledge on the subject.

N.N. Uraltseva (St. Petersburg State University)
Two-phase obstacle problem

Davide Vittone (SNS)
An intrinsic measure for submanifolds in stratified groups

Abstract
We want to study the problem of finding the intrinsic sub-Riemannian measure "naturally" associated to a given submanifold of a stratified group. After a brief presentation of this setting, we will show some new results obtained in collaboration with V. Magnani. We introduce a "local dimension" (the so-called degree) for each point of a submanifold $\Sigma$ and show that the intrinsic tangent cone of $\Sigma$ is a subgroup at points of maximum degree. The negligibility of points with lower degree provides the intrinsic sub-Riemannian measure associated with $\Sigma$. We also provide the formula to compute the Hausdorff dimension of $\Sigma$ as the maximum degree of all points.

Luigi De Pascale (Università di Pisa)
Random turn games and the Aronsson-Euler equations

Abstract
The Aronsson-Euler equations constitute an increasingly popular family of fully-nonlinear elliptic degenerate PDE. In this talk I will describe a connection between some random turn game and the Aronsson-Euler equations..

Michal Wojciechowski (Polish Academy of Science)
Singularity of vector valued measures in terms of Fourier transform

Abstract
We study how the singularity (in the sense of Hausdorff dimension) of a vector valued measure can be affected by certain restrictions imposed on its Fourier transform. The restrictions, we are interested in, concern the direction of the (vector) values of the Fourier transform. The results obtained could be considered as a generalizations of F. and M. Riesz theorem, however a phenomenon arises in the vector valued case, which has no analogy in the scalar case. As an example of application, we show that every vector measure $\mu$ in $M(R^d;R^d)$ annihilating gradients of $C^1_0(R^d)$ maps has Hausdorff dimension at least one. We provide examples which show both completeness and incompleteness of our results. The result are joint with M. Roginskaya.

Massimiliano Berti (Università di Napoli)
Cantor families of periodic solutions of wave equations via a variational principle

Abstract
For finite dimensional Hamiltonian systems, existence of periodic solutions close to an elliptic equilibrium have been proved by Weinstein, Moser and Fadell-Rabinowitz: by the classical Lyapunov-Schmidt decomposition the problem splits into (i) the range equation, solved through the standard Implicit Function Theorem, and (ii) the bifurcation equation, solved via variational arguments. On the contrary, for infinite dimensional Hamiltonian PDEs (i) a "small divisors problem" requires the use of a Nash-Moser implicit function theorem to solve the range equation and, as a consequence, the bifurcation equation (ii) is defined just on a Cantor like set. We presents the first existence results of periodic solutions for Hamiltonian PDEs solving a variational principle defined on a Cantor set.

One day miniworkshop on variational problems
Aula magna del Dipartimento di Matematica

15: Giandomenico Orlandi (Università di Verona)
Dynamics of Ginzburg-Landau vortices and critical points of the Kirchhoff functional

Abstract
For the two dimensional complex parabolic Ginzburg-Landau equation we prove that, asymptotically,  vortices evolve according to a simple ordinary differential equation, which is a gradient flow of the Kirchhoff- Onsager functional. This convergence holds except for a finite number of times, corresponding to vortex collisions and splittings, which we describe carefully. The only assumption is a natural energy bound on the initial data.

16: Cyril Muratov (NJIT, New Jersey, USA)
A variational approach to front propagation in infinite cylinders

Abstract
Gradient reaction-diffusion-advection systems arise in the context of modeling the kinetics of phase transitions, population dynamics and combustion. These systems are known to exhibit a variety of non-trivial spatio-temporal behaviors, most notably the phenomenon of propagation and traveling waves. We introduce a variational formulation for the traveling wave solutions in cylindrical geometries with transverse potential flow, which allows us to construct a certain class of traveling wave solutions and establish their monotonicity, asymptotic decay and, under some extra assumptions, uniqueness. These solutions are special in a sense that they are characterized by a non-generic fast exponential decay ahead of the wave and play an important role in propagation phenomena for the initial value problem. We also construct an area-type functional that gives a matching upper and lower bound for the propagation speed in the sharp reaction zone limit for weakly curved fronts.

