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Sommario generale
Introduzione
Perché un'ontologia
Ontologia del De expetendis rebus
Struttura dell'ontologia
Esempi
Come usare l'ontologia
Codice sorgente

Giorgio Valla
Valla e il suo tempo
Biografia di Giorgio Valla
Opere di Giorgio Valla
Regesto delle lettere

Il De expetendis rebus
Il De expetendis rebus
Struttura del De expetendis rebus
Fortuna del De expetendis rebus
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R  o  b  e  r  t  a          T  u  c  c  i         

Fortuna del De expetendis rebus

3 aprile 2008


Giorgio Valla fu un autore molto studiato nel corso del XVI secolo, personaggi come Reginal Pole (1500 - 1558) ed Erasmo da Rotterdam (1466 - 1536) possedevano sue opere. Ma certamente fu il De expetendis rebus che gli portò maggior fama all'interno della comunità scientifica del XVI secolo, infatti numerosi furono gli scienziati ed, in particolare, i matematici del Cinquecento che possedettero, lessero e studiarono l'opera enciclopedica di Valla.



Leonardo da Vinci (1452 - 1519)

3 aprile 2008

Probabilmente Leonardo possedeva l'Aristotelis de philosophia naturali interprete Georgio Valla, 1482; l'Aristotelis opera Georgio Valla interprete Venetiis per Gregorium de Gregoris, 1496; il Cleomedis de mundo Georgio Valla interprete Venetiis per Simonem Bevilaquam, 1498 e il De expetendis rebus.

La citazione libro di Giorgio Valla scritta da Leonardo nella lista richordo de libri ch'io lasscio nel cassone (cod. Madrid 8936 cc.2v-3r) si riferisce probabilmente all'enciclopedia valliana.

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Citazione di Leonardo al De expetendis rebus



Nicolò Copernico (1473 - 1543)

3 aprile 2008

Copernico studiò su due opere di Giorgio Valla: Georgio Valla Placentino Interprete, Nicephori logica (venezia 1498) e De expetendis rebus (Venezia 1501).

L'astronomo polacco per il trattato De hypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus (noto come Commentariolus, composto tra il 1507 e il 1515) si basò sulla traduzione del De mundo di Cleomede fatta da Valla e pubblicata nel 1498 all'interno del Georgio Valla Placentino Interprete, Nicephori logica, infatti nella sua opera giovanile Copernico riporta un errore fatto da Cleomede e cioè afferma che il periodo di rivoluzione di Marte è di 29 mesi mentre quando compilò, anni dopo, il De revolutionibus orbium coelestium, scrive, in modo corretto, che Marte compie un giro completo intorno al Sole in 22 mesi e mezzo (è possibile che Copernico vide l'originale greco di Cleomede che fu dato alle stampe solo nel 1539).

Certamente Copernico studiò in modo accurato anche il De expetendis rebus, infatti all'interno del De revolutionibus orbium coelestium vi sono informazioni riconducibili ai libri del De expetendis rebus, ad esempio nel libro I capitolo 3 (Quomodo terra cum aqua unum globum perficiat, c.3r), Copernico attribuisce in modo corretto a Senofane il concetto che la Terra è ex inferna parte in infinitum crassitudine submissa idea che, con buona probabilità, è ripresa da ciò che Valla scrisse nel libro XXI, capitolo 41 (De terrae essentia et quanta sit) del De expetendis rebus: ex inferna parte in infinitum crassitudine radicitus immissam esse

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Citazione di Valla e Copernico a confronto

Nel libro I capitolo 11 (De triplici motu telluris demonstratio, c.11v) del De revolutionibus orbium coelestium Copernico riporta la teoria eliocentrica di Aristarco di Samo annotando etiam nonnulli Aristarchum samium ferunt in eadem fuisse sententia (osserviamo che Copernico cancella dal manoscritto questa parte, così nella prima edizione del De revolutionibus orbium coelestium, questo brano non compare), questo riferimento a qualcuno sostiene che è, probabilmente, da attribuirsi proprio a ciò che scrisse Valla nella sua enciclopedia terram moveri circa solarem circulum libro XXI capitolo 24 (De solis eclipsi).

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Citazione di Valla e Copernico a confronto

Un'ulteriore prova del fatto che Copernico studiò il De expetendis rebus la si trova nel secondo capitolo del terzo libro (Historia observationum comprobantium inaequalem aequinoctiorum conversionumque praecessionem) dove il grande astronomo fa un errore in una misurazione astronomica: Spicam partibus 86 semis dictam vero in fronte Scorpii, ab aequinoctio autumni 36 cum triente longitudinis partes obtinuisse cognovit.

Copernico prende la longitudine di 86 gradi e 30 primi dall'enciclopedia valliana, infatti in una copia del De revolutionibus orbium coelestium in margine alla c.64r Tycho Brahe annota che solo Valla riporta questo valore [86 gradi e 30 primi], dove gli altri hanno 86 gradi e 40 primi.

