A partire dal terzo anno della Laurea Triennale e soprattutto durante la Laurea Magistrale, una parte importante del percorso consiste nella scelta degli insegnamenti non obbligatori.<\/p>\n\n\n\n
Questa pagina non vuole replicare informazioni che trovano gi\u00e0 una sede pi\u00f9 adatta altrove: la programmazione didattica<\/strong><\/a> dice quali insegnamenti sono attivati nei diversi anni accademici, Programmi e syllabus<\/strong> [in costruzione] raccoglie in forma sinottica le informazioni ufficiali del Course Catalogue<\/a>, mentre le pagine dedicate al piano di studi<\/strong> spiegano regole e modalit\u00e0 con cui costruire il proprio percorso.<\/p>\n\n\n\n Qui il punto di vista \u00e8 diverso: vogliamo aiutare a capire come gli insegnamenti possono combinarsi fra loro<\/strong>, quali direzioni di approfondimento aprono e quali possibili percorsi<\/strong> si possono costruire, senza pretendere che esista un unico percorso giusto.<\/p>\n\n\n\n Per questo il Corso di Studio affianca una presentazione in presenza degli insegnamenti<\/strong> a una presentazione web permanente<\/strong>, organizzata per aree disciplinari.<\/p>\n\n\n\n La presentazione si svolger\u00e0 nell’Aula Magna del Dipartimento<\/strong> in due giornate, articolate in quattro sessioni. A seguire ogni sessione ci sar\u00e0 un rinfresco e tempo per incontrare informalmente i docenti e approfondire domande sui singoli insegnamenti. I programmi delle singole sessioni vengono aggiornati progressivamente man mano che sono definiti.<\/p>\n\n\n\n Presentazione delle tre aree \u2014 Equazioni alle derivate parziali<\/strong>, Calcolo delle variazioni<\/strong> e Probabilit\u00e0<\/strong> \u2014 con panoramica ragionata degli insegnamenti e brevi presentazioni dei singoli corsi.<\/p>\n\n\n\n Una sequenza di brevi presentazioni degli insegnamenti dell\u2019area.<\/p>\n\n\n\n Teoria algebrica dei numeri 3:<\/strong> non \u00e8 prevista una presentazione.<\/p>\n<\/div><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n Le schede che seguono offrono una panoramica dei diversi ambiti della matematica presenti nella nostra offerta formativa. L’idea \u00e8 aiutare a capire non solo quali corsi esistono<\/strong>, ma anche come si collegano tra loro<\/strong>, quali conoscenze richiedono e quali percorsi possono suggerire.<\/p>\n\n\n\n I contenuti sono in corso di preparazione e saranno completati progressivamente dai docenti delle diverse aree.<\/p>\n\n\n\n \ud83d\udea7 Work in progress.<\/strong> L\u2019algebra commutativa prende le mosse da esempi relativamente concreti (aritmetica di base, polinomi, anelli commutativi classici) per costruire il linguaggio astratto che permette di affrontare lo studio generale degli anelli, incluse le loro propriet\u00e0 di integralit\u00e0, fattorialit\u00e0 e dimensione.<\/p>\n\n\n\n Nel corso Algebra 2 si ampliano le nozioni di base sugli anelli viste ad Aritmetica e Algebra 1, introducendo moduli, prodotti tensoriali, localizzazione nel contesto pi\u00f9 generale e successioni esatte, senza trascurare l\u2019importante strumento applicativo fornito dalle basi di Gr\u00f6bner. Il corso di Istituzioni di Algebra prosegue nel medesimo solco, approfondendo queste nozioni e avvicinandole a varie altre aree della matematica: lo studio di valutazioni e domini di Dedekind, ad esempio, \u00e8 fondamentale tanto in teoria dei numeri (nello studio degli anelli degli interi dei campi di numeri) quanto in geometria algebrica (nello studio delle curve algebriche); il linguaggio dell\u2019algebra omologica si applica sia alla teoria dei gruppi che alla geometria, offrendo un quadro generale in cui interpretare varie teorie coomologiche.<\/p>\n\n\n\n Questi corsi forniscono cos\u00ec una base teorica per la ricerca in algebra commutativa, teoria algebrica dei numeri, geometria algebrica ed aree affini.<\/p>\n\n\n\n Per lo studente interessato a quest\u2019area di ricerca pu\u00f2 essere utile frequentare anche i corsi di Teoria algebrica dei numeri, Teoria di Galois, ed Elementi di geometria algebrica, in cui molte delle nozioni introdotte in questi corsi trovano applicazione.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n Combinatorics studies mainly the existence, construction, enumeration and structural properties of discrete mathematical structures such as graphs, posets, simplicial complexes, matroids, to just name a few.