17: coffee break

17.30: Dorin Bucur (University of Metz, France)
Shape analysis of the crack inverse problem

Abstract
The talk deals with the identifiability of non-smooth defects  by boundary measurements, and the stability of their detection.  We extend the result of Alessandrini and Valenzuela on the unique determination of a finite number of cracks or cavities by two boundary measurements, to arbitrary closed sets satisfying quasi-everywhere a {\it conductivity assumption}. This new regularity concept is to be compared to the Wiener criterion, rather than to the usual smoothness of the boundary. Relying on the geometric stability of the direct problem, we discuss the stability of the inverse problem without imposing any a priori boundary regularity of the unknown defects. As an application, we give a rigorous justification of the finite elements approximation of  the defects.

Giovanni Alberti (Università di Pisa)
Calibrazioni, superifici minime e disuguaglianza isoperimetrica

Sunto
Il metodo di calibrazione è stato usato con successo per dimostrare la minimalità di diversi esempi di superifici a curvatura media nulla (l'esempio più significativo è forse la dimostrazione della minimalità del cono di Simons dovuta a Bombieri, De Giorgi e Giusti).
Di recente F. Helein ha usato un principio analogo per dimostrare la disuguaglianza isoperimetrica nel piano, nella sfera di dimensione due e nel piano iperbolico. Tale metodo non si applica per il momento ad alcun problema ispoerimetrico in dimensione maggiore di due.
In questo seminario cercherò di spiegare il principio (assolutamente elementare) delle calibrazione nell'ambito delle superfici minime, sottolineando il collegamento con i criteri classici di minimalità del calcolo delle variazioni (lagrangiane nulle e campi di estremali). Illustrerò poi l'idea di Helein per la disuguaglianza isoperimetrica nel piano, spiegando perché sarebbe interessante sviluupare tale metodo anche in dimensione superiore a due e quali difficoltà si incontrano nel farlo.

Chloè Jimenez (SNS, Pisa)
Una stima uniforme nel trasporto ottimale

Sunto
Consideriamo due misure di probabilità su un aperto limitato di $R^d$ e supponiamo che la prima misura sia assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue. In questo caso esiste un'unica mappa di trasporto della prima misura nella seconda che sia ottimale per la distanza di Wasserstein di ordine $p>1$. Dimostreremo che la distanza di Wasserstein tra queste due misure (cioè la norma $L^p$ dello spostamento) può essere stimata dal basso dalla norma infinito dello spostamento. Come vedremo, la dimostrazione di questo sorprendente risultato è molto semplice e e richiede pochi strumenti avanzati di teoria del trasporto ottimale.

Giuseppe Buttazzo (Università di Pisa)
Long-term planning versus short-term planning in the asymptotical location problem

Abstract
We present a class of problems that go under the name of location problems where one has to determine the optimal position of a given number of points in a given domain. Due to the numerical complexity of this kind of problems, the asymptotic analysis as the number of points go to infinity is studied. The analogous cases where one has to design an optimal network, called irrigation problems, are also of interest. We show that a short-term local (in time) optimization gives in these cases a result not so far from the long-term global optimization one, being much easier to implement.

Vicent Caselles (Universitat Pompeu Fabra)
Flux limited diffusion equations: the "relativistic" heat equation

Abstract

Andrea Mennucci (SNS, Pisa)
Problemi in teoria della forma

Sunto
La teoria delle forme è centrale in Computer Vision ed anche in altre discipline affini.  Esistono diversi modelli che sono comunemente usati nelle applicazioni ingegneristiche, ma spesso mancano le corrette dimostrazioni che questi modelli rispondano alle caratteristiche richieste. In questo seminario delineeremo una lista di possibili obiettivi per una buona "teoria delle forme"; vedremo alcuni modelli proposti nella letteratura, ed alcuni in fase di studio. Discuteremo inoltre le loro caratteristiche, pregi e difetti, assieme a problemi tuttora aperti.

Luigi de Pascale (Università di Pisa)
Come si derivano le equazioni di Aronsson-Euler

Sunto
In un recente lavoro (che apparirà su Trans. A.M.S.) Crandall, Yu e Wang introducono un nuovo modo di derivare l'equazione di Aronsson-Eulero per un funzionale supremale. Presenterò il loro lavoro da un punto di vista variazionale.