Sebbene siano meno forti di quelli visti fino ad ora, vi sono altri indizi che fanno risalire gli studi astronomici di Copernico ai libri del De expetendis rebus, ad esmpio nel capitolo 9 del primo libro (An terrae plures possint attribui motus et de centro mundi, c.7v) del De revolutionibus orbium coelestium l'astronomo fa un riferimento all'ottica: si modo rem ipsam ambobus (ut aiunt) oculis inspiciamus. Nel De expetendis rebus è possibile individuare una corrispondenza nel libro XV capitolo 3 (De optice): Sphaera ambobus spectata oculis si diametros sphaerae aequalis fuerit rectae lineae distanti ab oculis hemisphaerium ipsius spectabitur.

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Citazione di Valla e Copernico a confronto

Parlando delle distanze planetarie, dell'orbita del Sole e della Luna nel capitolo 10 del libro primo (De ordine caelestium orbium) si rintracciano alcune corrispondenze con ciò che c'è scritto nel De expetendis rebus capitolo 23 del libro XVIII (De eo ut cognoscatur an recte, integreque sit fabrefactus astrolabus, necne).

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Citazione di Valla e Copernico a confronto



Giuseppe Ceredi

3 aprile 2008

L'ingegner Giuseppe Ceredi di Piacenza pubblicò a Parma nel 1567 un libro dal titolo Tre Discorsi sopra il Modo d'Alzar Acque dà Luoghi Bassi. In tale libro il Ceredi cita Giorgio Valla ed in particolare la geometria contenuta nella sua enciclopedia.

Con licenza de' Superiori. TAVOLA DEL PRIMO DISCORSO. [...] Il Valla Piacentino ne' suoi libri di Geometria havendo trasportato molte cose da Pappo, figura diecinove istromenti perfar andar l'acqua sempre alla livella.

Nel primo discorso dopo aver sottolineato il fatto che, essendo l'acqua un corpo grave essa si muove naturalmente solo dall'alto verso il basso, Ceredi ricorda diversi modi per forzare il movimento naturale dell'acqua e tra gli espedienti cita un brano del De expetendis rebus di Valla.

[...] Il secondo modo il quale segue il metodo dell'aere è molto ben dichiarato dal Valla nostro Piacentino nel sesto libro della sua Geome- tria: havendo egli in ciò trasportato molte cose da Pappo, et figurando da questa istessa ragione diecenove bellissimi, et tutti diversi instro- menti per mover l'acque; con artificio veramente molto dilettevole, ma che non rende altro guadagno, se non che facendo sparagno della naturale decaduta, alza solamente alla livella; di maniera, che non sa- rebbero utili se non per schifar di forare quelli impedimenti, che sono traposti fra termine, e termine. (Primo discorso pag.11)

Le parti alle quali si riferisce il Ceredi corrispondono al capitoli 1 del Libro XV del De expetendis rebus, ovvero il primo capitolo del libro VI della Geometria, il De spiritalibus.

Osserviamo che l'ingegnere commette un errore quando afferma che lo scritto valliano è ripreso dalla Collezione Matematica di Pappo d'Alessandria. In realtà il capitolo De spiritalibus del De expetendis rebus, al quale fa riferimento Ceredi nel suo libro, non è altro che la traduzione latina dell'opera di pneumatica di Erone.

Ceredi, in un altro passo dei suoi Discorsi, cita Giorgio Valla e precisamente afferma di aver acquistato tre codici che furono di Valla. Riportiamo il brano del Ceredi:

[...] Avenga che quasi a sorte mi fur venduti da chi lor non conosceva, certi scritti di Herone, di Pappo, et di Dionisidoro tolti dalla libraria, che fu gia del dottissimo Giorgio Valla nostro Piacentino, il quale per gli meriti suoi inalzato dalla liberalità dell'Illustrissimo Signor Giovan Giacomo Trivulzi, che allhora governava lo stato di Milano. Primo discorso pag.6)

È difficile credere che quanto scrive il Ceredi in questo brano siano cose corrispondenti al vero per più motivi. Un primo motivo è che in letteratura o in alcun testimone è mai stato fatto riferimento ad un possibile codice posseduto da Valla contenenti le opere di Dionisodoro, nè Valla ha mai tradotto direttamente da opere di Dionisodoro; un secondo motivo è che se effettivamente Ceredi avesse comprato e letto le opere di Erone e Pappo non avrebbe scritto, solo poche pagine dopo tale affermazione, che Valla aveva tradotto da Pappo ma si sarebbe reso conto che le macchine descritte nel capitolo 1 del XV libro del De expetendis rebus sono la traduzione latina della pneumatica di Erone.

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Frontespizio dei Tre Discorsi sopra il Modo d'Alzar Acque dà Luoghi Bassi di Giuseppe Ceredi



Giuseppe Zarlino (1517 - 1590)

3 aprile 2008

Zarlino fu il primo autore, dopo oltre dieci secoli, che si servì in campo musicale di uno strumento, il "compasso di proporzione" o "mesolabio" - che già Vitruvio ed Eutocio di Ascalonia ne attribuivano l'invenzione ad Eratostene di Cirene (III sec. a. C.). Nelle Istituzioni armoniche, divise in quattro parti, nelle quali, oltre le materie appartenenti al la musica, si trovano dichiarati molti luoghi de' poeti, istorici et filosofi, Venezia, (1558), Zarlino ne illustra la forma e l'utilizzo, cioè quello di "divider le consonanze, in due, ovvero in quante parti si voglia, che siano uguali" (pp.94-96). L'unica fonte citata da Zarlino è il IV libro della Geometria dell'enciclopedia di Valla (De expetendis rebus Libro XIII, capitolo 2; osserviamo che Vitruvio nel Libro IX del De architectura non fornisce nessun elemento teorico sul mesolabio).