<\/p>\n\n\n\n While rooted in ancient mathematics, Combinatorics became a mature subject relatively recently. Starting with its \u201cRenaissance\u201d in the 1960\u2019s, this discipline experienced an amazing growth, acquiring more and more recognition thanks to its flourishing connections with the other topics of Mathematics, but also with other sciences like Biology, Computer Science and Physics.<\/p>\n\n\n\n Next to the traditional research lines in Topological Combinatorics and in Nonstandard Methods in Extremal Combinatorics, at the mathematics department of the University of Pisa there is now active research in Algebraic Combinatorics as well.<\/p>\n\n\n\n We list here the main courses in these areas that have been offered in Pisa in recent years.<\/p>\n\n\n\n Other courses with an important combinatorial content are:<\/p>\n\n\n\n We list also some (sometimes shorter) courses offered at the graduate and PhD level in the last few years (unlikely to be reoffered any time soon):<\/p>\n\n\n\n Algebraic topology B <\/strong>is a master course in discrete methods in algebraic topology. In this course fundamental combinatorial structures like posets, simplicial complexes, hyperplane arrangements and matroids are studied.<\/p>\n\n\n\n Lie algebras and Lie groups<\/strong> is an introductory course of Lie theory. The root systems, whose combinatorics determines the structure of both algebras and groups, are one of the fundamental discrete objects in algebraic combinatorics.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n La teoria dei numeri \u00e8 un\u2019area molto vasta, all\u2019interno della quale ci si pu\u00f2 muovere in direzioni diverse: a fianco dei classici approcci algebrici ed analitici, nella seconda met\u00e0 del secolo scorso si sono sviluppate connessioni sempre pi\u00f9 strette con la geometria algebrica.<\/p>\n\n\n\n Fra le applicazioni principali della teoria dei numeri rivestono poi una particolare importanza quelle legate alla crittografia.<\/p>\n\n\n\n Elenchiamo qui sotto i principali corsi offerti dal dipartimento nell\u2019area della teoria dei numeri e della crittografia. Sono indicati fra parentesi quadre i corsi ad attivazione meno regolare.<\/p>\n\n\n\n I corsi di Teoria algebrica dei numeri 1 e 2 e di Teoria di Galois costituiscono percorsi interconnessi, ma sostanzialmente indipendenti. Possono essere seguiti in qualsiasi ordine, e nel loro insieme offrono una visione coerente della comprensione attuale dell\u2019aritmetica in domini diversi da quello dei numeri interi.<\/p>\n\n\n\n Il corso di teoria di Galois amplia e approfondisce i concetti introdotti nel corso di Algebra 1, concentrandosi in particolare sulla teoria di Galois nel contesto delle estensioni algebriche di grado infinito. Il corso di Teoria algebrica dei numeri 1 si concentra sullo studio delle propriet\u00e0 aritmetiche dei campi di numeri (estensioni finite del campo dei numeri razionali), esaminando in particolare le generalizzazioni appropriate del concetto di fattorizzazione unica in questo contesto.<\/p>\n\n\n\n Il corso di Teoria algebrica dei numeri 2 si focalizza invece sull\u2019aritmetica dei campi p-adici, strutture ottenute mediante una procedura di passaggio al limite di congruenze modulo potenze di un numero primo p. Nonostante la loro struttura risulti pi\u00f9 semplice rispetto a quella dei campi di numeri, l\u2019aritmetica dei campi p-adici fornisce informazioni rilevanti anche per lo studio di questi ultimi.<\/p>\n\n\n\n Il corso Teoria algebrica dei numeri 3 \u00e8 pi\u00f9 avanzato rispetto ai corsi 1 e 2 ma pu\u00f2 essere seguito in modo indipendente da chi \u00e8 pronto ad accettare qualche fatto dimostrato negli altri corsi. L’obbiettivo principale \u00e8 lo studio degli estensioni di Galois di campi di numeri o p-adici con gruppo di Galois abeliano. Queste estensioni sono molto rilevanti dal punto di vista aritmetico e hanno legami sia a problemi di aritmetica classici che direzioni di ricerca attuali.