Nages Shanmugalingam (Cincinnati University)
Boundary Harnack principle for p-harmonic functions in smooth Euclidean domains

Abstract
The boundary Harnack principle dictates that every harmonic function vanishing on a segment of the boundary must decay at the same rate. We will discuss the techniques used to prove this principle for smooth Euclidean domains. While now the work of John Lewis and Kaj Nystrom have verified that this principle holds for more general Euclidean Lipschitz domains, their technique is not so readily available in more general metric measure spaces such as polarizable Carnot groups.

Gian Paolo Leonardi (University of Modena)
Regularity of abnormal geodesics in sub-Riemannian geometry

Abstract
The existence of sub-Riemannian geodesics of abnormal type (i.e., singular in the sense of Pontryagin Maximum Principle) has been established by R. Montgomery in 1994. The regularity of such curves is still unknown for general sub-Riemannian manifolds. In this talk, a regularity theorem concerning the elimination of corner-like singularities for length minimizing curves will be presented, as well as some corollaries. This theorem holds for a large class of equiregular sub-Riemannian manifolds and is based on a new iterative construction, aimed to finely control the end-point of an abnormal geodesic via small perturbations.

Carlo Mantegazza (Scuola Normale Superiore)
Quantità monotone per flussi geometrici

Sunto
Presenterò alcune quantità monotone per il flusso di Ricci e il moto per curvatura media (nonché per l'equazione del calore). In particolare discuterò la possibilità di generalizzarle da un'ambito all'altro e di inserirle in un quadro generale, al momento assente e argomento di ricerca attuale.

Gianluca Crippa (Scuola Normale Superiore)
A counterexample, some remarks, and a characterization result in the theory of renormalized solutions

Abstract
Starting from the description of a counterexample constructed by Depauw I will address some questions on the notion of renormalized solution to linear transport equations. Depauw's example will be the building block for a number of constructions revealing various connections between renormalization, strong continuity, forward uniqueness and backward uniqueness. I will also present a characterization result (obtained jointly with Francois Bouchut) which relates all these concepts. If time permits, I will also illustrate the main points of the proof of this result.

Edouard Oudet (Université de Savoie, Chambery)
Volume minimization of three dimensional bodies of constant width

Abstract
A body, namely, a compact connected subset $K$ of $R^n$, is said to be of constant width $\alpha$ if its projection on any straight line is a segment of length $\alpha\in\R_+$. We present a complete analytic parametrization of constant width bodies in dimension three, based on the median surface. More precisely, we define a bijection between some space of functions and constant width bodies. We compute simple geometrical quantities like the volume and the surface area in terms of those functions. As a corollary we give a new algebraic proof of Blaschke's formula. Finally, we present some numerical computations based on the preceding parametrization.

Andrew Lorent (Scuola Normale Superiore, Pisa)
A Marstrand theorem for measures with polytope density

Abstract
We will give a sketch of some methods used to prove some classic theorems in Geometric Measure Theorey related to (and precursors of) Preiss rectifiability theorem. In particular we will focus on Marstrand's Theorem that a measure in Euclidean space whose s-density exists and is positive finite everywhere has to be such that s is and integer and the measure has a weak s tangents almost everywhere. We will state a recent theorem which generalises the first part of Marstrands theorem for a wide class of finite dimensional normed vector spaces.

Emanuele Paolini (Università di Firenze)
Mappe rigide e origami: il problema di Dirichlet per mappe vettoriali con gradiente ortogonale

Sunto
Le mappe rigide sono funzioni lipschitziane il cui gradiente è quasi ovunque una matrice ortogonale. Una particolare categoria di mappe rigide si può ottenere sperimentalmente tramite l'origami, l'arte giapponese di piegare la carta. Verrà mostrato come particolari costruzioni (ottenute appunto mediante origami replicati in maniera frattale) possono portare alla determinazione esplicita di mappe rigide con un dato al bordo fissato.

Eugene Stepanov (St. Petersburg Institute of Fine Mechanics and Optics)
Transportation of measures through branched networks at finite cost

Abstract
The following transportation problem is studied: characterize those couples of finite Borel measures with compact supports in a Euclidean space that can be transported to each other at a finite fractional cost, given by a fractional mass of  real one-dimensional normal currents. Besides the class of irrigable measures (i.e., measures which can be transported to a Dirac measure with the appropriate total mass at a finite cost), two other important classes
of measures related to the problem are studied  which in a certain sense are complementary to each other.