Nel capitolo 25 della Seconda parte delle Istituzioni Armoniche intitolato Un'altro modo di divider qual si voglia Consonanza, ovvero Interval lo musicale in due, overo in più parti equali, Zarlino espone la teoria geometrica alla base del mesolabio e in quest'occasione cita il De expetendis rebus:

L'altro modo di divider le consonanze, in due, overo in quante parti si voglia, che siano equali, è non solamente bello: ma anco più utile del primo, per essere più universale; et fu ritrovato da Eratosthene, quando ritrovò il raddoppiamento del Cubo, nel tempo che i Dalij (come narra Giovanni Grammatico) erano molestati dalla pestilenza; La quale inventione, et molte altre insieme pose Georgio Valla Piacentino nel Quarto libro della Geometria, [Fol. 87] la Geometria, insegnando di ritrovar due mezane linee proportionali tra due proposte. È ben vero, che senza l'aiuto di uno istrumento, nominato da alcuni Mesolabio, sarebbe vana et inutile ogni fatica; [...] (parte II capitolo 25, pp.94-95)

Valla nel IV Libro della Geometria (De expetendis rebus, Libro XIII), Capitolo 2, presenta una serie di soluzioni al problema di determinare la linea media proporzionale tra due linee date, e una di tali soluzioni è svolta con l'ausilio del mesolabio ed è proprio a questa soluzione che Zarlino si ispira nelle sue Istituzioni.

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Frontespizio delle Istituzioni armoniche, divise in quattro parti, nelle quali, oltre le materie appartenenti al la musica, si trovano dichiarati molti luoghi de' poeti, istorici et filosofi di Giuseppe Zarlino



Orazio Tigrini (1535 - 1591)

3 aprile 2008

Orazio Tigrini, compositore italiano, nel suo trattato in quattro libri Il Compendio del la musica nel quale brevemente si tratta del l'arte del contrappunto, pubblicato nel 1588, cita espressamente Valla e i suoi libri di musica contenuti nel De expetendis rebus:

Boet. li. I. c. 3. Franch. prat. li. 3. c. 2. et i Theo. li. 1. c. 2. et c. 10. Giorgio Valla lib. 2 cap. 2. della sua Musica. Greg. Rhau enchiridion lib. 1. cap. 6. Stefano vaneo lib. 1. c. 25. M. Gios. Zarl. Istit. har. li. 2. c. 11. et c. 29. Gregor. Rhau. enchiridio. lib. 1. cap. 6.60 Essendo la consonanza, come dice Boetio, una mistura di suono grave et acuto, che soave, et uniformemente perviene alle nostre orecchie; conseguentemente da una istessa, et sola voce, è suono non si può produrre consonanza alcuna; et se bene dai Musici egli è messo tra le consonanze, niente dimeno non è propriamente consonanza; ma si come appresso gli Arimmetici l'unità non è numero, ma origine di numeri; et appresso i Geometri il Punto non è linea, ma principio della linea; così anco appresso; Musici l'unisono si dice non essere Consonanza, ma l'origine delle consonanze; et perciò è deto unisono, che altro non vuol dire, se non un solo suono; come per il presente sottoscritto essempio si dimostra. (libro I, capitolo X, Dell'unisono)

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Frontespizio de Il Compendio del la musica nel quale brevemente si tratta del l'arte del contrappunto di Orazio Tigrini



Heinrich Loris Glareanus (1488 - 1563)

3 aprile 2008

Nel Dodekachordon (1547), l'opera più importante di teoria della musica che Glareanus scrisse, si trovano numerosi riferimenti a Giorgio Valla e alla sua enciclopedia.

Nel libro I (Proemium) Glareanus afferma che Valla aveva letto e raccolto tutto ciò che gli autori antichi di musica avevano scritto:

Georgius Valla satis habuit omnium recensere opinionem, et coacerva- re quicquid uspiam de Musicis scriptum legerat. Ita ipse etiam plureis duodecim habet. Constat igitur non esse novam rem hanc nostram de XI I Modis assertionem, sed probam antiquitatis instaurationem. [...] Authorum, qui in hoc opere citantur Nomenclatura.

Tra gli autori latini Glareanus inserisce anche il nome di "Georgius Valla".