<\/p>\n\n\n\n Infine, il corso di Curve ellittiche introduce questi oggetti (particolari curve algebriche proiettive) ed esamina le interazioni fra le loro propriet\u00e0 aritmetiche e geometriche. Le curve ellittiche figurano prominentemente anche nel corso di Metodi matematici della crittografia, nel quale viene analizzata in particolare l\u2019interazione fra l\u2019aritmetica delle curve ellittiche e quella dei campi finiti.<\/p>\n\n\n\n Per lo studente interessato a quest\u2019area di ricerca pu\u00f2 essere utile frequentare i corsi di Algebra 2 e Istituzioni di algebra, che, pur non essendo prerequisiti stringenti per alcuno dei corsi elencati sotto, forniscono certamente delle solide basi teoriche che possono facilitare la comprensione di altri argomenti.<\/p>\n\n\n\n === Teoria dei numeri algebrica ===<\/strong> === Teoria dei numeri analitica ===<\/strong> === Applicazioni alla crittografia ===<\/strong> Alcuni temi di ricerca sviluppati in Dipartimento riguardano la Teoria di Lie. Con questa denominazione indichiamo sia argomenti che riguardano la teoria delle rappresentazioni di strutture algebriche quali, per esempio, le algebre di Lie o i gruppi, sia la manifestazione di queste strutture in altre aree della Matematica. In questa accezione, sia i problemi affrontati, che le tecniche usate in Teoria di Lie, possono avere differenti sfumature a seconda della struttura algebrica studiata o degli ambiti in cui essa appare. D\u2019altro canto, l\u2019idea unificante di questa area di ricerca \u00e8 come la presenza di una simmetria in un dato problema matematico possa essere una chiave fondamentale per la sua soluzione o per una sua migliore comprensione. Per l\u2019anno 2026 sar\u00e0 attivato il corso:<\/p>\n\n\n\n Algebre e gruppi di Lie<\/em> \u00e8 un corso introduttivo alla teoria delle algebre di Lie. In particolare ci concentreremo sulla classificazione delle algebre semisemplici e sulle loro rappresentazioni.<\/p>\n\n\n\n Aggiungiamo un breve commento su come si colloca l\u2019offerta di quest\u2019anno con l\u2019offerta didattica potenziale del dipartimento su questo argomento.<\/p>\n\n\n\n Insieme al corso Algebre e gruppi di Lie<\/em>, i corsi, Gruppi e rappresentazioni<\/em> e Gruppi Algebrici Lineari<\/em> costituiscono l\u2019ossatura fondamentale dell\u2019offerta didattica per questi temi di ricerca. Cercheremo di attivare questi corsi con una discreta regolarit\u00e0. Altri corsi riguardanti questo tema di ricerca che potrebbero essere attivati sono i seguenti:<\/p>\n\n\n\n Inoltre, relativamente a questo tema di ricerca, nell\u2019anno 2023\/2024 \u00e8 stato attivato anche un corso di lettura sulla categoria O, nell’anno 2024\/2025 un corso di lettura di teoria dei fasci e durante l’anno 2025\/2026 una serie di seminari sulle congetture di Serre (in collaborazione con il gruppo di teoria dei numeri) e un corso di letture sulle basi cristalline (in collaborazione con il gruppo di Combinatoria). Una simile attivit\u00e0 sar\u00e0 svolta anche nell’anno 2026\/2027.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n Link alle schede informative dei corsi<\/a><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n Combinatorics studies mainly the existence, construction, enumeration and structural properties of discrete mathematical structures such as graphs, posets, simplicial complexes, matroids, to just name a few.<\/p>\n\n\n\n While rooted in ancient mathematics, Combinatorics became a mature subject relatively recently. Starting with its \u201cRenaissance\u201d in the 1960\u2019s, this discipline experienced an amazing growth, acquiring more and more recognition thanks to its flourishing connections with the other topics of Mathematics, but also with other sciences like Biology, Computer Science and Physics.<\/p>\n\n\n\n Next to the traditional research lines in Topological Combinatorics and in Nonstandard Methods in Extremal Combinatorics, at the mathematics department of the University of Pisa there is now active research in Algebraic Combinatorics as well.<\/p>\n\n\n\n We list here the main courses in these areas that have been offered in Pisa in recent years.<\/p>\n\n\n\n Other courses with an important combinatorial content are:<\/p>\n\n\n\n We list also some (sometimes shorter) courses offered at the graduate and PhD level in the last few years (unlikely to be reoffered any time soon):<\/p>\n\n\n\n Algebraic topology B <\/strong>is a master course in discrete methods in algebraic topology. In this course fundamental combinatorial structures like posets, simplicial complexes, hyperplane arrangements and matroids are studied.