Luigi De Pascale (Università di Pisa)
Foliazioni minimali alla Moser. Prima parte

Sunto
In questo seminario diviso in due parti  si presenta la teoria delle foliazioni minimali introdotta a sviluppata da J. Moser nella seconda metà degli anni 80. Questa teoria ha avuto ed ha tuttora un vasto sviluppo ed è all'origine di un intero filone di problemi variazionali ed articoli più o meno significativi. Uno dei problemi aperti più rilevanti riguarda in particolare la struttura delle correnti minimali (in dim  e codim diverse da 1).
Prima parte. Introduzione del problema, motivazioni ed esempi, formulazione e giustificazione delle questioni più importanti, relazioni con altri problemi (trasporto di massa, teoria di Mather). Preparazione per il teorema di esistenza.
Seconda parte. Teorema di esistenza con due approcci entrambi variazionali. Rapidi flash su una piccolissima parte della letteratura corrente.

Luigi De Pascale (Università di Pisa)
Foliazioni minimali alla Moser. Seconda parte

Francesco Maggi (Università di Firenze)
Una stima di stabilità per il problema isoperimetrico relativo a un perimetro anisotropo

Sunto
Si stabilisce una versione quantitativa ottimale della disuguaglianza isoperimetrica relativa a un perimetro anisotropo. Questo risultato corrisponde a una stima di stabilità per la forma di Wulff associata a una data nozione di tensione superficiale. La dimostrazione si basa sulla teoria del trasporto di massa, in particolare su una rivisitazione "quantitativa" della dimostrazione di Gromov della disuguaglianza isoperimetrica. Un ruolo cruciale è giocato dalla struttura rigida caratteristica della mappa di trasporto di Brenier.

Luigi Ambrosio (Scuola Normale Superiore, Pisa)
Alcuni recenti risultati sul flusso associato a campi poco regolari

Sunto
Descriverò in maniera informale la teoria dei flussi associati a campi debolmente differenziabili, illustrando alcuni problemi aperti. Descriverò anche alcuni recenti sviluppi, ottenuti in collaborazione con A. Figalli, in spazi di dimensione infinita.

Maria Stella Gelli (Università di Pisa)
Un modello variazionale per mezzi porosi in Meccanica delle Fratture

Sunto
In questo seminario presento alcuni recenti risultati ottenuti per la trattazione di modelli energetici nel caso di mezzi porosi che tengano conto delle caratteristiche elasto-fragili intrinseche.
Un mezzo poroso è un materiale in cui sono presenti delle cavità (o difetti) ad una scala molto più piccola rispetto a quella dell'oggetto (microscopica) per cui una descrizione puntuale delle proprietà elasto-fragili risulta troppo complessa e dispendiosa anche in termini di implementazione.
Fisicamente questi materiali vengono trattati con operazioni di medie mesoscopiche (REV). A livello più rigoroso questo problema può essere inquadrato all'interno della teoria dell'omogeneizzazione, inserendo nel problema un parametro strutturale (tendente a 0) e cercando di dare un'opportuna nozione di problema limite, che rappresenti una buona approssimazione di quello fisicamente rilevante.
Dal punto di vista puramente matematico la complessità risiede nell'alta degenericità del problema per cui le normali teorie di omogeneizzazione (coercitività, rappresentazione integrale etc) non possono essere applicate.

Matteo Novaga (Università di Pisa)
Problemi isoperimetrici in domini convessi

Sunto
L'argomento del seminario è il problema isoperimetrico, ristretto ai sottoinsiemi di un insieme prefissato.
Presenterò recenti risultati di unicità nel caso convesso e discuterò alcuni problemi aperti.

Michele Miranda (Università di Ferrara)
Funzioni a variazione limitata in spazi di Wiener astratti; una rilettura di un lavoro di Fukushima

Sunto
In letteratura è comparsa una serie di lavori dovuti a Fukushima e Hino che riguardano prima di tutto una caratterizzazione degli insiemi di Caccioppoli finito dimensionali tramite moto Browniano e analisi stocastica. Questo
approccio è stato generalizzato in seguito dall'autore per definire funzioni a variazione limitata in spazi infinito dimensionali. Nel presente seminario viene presentato un lavoro in corso riguardante una rilettura più analitica delle funzioni a variazioni limitata in spazi di Wiener.