Leggendo l'indice del Dodekachordon si vede come la Musica di Valla abbia un ruolo non marginale all'interno dell'opera di Glareanus:

Index [...]
Canon Georgii Vallae. 48
Georgius Valla repraehensus. 77
Georgius Valla qualis Glareani iudicio. 86
Magas Canon dicitur Georgio Vallae. 48

Nel brano che riportiamo qui di seguito, Glareanus cita il capitolo del De expetendis rebus di Valla in cui viene descritto il canonio:

Magas igitur, ut Suidas, vel Magadis, ut alii vocant, canon etiam a Georgio Valla dictus instrumentum musicum variis modis fieri potest. Georgius ipse tabellam ponit quam chordotonon nominari ait, quod super ipsa chordae explicentur intendanturque. (Quid Magas, monochordum, Magadis, similesque quorundam musicorum instrumentorum apellationes, Caput XVII. Folio 48)

In questo capitolo Glareanus parla della suddivisione dei modi e dei loro nomi (agli otto modi gregoriani, ciascuno costituito da una scala diatonica di otto suoni, distinti in autentici e plagali, dorico, ipodorico, frigio, ipofrigio, lidio, ipolidio, misolidio, ipomisolidio Glareanus ne aggiunge altri quattro: eolio, ipoeolio, ionico, ipoionico). Il teorico della musica cita lo scritto valliano a proposito del fatto che Valla riporta i nomi con i quali Aristosseno chiama cinque modi.

Nam ipse priore specie, quem nos duodecimum appellamus Modum, eandem habet inferne diatessaron, quam habet superne Lydius in secunda specie, videlicet, ut fa, Georgius Valla assignat rationem, quia a Lydio separetur semitoniaeo spacio, quod nos non sequimur. Reliqui quinque Modi apud Aristoxenum, ut idem Valla refert, ita nominantur. Hypoiastius, Hypoaeolius, Iastius, Aeolius, Hyperiastius. Ego Aeolium puto nostrum nonum sive Hypodorium secundum, authoritate motus Heraclidae Pontici, quem citat Athenaeus libro 14. ubi de Hypodorio locutus continuo haec subnectit verba: [aute gar esti phesin ho Herakleides hen ekaloun aiolida]. Hypoaeolium autem nostrum decimum sive priorem Phrygium, qui re la diapente primam speciem, communem cum Aeolio habet. Deinde secundam diatessaron speciem mila, ille quidem supra diapente, hic infra habet. Iastium autem (quem Porphyrio in Horatium, et Lucianus in Harmonide Ionicum nominant) nos undecimum, sive Quintum novum, sive Hypolydium secundum putamus. Hypolydium autem duodecimum nostrum sive sextum novum, habent enim diapente quartam speciem ut sol communem, Diatessaron vero ut fa tertiam speciem, ille superne, hic vero inferne, pulchra me hercle in his quatuor connexione, ut priorum octo in binis. Dorij cum Hypodorio, [78] Phrygij cum Hypophrygio, Lyddij cum Hypolydio, Denique mixolydij cum Hyperiastio, Et ut in his octo divisio Arithmeticos Harmonicosque, ita hic Aeolius ac Iastius harmonicos, Hypoaeolius ac Hypoiastius Arithmeticos divisi. (De Modorum ordine, eorumque appel latione, Caput VII. Folio 77-78)

Più avanti nel Dodekachordon Glareanus afferma di aver letto il De expetendis rebus e, sebbene riconosca a Valla un'elevata cultura umanistica non lo ritiene tuttavia dotato di particolare ingegno, infatti, spiega Glareanus, molte delle cose che sono scritte nella sua enciclopedia sono tratte dagli scritti di Boezio e non sono, invece, frutto di personali studi o rielaborazioni dell'umanista piacentino. In realtà Valla riprende la musica di Manuel Briennio e non quella di Boezio.

Glareanus conclude la breve dissertazione su Giorgio Valla dando un giudizio molto negativo sulla forma del De expetendis rebus, egli afferma, infatti, che l'opera enciclopedica è una coacervatio, un'unione senza molta logicità, di tanti materiali differenti, inoltre l'umanista elvetico cerca di dare una giustificazione allo stato "confusionario" dell'opera, attribuendone la colpa al fatto che essa potrebbe non aver avuto un'adeguata revisione prima di essere mandata alle stampe.

Multa alia sunt apud eundem loca, quae brevitatis gratia a nobis omittuntur. Haec autem obiter adduximus, ne quis mihi, eius authoritatem viri obiiciat, quem ego absque controversia in hac arte principem facio. Nam Macrobium, Acronem, Georgium Vallam, et similes nihil moror. Quanquam Georgius Valla magnifica praestitisse in portentoso illo de rebus fugiendis ac expetendis volumine videri potest, homo haud dubie doctus, sed non satis ingenuus, meo quidem iudicio. Cum enim maiorem huius disciplinae partem ex Boethio haberet, ne semel quidem, quod sane miror, dignatus est hunc nominare. Interim Anshelmos Bryennios, et nescio quos alios obscuros viros frequenter in ore habens. Sed scilicet tum docti videmur, quoties authores allegamus, quos vel ipsi nunquam legimus, vel quos alii non legerunt. Nam de antiquis nihil dicam, quos coacervatim ita allegat perinde atque ipse legerit, cum ante multa saecula illorum lucubrationes perierint. Audio tamen illi eximiam fuisse bibliothecam, quam ipse moriens ei legaverit, qui hoc opus excuderet. Aldus excussit, de bibliotheca nihil certi audimus. Ipse codex corruptissimus est, ut cum iudicio legenti facile patebit. Cuius vero culpa, id vero nescio. Hoc in universum de eo dictum mihi sit, coacervationem videri multarum rerum, quas non intellexerit, commixtionemque saepe contrariorum, quae haud dubie emendaturus, si licuisset, erat. (De chordarum gravitate et acumine, ac secundum ea appel latione, Caput VIII. Folio 86)