<\/p>\n\n\n\n Lie algebras and Lie groups<\/strong> is an introductory course of Lie theory. The root systems, whose combinatorics determines the structure of both algebras and groups, are one of the fundamental discrete objects in algebraic combinatorics.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n Gli insegnamenti principali suggeriti nell\u2019a.a. 26\/27 per questo percorso sono:<\/p>\n\n\n\n L\u2019insegnamento di Elementi di Analisi Complessa<\/em> si innesta sull\u2019insegnamento di Geometria 2 fornendo una presentazione accurata dei principali risultati classici di geometria e analisi complessa di una variabile e un\u2019introduzione all\u2019analisi complessa di pi\u00f9 variabili; \u00e8 un insegnamento obbligatorio per chi sceglie il piano di studi in Geometria nella laurea magistrale.<\/p>\n\n\n\n Durante la laurea magistrale, ogni anno viene proposto un insieme diverso di insegnamenti fra cui scegliere, in modo che nel corso dei due anni lo studente possa crearsi un fondamento solido in dinamica olomorfa o in geometria complessa (o in entrambi gli argomenti). Oltre ovviamente a Istituzioni di geometria <\/em>(che \u00e8 obbligatorio per tutti i piani di studi in Geometria) per l\u2019a.a. 26\/27, \u00e8 attivato l\u2019insegnamento di Geometria e Analisi Complessa<\/em>, che prosegue lo studio dell\u2019analisi complessa a pi\u00f9 variabili, presenta un\u2019introduzione alle variet\u00e0 complesse, e introduce elementi della teoria del potenziale.<\/p>\n\n\n\n Anche l\u2019offerta di insegnamenti correlati cambia ogni anno. Nell\u2019a.a. 26\/27 altri insegnamenti potenzialmente di interesse sono<\/p>\n\n\n\n La Dinamica olomorfa<\/em> \u00e8 parte integrante del percorso di specializzazione. Per quanto il corso relativo non sia attivato quest\u2019anno, presenta un\u2019altra importante direzione anche per chi volesse indirizzarsi alla geometria complessa. Per chi volesse iniziare a dirigersi in questa direzione, si segnala il corso di Teoria ergodica<\/em>.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n Algebraic geometry began as the branch of mathematics focused on studying the geometry of the zero loci of systems of multivariate polynomials, known as algebraic varieties, in affine or projective space. From the outset, it was evident that a deep understanding of these topics requires analyzing the intrinsic properties of the objects, adopting a geometric perspective, and employing a robust algebraic formalism.<\/p>\n\n\n\n Today, algebraic geometry is not primarily concerned with the specific equations describing these spaces. Instead, the focus has shifted to the study of abstract properties and the classification of algebraic varieties (and related objects). This is often achieved by associating suitable algebraic structures or invariants to geometric objects, much like in algebraic topology. The field has strong connections to other areas of mathematics, such as commutative algebra (often seen as a \u201clocal\u201d version of algebraic geometry), complex geometry, number theory, representation theory, and mathematical physics.<\/p>\n\n\n\n Key tools for this study include several theories and frameworks developed in the 20th century, such as category theory, the language of schemes, sheaf theory, and vector bundle techniques, among others.<\/p>\n\n\n\n At the University of Pisa, we offer an introductory course on the Foundations of Algebraic Geometry (Elementi di Geometria Algebrica) along with several courses (some of which are not offered every year) covering different aspects of the field:<\/p>\n\n\n\n La topologia algebrica si occupa dello studio delle propriet\u00e0 degli spazi topologici attraverso l\u2019analisi di invarianti descritti da oggetti algebrici. <\/p>\n\n\n\n Corsi suggeriti in questo contesto sono:<\/p>\n\n\n\n Mentre il corso di Elementi di Topologia Algebrica offre una prima introduzione generale, il corso Topologia Algebrica A offre un approfondimento rivolto verso la teoria dell\u2019omotopia, e il corso Topologia Algebrica B offre un approfondimento rivolto verso la combinatoria. I due corsi avanzati vengono di solito attivati ad anni alterni.