Michele Correggi (Scuola Normale Superiore, Pisa)
Limiti di scala per sistemi quantistici a molti corpi

Sunto
Tratteremo alcuni problemi aperti di fisica matematica riguardo ai limiti di scala per sistemi quantistici a molti corpi. Prendendo in esame due casi esemplari, i limiti di campo medio e Gross-Pitaevskii, ne descriveremo gli effetti sia sugli aspetti stazionari (energia dello stato fondamentale) che dinamici del sistema quantistico. Più precisamente vedremo come tali limiti diano origine a teorie efficaci non lineari (Hartree e Gross-Pitaevskii) e ne discuteremo un'eventuale trattazione con tecniche variazionali.

Gianluca Crippa (Università di Parma)
Optimum and equilibrium in a transport problem with queue penalization effect

Abstract
This is a joint work with Chloè Jimenez and Aldo Pratelli. Consider a distribution of citizens in an urban area in which some services (supermarkets, post offices...) are present. Each citizen, in order to use a service, spends an amount of time which is due both to the travel time to the service and to the queue time waiting in the service. The choice of the service to be used is made by every citizen in order to be served more quickly. Two types of problems can be considered: a global optimization of the total time spent by the citizens of the whole city (we define a global optimum and we study it with techniques from optimal mass transportation) and an individual optimization, in which each citizen chooses the service trying to minimize just his own time expense (we define the concept of equilibrium and we study it with techniques from game theory). In this framework we are also able to exhibit two time-dependent strategies (based on the notions of prudence and memory respectively) which converge to the equilibrium.

Faustino Maestre (Universidad de Castilla-La Mancha)
On dynamical optimal design
Abstract
In this seminar we talk about optimal design problems governed by hyperbolic equations. Optimal design problems are well-known in the static case, when the system is governed by an elliptic equation, in this way the Homogenization Theory, the theory of Gamma-Convergence, give important results from the theoretical and numerical point of view. Moreover, the hyperbolic problems are very much unknown. In this talk we present a new Variational Approach to analyze dynamic problems, where important results are obtained

Roberto Monti (Università di Padova)
Riarrangiamenti per misure perimetro nel piano

Sunto
Mostriamo come costruire riarrangiamenti di tipo Steiner nel piano per misure perimetro pesate. Come applicazione si ottiene la risoluzione del problema isoperimetrico nel gruppo di Heisenberg nel caso di simmetria assiale.

Andrei Agrachev (SISSA, Trieste)
Optimal transportation under nonholonomic constraints

Abstract
We study Monge optimal transportation problem where the cost function is the cost of an optimal control problem and try to understand what are natural regularity conditions which would allow to extend well-known results of Brenier and McCann on the existence, uniqueness and characterization of solutions. It happens that optimal control approach works well for a wide class of Carnot-Caratheodory spaces with the cost given by the square of the distance and thus provides a generalization of the results of L. Ambrosio and S. Rigot on the Heisenberg group. This is a joint work with P. Lee, Toronto.

Carlo Mantegazza ((Scuola Normale Superiore, Pisa)
Connessioni tra il flusso di Ricci e la fisica teorica

Sunto
Discuterò alcune connessioni tra i risultati di Perelman sul flusso di Ricci e alcune idee di fisica teorica, in particolare, legate all'esistenza di dimensioni spaziali extra e alla teoria delle stringhe. Lo scopo, oggetto di ricerca attuale, è cercare di stabilire una relazione tra il flusso di Ricci e il concetto di gruppo di rinormalizzazione.

François Bouchut (Ecole Normale Supérieure)
Transport equations with coefficient having a gradient given by a singular integral, and applications

Abstract
I shall talk about a recent work in collaboration with G. Crippa in which we prove that a linear transport equation with unsmooth coefficient is well-posed, in the sense of existence and uniqueness of a generalized flow, when the coefficient has first-order derivatives given by singular integrals of L^1 functions. This regularity is not comparable to the case of coefficient in BV, and has applications in two-dimensional Euler equations, and arbitrary dimensional Vlasov-Poisson system.

Francesco Bigolin (Università di Trento)
Grafici intrinseci nel gruppo di Heisenberg e soluzioni d'entropia dell'equazione di Burgers

Abstract
Studieremo la normale orizzontale nel gruppo di Heisenberg attraverso equazioni differenziali non lineari. Utilizzeremo risultati noti dalla teoria delle leggi di conservazione per ottenere proprietà geometriche delle ipersuperfici H-regolari.