Glareanus il giudizio negativo sul De expetendis rebus che ha dato nel pre- cedente brano, solo due pagine dopo riconoscendo a Giorgio Valla il merito di essere stato, per mezzo del suo De expetendis rebus, un tramite per la conoscenza degli scritti di Aristosseno e Tolomeo:

Aristoxenum, a Ptolemaeo ac Boethio redargutum, nos non legimus. Et Politianus hoc in negotio rerum non intellectarum coacervator a quibusdam merito nominatur. Legerat enim haec apud Graecos, sed non intellexit. Georgius etiam Valla tam varia variis in locis nobis prodidit, nunc Aristoxenium, nunc Ptolemaicum semitonium usurpans, ut saepe ipse sibi parum constare videatur. Nobis hic nihil excidet, cuius non exemplum viva voce, et certa comprehensum ratione dare, ac oculis auribusque subiicere poterimus, si opus fuerit. (Quo pacto sumendi sint Modi et quae prima omnium Modorum chorda, Caput IX. Folio 88)

Ma l'enciclopedia valliana non ha reso accessibili ad un vasto pubblico di lettori solo le teorie musicali degli antichi greci, ma anche quelle dei latini infatti, come ricorda Glareanus nel brano che segue, nel capitolo 1 del secondo libro della Musica del De expetendis rebus, Valla riporta ciò che Plinio dice in riferimento ai toni:

Caeterum intervalla orbium coelestium in ipso coelo, ea ne ratione constent, qua in diapason phthongi, mihi non fit verisimile, quocunque tandem modulandi genere constituerimus. Plinius autem libro 2. Capitulo 22. Pythagoricam tradens praeceptionem, sic ait: Sed Pythagoras interdum ex musica ratione appellat tonum, quantum absit a Terra Luna. Ab ea ad Mercurium, spacii eius dimidium, et ab eo ad Venerem, fere tantundem. A qua ad Solem sesquiplum. A Sole ad Martem tonum, id est, quantum ad Lunam a terra. Ab eo ad Iovem dimidium, et ab eo ad Saturnum dimidium, et inde sesquiplum ad Signiferum: Ita sex tonos effici, quam diapason harmoniam vocant, hoc est, universitatem concentus. Haec Plinius. Quae verba non omnes aeque intelligunt. Georgius Valla libro 1 capite 2 Musices, illud sesquiplum apud Plinium refert non ad tonum, sed ad dimidium toni, ut toni, inquit, sint quartae partes tres, quod ego dodrantem toni intelligo. Qua tamen ratione non sex toni fierent, sed quinque et semis. Alii sesquiplum ad tonum referentes, colligunt ex Plinij verbis septem tonos in diapason consonantia, quod nec rationem habet, nec quisque Musicorum uspiam tradidit, et veteres Plinij codices omnes sex habent, non septem. (De tono in coelo duae opiniones, atque inibi Ciceronis Plinijque loci excusi, Caput XIII. Folio 97)

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Frontespizio del Dodekachordon di Glareanus



Johann Werner (1468 - 1522)

3 aprile 2008

Johann Werner fu particolarmente stimolato dal problema di trovare due grandezze tra loro proporzionali date due linee, tanto è vero che nel suo libro Libel lus Ioannis Verneri Nurembergen, super vigintiduobus elementis conicis. Eiusdem commentarius seu paraphrastica enarratio in undecim modos conficiendi eius problematis quod cubi duplicatio dicitur. Eiusdem commentatio in Dionysidori problema, quo data sphaera plano sub data secatur ratione, alius modus idem problema conficiendi ab eodem Ioanne Vernero novissime comperus demonstratusque. Eiusdem Ioannis, de motu octavae sphaerae, tractatus duo. Eiusdem summaria enarratio theoricae motus octavae sphaerae; stampato a Norimberga nel 1522, riprende, studia e parafrasa la traduzione di Valla del problema delle grandezze proporzionali trattato da Giovanni Filopono nel Commento agli Analitici Posteriori, e inserita nel De expetendis rebus, osserviamo che Werner sbaglia attribuendo a Valla l'appellativo di vicentino invece di piacentino:

Tradituro mihi commentariolum aut si maius paraphrasim in modos duplicandi cubum, qui Georgio Valla Vicentino interpraete ad latinos huius aetatis geometras ex Graecia migrarunt, non ab re visum est imprimis praemittere Eratosthenis quam scripsit super hac re Ptolomaeo regi epistolam, quoniam in ipsa explicatur qua ratione hoc problema, quod duplicatio cubi dicitur, originem habuerint, quive graecorum geometrarum primi fuerint idem explicantes absolventesque problema, quanque huius problematis scientia mortalium generi civiliter ac communiter viventi in pacebelloque ad conservandam hominum amicitiam atque vicariam benevolentiam et iusticiam quae cuique reddit quod suum est, non tantum utilis verum etiam necessaria ostenditur.

Werner diede un importante contributo allo studio delle sezioni coniche. I suoi risultati in questo campo della matematica sono raccolti nel Libellus super vigintiduobus elementis conicis che fu pubblicato come prima parte dell'edizione del 1522.

Il trattato di Werner sulle coniche non mostra una dipendenza diretta dalle Coniche apolloniane ma è un lavoro che dipende pesantemente dalle tradizioni medievali delle sezioni coniche e dai vari brani sulle coniche tradotti da Valla nel De expetendis rebus, sebbene Werner sviluppi queste fonti in modo del tutto nuovo e non si limita a riferire i semplici contenuti di tali fonti. Tuttavia, il fatto che Werner non fece un uso diretto delle Coniche di Apollonio è particolarmente strano poichè certamente Werner conosceva il greco, inoltre avrebbe forse avuto l'opportunità di consultare il manoscritto greco, che era stato posseduto da Regiomontano, delle Coniche apolloniane il quale all'epoca in cui scriveva Werner si trovava proprio a Norimberga, ed inoltre Werner era amico di Bernhard Walther, che pare avesse eseguito una traduzione latina delle Coniche che si trovava a Norimberga anch'essa.

Werner, in particolare, studiò e rielaborò due brani riguardanti le coniche inseriti da Valla nel capitolo 2 del libro XIII della sua enciclopedia:

Ut Menaechmus. Sint datae duae rectae lineae a,e. [...] Ait autem Eutocius ascalonites parabolen ab inventore Milesio Isidoro mechanico nominatam. (De expetendis rebus, Libro XIII, Capitolo 2)

e

Ut Dionysodorus. Datam sphaeram plano secare, ut segmenta ipsius ad se invicem rationem habeant datam. [...] idest preceptum secundi libri Apollonii conicorum elementorum. (De expetendis rebus, Libro XIII, Capitolo 2)

Osserviamo che nel primo brano Valla scrive che la parabola fu inventata da Isidoro di Mileto, mentre il secondo brano è tratto dal Commento di Eutocio a La sfera e il cilindro di Archimede, in cui viene discusso il problema di tagliare una sfera in un dato rapporto e viene fornita la soluzione al problema attribuita a Dionisodoro.

Riguardo al titolo scelto da Werner non vi sono dubbi sul fatto che gli fu suggerito dagli scarsi riferimenti all'opera di Apollonio contenuti nei brani di Valla e nei trattati medievali; anche per quanto riguarda la terminologia usata da Werner è ripresa dalla traduzione latina di Valla.

Molte sembrano essere le analogie tra i brani sulle coniche contenuti nel De expetendis rebus e il lavoro di Werner, ad esempio così come Valla non traduce la soluzione del problema di dividere una sfera in un rapporto dato usando l'ellisse, anche Werner salta tale soluzione. E anche la prima definizione del cono data da Werner è la definizione euclidea che si trova nei trattati medievali. La definizione alternativa è quella apolloniana di cono a due falde e questa definizione è ripresa direttamente da Valla. Il primo postulato di Werner è essenzialmente la proposizione I.1 delle Coniche e studiando le concordanze sembra essere proprio la versione data da Valla. Il terzo postulato, che corrisponde alla proposizione I.3 delle Coniche, sembra avere come fonte primaria sempre la traduzione latina valliana. Vi è una lunga serie di esempi di concordanze tra i due testi che porta alla conclusione che il trattato Libel lus super vigintiduobus elementis conicis di Werner ha essenzialmente tre fonti: il De expetendis rebus di Valla; lo Speculi almukefi compositio nella versione di Regiomontano; il De duabus lineis tradotto dall'arabo da Giovanni da Palermo.



Accenni alla traduzione di Valla del problema delle medie proporzionali e delle coniche nel XVI secolo

4 aprile 2008

La traduzione fatta da Valla dei brani di Eutocio e di Filopono che trattano il problema di trovare due medie proporzionali, influenzarono molto i matematici della prima metà del XVI secolo.

Omnisanctus Vasarius, coeditore con Jacque Le Fèvre d'Etaples dei lavori di Nicola Cusano pubblicati a Parigi nel 1514, lesse il De expetendis rebus e nel De geometricis transmutationibus, dove Cusano tratta il problema delle medie proporzionali e da la cosiddetta soluzione platonica, senza tuttavia citare Platone, Omnisanctus scrive:

Et hic modus cum modo Platonis a Georgio Valla recitato coincidat (Ed. Paris 1514, vol.2, c.43r)

Lo stesso anno della pubblicazione della traduzione di Cremonensis (1544), Oronce Finè tratta in modo errato il problema delle grandezze proporzionali basandosi sulla soluzione platonica e cita espressamente Giorgio Valla:

Problema primum. Datis duorum quadratorum lateribus, quorum alterum circa, alterum vero intra oblatum describitur circulum: binas medias lineas rectas, sub eadem ratione continue proportionales invenire. Ad construendam confirmandamque circuli quadraturam, a nobis tandem (utinam faeliciter) excogitatam: necessum est in primis oblatis duorum quadratorum lateribus, quorum alterum dato sit inscriptum circulo, alterum vero circunscriptum, binas medias lineas rectas, in eadem ratione continue proportionales reddere notas. Qua ratione autem mathematica, id problema dissolvatur: ex nemine valuimus integre deprehendere. Quanvis enim plaerique philosophi ac Mathematici (Graeci potissimum) ut illud explicarent problema, quod cubi duplicatio dicitur, diversis et subtilibus admodum investigationibus (quas omnes Georgius Valla Placentinus, capite secundo libri quarti suae Geometriae citat, et summatim interpretatur) ostendere conati sint, qualiter inter duas quasvis inaequales lineas rectas, duae mediae lineae rectae sub eadem ratione continue proportionales obtineantur. (Oronce Finè, Quadratura circuli, tandem inventa et clarissime demonstrata, Paris 1544; p.3)

Finè ricevette numerose critiche per i suoi lavori, tuttavia non fu da esse dissuaso dal suo intento, infatti lo stesso metodo lo ripropose in un'altra sua opera, uscita postuma a Parigi nel 1556, il De rebus matematicis hactenus desideratis libri IIII in cui è nuovamente citato Valla:

1 r Qua ratione mathematica hoc dignissimum ac utile problema dissolvatur, nemo hactenus sufficienter tradidisse videtur: tametsi Graecorum quamplurimi, non aspernandi philosophi atque mathematici, ut illud explicarent problema, quod cubi duplicatio dicitur, variis ac subtilibus admodum inventis, easdem lineas proportionales tentarint exprimere. Quemadmodum ex Eutocio Ascalonita Archimedis interprete, et Georgio Valla Placentino, qui singulorum exposuerunt adinventiones, colligere haud difficile est.

Tra i matematici che criticarono la soluzione proposta da Finè vi fu anche Tartaglia, che nel suo General trattato parte IV, pubblicato a Venezia nel 1560, discute riguardo a ciò che ha scritto Finè e cita anche l'opera di Valla:

20 r Et così non solamente fu trovato da essequir tal problema da detti nostri antichi in circa 12 varii modi, come si trova registrato in Giorgio Valla, et in Archimede, ma anchora da molti altri moderni [...]

Non fu solo il problema delle grandezze proporzionali riportato nel De expetendis rebus a fornire numerosi spunti per riflessioni e critiche tra i matematici del Cinquecento, ma anche i brani che trattano di coniche furono studiati e rielaborati da diversi matematici operanti nel XVI secolo, come, ad esempio, il matematico francese Jacques Peletier in un suo lavoro pubblicato a Basilea nel 1563 dal titolo Commentarii tres: I. De dimensione circuli. II. De contactu linearum; et de duabus lineis in eodem plano neque paral lelis, neque concurrentibus. III. De constitutione horoscopi, a pagina 43 cita il lavoro di Giorgio Valla:

Placet huic loco subiicere quod proponit ibidem Cardanus ex Apollonio et Rabi Mose, de duabus Lineis in eodem Plano existentibus, quae protractae ad angulum tendere videntur: altera ad alteram semper accedente. Et tamen magno (ut ipse Moses putat) miraculo, nunquam concurrunt, etiam si in infinitum protrahantur. Quod etiam obiter annotaverat Georgius Valla ex Gemino, libro primo suae Geometriae, cap.LIX.

Anche Francesco Barozzi cita l'opera di Valla nel suo lavoro sul problema degli asintoti ad una conica pubblicato a Venezia nel 1586 col titolo Admirandum il lud geometricum problema tredicim modis demonstratum: Quod docet duas lineas in eodem plano designare, quae nunquam invicem coin- cidant, etiam si in infinitum protrahantur: et quanto longius producuntur, tanto sibi invicem propriores evadunt:

p.3 Autores de lineis nunquam coincidentibus, et semper sibi magis appropinquantibus in eodem plano in infinitum protractis. Qui rei mentionem tantum fecerunt: Proclus in suis Commentariis in primum librum Elementorum Euclidis multis in locis. Geminus in libro sexto suarum Geometricarum Enarrationum. Georgius Valla Placentinus in libro primo suae Geometriae cap.LIX.



Pedro Nunez Salaciense (1502 - 1578)

4 aprile 2008

Tra i libri che contribuirono a formare culturalmente Nunez vi è anche il De expetendis rebus, infatti alla Biblioteca Nazionale di Lisbona è conservata la copia dell'enciclopedia di Giorgio Valla che fu del matematico portoghese. Tale copia del De expetendis rebus si presenta piena di postille e riflessioni apposte da Nunez a margine dei brani poco chiari o di particolare interesse.

Il De expetendis rebus fornì al matematico portoghese numerose informazioni di carattere matematico, in particolare tra le pagine dell'enciclopedia valliana dedicate alla geometria, Nunez ebbe l'opportunità di leggere i commenti e le soluzioni con riga e compasso dei tre problemi classici - trisezione dell'angolo, duplicazione del cubo e quadratura del cerchio - ai quali si appassionò.

Nel Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria, Nunez fa esplicito riferimento ad un brano contenuto nella Geometria del De expetendis rebus. Nel Capitolo 2, intitolato Division de la Proporcion, il matematico portoghese commenta un brano del Libro III della Geometria e scrive:

Y lo q hasta aquy avemos dicho bastara para intelligencia de la diffinicion de proporcion, la qual es general, y conforme a la de Euclides en el lib.5 para division de la proporcio en sus generos y especies. Pero no nos engane Georgio Valla Placentino, el qual declarado la diffinicio de Euclides, dize en el principio del 3 libro de su Geometria, q las quatidades de q aquella diffinicion habla, son las q entre si y en la potencia son comensurables, porq si fueren incomensurables, no ternan la proporcion por Euclides diffinnida, salvo si los sus quadrados fueren commensurables, como son el diametro y el lado del quadrado, porq en tal caso dize, q por causa de los quadrados ternan proporcion.

Il passo del De expetendis rebus di cui parla Nunez sembra essere il seguente:

Quoniam nonnulae quinti Elementorum Euclidis diffinitiones paulo minus obviae videri legentibus possunt, nequidem a Campano recte expositae hic succurrendum difficultatibus paucis existimamus. Cum inquit igitur ratio est duarum magnitudinum eiusdem generis quantitate ad se invicem certa habitudo. Hoc dicit cum fuerint magnitudines, et longitudine, et potentia commensurabiles, id namque est duarum magnitudinum ratio. At cum, longitudine non fuerint commensurabiles, sed dumtaxat potentia, ut diametros lateri, tum rationem ad se invicem ex composito habent. (De expetendis rebus, Libro XII, Capitolo 1 (In quintum Euclidis expositiones))

Nunez si inserì anche nel dibattito riguardo il problema delle medie proporzionali. Nel suo lavoro intitolato De erratis Orontii Finaei pubblicato a Coimbra nel 1546, Nunez critica, correttamente, la soluzione proposta da Finè e afferma di aver letto sia la traduzione di Valla che la parafrasi di Werner:

p.9: Hunc Platonis modum et reliquorum quoque philosophorum Eutocius Ascalonita tradidit super secundo libro de sphaera et cylindro Archimedis, et Georgius Valla in opere illo magno expetendorum ac fugiendorum. Novissime autem vir eruditus Ioannes Vernerus Norumbergensis eos omnes modos multo lucidius enarravit.



Jean Borrel, latinizzato in Johannes Buteo (1492 - morto tra il 1564 e il 1572)

4 aprile 2008

La sua Opera Geometrica pubblicata a Lione nel 1554, contiene 15 capitoli su differenti argomenti matematici. I primi 9 capitoli trattano problemi di meccanica, aritmetica e geometria, tra questi il capitolo Ad problema cubi duplicandi è il più originale. In questo capitolo Borrel mostra che Michael Stifel (1494 - 1555) era in errore affermando di aver trovato una soluzione esatta per la duplicazione del cubo e presenta la sua soluzione approssimata per questo problema classico.

Nel capitolo Io Buteonis confutatio quadraturae circuli ab Orontio Finaeo facta Buteo discute della quadratura del cerchio e lo fa sotto forma di dialogo tra lui e Finè. Il capitolo si estende da pagina 42 a pagina 50 e a pagina 44 si trova una citazione esplicita di Giorgio Valla e della geometria del De expetendis rebus:

ORONT. Ad construendam confirmandamque circuli quadraturam, à nobis tandem, et (ni me fallit animus) foeliciter excogitatam, ne cessum est imprimis, oblatis duorum quadratorum lateribus, quorum alterum dato fuerit circunscriptum circulo, reliquum vero in eodem circulo descriptum, binas medias lineas rectas in eadem ratione continue proportionales reddere notas. Qua ratione autem mathematica id problema dissolvatur, ex nemine valuimus plane deprehendere, quamvis plerique; Graeci philosophi, ac mathematicic, ut illud explicarent problema, quod cubi duplicatio dicitur, diversis, et subtilibus admodum investigationibus (quas omnes Georgius Valla Placentinus capite secundo libro quarti suae geometriae citat, et summatim interpretatur) ostendere conati sunt, qualiter inter duas quasuis inaequales lineas rectas, duae mediae lineae rectae, sub eadem ratione continueproportionales obtineantur. Nullam tamen illorum offendimus inventionem, quae alicuius instrumenti mechanici non uteretur adminiculo, et proinde quae aperta suspicione, vel inexplicabili difficultate careat. Ne igitur infirmis ad niteremur fundamentis, et mathematicam, simul, atque suscepti negotii violaremus integritatem: nouun ac fidissimum modum investigandi eiuscemodi lineas proportionales tibi demum excogitavimus. Sed huic nostro tetragonismo specialiter inservientem.

Dunque anche Borrel è tra quei matematici che criticarono le opere di Finè, riferendosi alla soluzione errata che Finè, nonostante fosse stato suo allievo, dà del problema della quadratura del cerchio.

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Frontespizio dell'Opera Geometrica di Jean Borrel

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