<\/p>\n\n\n\n Molto spesso gli argomenti di topologia algebrica tradizionalmente studiati presso l\u2019Universit\u00e0 di Pisa si affacciano verso la combinatoria e la teoria delle rappresentazioni. Infatti \u00e8 frequente studiare oggetti topologici nati dalla combinatoria o dalla teoria delle rappresentazioni, cos\u00ec come la combinatoria e le rappresentazioni possono illuminare con un nuovo punto di vista lo studio degli invarianti di oggetti topologici. <\/p>\n\n\n\n Risulta quindi naturale suggerire alcuni corsi da affiancare a questo percorso:<\/p>\n\n\n\n L’area raccoglie insegnamenti dedicati allo studio delle variet\u00e0 differenziabili, della loro topologia e delle strutture geometriche che esse possono portare. I corsi attivati offrono un percorso che parte dalla geometria differenziale classica di curve e superfici e dalle nozioni fondamentali di topologia differenziale, prosegue con uno studio sistematico delle variet\u00e0 lisce, delle forme differenziali e della geometria riemanniana, e arriva ai teoremi di confronto della geometria riemanniana e alle loro conseguenze topologiche.<\/p>\n\n\n\n Nell’a.a. 2026\/27 i corsi riconducibili all’area sono:<\/p>\n\n\n\n Per chi intenda seguire tutti e tre gli insegnamenti, l’ordine naturale \u00e8 Geometria e Topologia Differenziale, Istituzioni di Geometria, Geometria Riemanniana. Il primo corso \u00e8 comunque accessibile con i prerequisiti dei corsi obbligatori della laurea triennale, mentre i successivi sviluppano progressivamente gli strumenti introdotti nei corsi precedenti.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\nPresentazione in presenza 2026\/27<\/strong><\/h4>\n\n\n\n
Luned\u00ec 21 settembre \u00b7 mattina<\/h6>\n\n\n\n
Opportunit\u00e0 trasversali e informazioni generali<\/strong><\/h5>\n\n\n\n
9:00\u201312:30 \u00b7 a seguire rinfresco<\/strong><\/h6>\n\n\n\n
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Luned\u00ec 21 settembre \u00b7 pomeriggio<\/h6>\n\n\n\n
Analisi matematica e Probabilit\u00e0<\/strong><\/h5>\n\n\n\n
14:00\u201317:30 \u00b7 a seguire rinfresco<\/strong><\/h6>\n\n\n\n
Programma dettagliato<\/strong><\/h5>
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Marted\u00ec 22 settembre \u00b7 mattina<\/h6>\n\n\n\n
Algebra, Geometria e Logica matematica<\/strong><\/h5>\n\n\n\n
9:00\u201313:15 \u00b7 a seguire rinfresco<\/strong><\/h6>\n\n\n\n
Programma dettagliato<\/strong><\/h5>
Orario<\/th> Insegnamento<\/th> Chi presenta<\/th><\/tr><\/thead> 09:00<\/td> Elementi di analisi complessa<\/td> Fabrizio Bianchi<\/td><\/tr> 09:15<\/td> Geometria e analisi complessa<\/td> Fabrizio Bianchi<\/td><\/tr> 09:30<\/td> Algebre e gruppi di Lie<\/td> Giovanni Gaiffi<\/td><\/tr> 09:45<\/td> Elementi di topologia algebrica<\/td> Filippo Callegaro<\/td><\/tr> 10:00<\/td> Topologia algebrica B<\/td> Luis Ferroni<\/td><\/tr> 10:15<\/td> Elementi di teoria degli insiemi<\/td> Mauro Di Nasso<\/td><\/tr> 10:30<\/td> Logica matematica<\/td> da definire<\/td><\/tr> 10:45<\/td> Teoria dei modelli<\/td> Alessandro Berarducci<\/td><\/tr> 11:00<\/td> Algebra 2<\/td> Leonardo Patimo<\/td><\/tr> 11:15<\/td> Istituzioni di algebra<\/td> Davide Lombardo<\/td><\/tr> 11:30<\/td> Teoria algebrica dei numeri 2<\/td> Andrea Bandini<\/td><\/tr> 11:45<\/td> Geometria e topologia differenziale<\/td> Paolo Lisca<\/td><\/tr> 12:00<\/td> Geometria riemanniana<\/td> Diego Conti<\/td><\/tr> 12:15<\/td> Istituzioni di geometria<\/td> Bruno Martelli<\/td><\/tr> 12:30<\/td> Elementi di geometria algebrica<\/td> Marco Franciosi<\/td><\/tr> 12:45<\/td> Geometria algebrica complessa<\/td> Sandro Manfredini<\/td><\/tr> 13:00<\/td> Teoria degli schemi<\/td> Andrea Di Lorenzo<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n Marted\u00ec 22 settembre \u00b7 pomeriggio<\/h6>\n\n\n\n
Analisi numerica, Ricerca operativa, Fisica matematica e Didattica della matematica<\/strong><\/h5>\n\n\n\n
14:00\u201317:30 \u00b7 a seguire rinfresco<\/strong><\/h6>\n\n\n\n
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Presentazione web per area disciplinare<\/strong><\/h4>\n\n\n\n
Logica matematica <\/strong>(MATH-01\/A \u00b7 ex MAT\/01)<\/h5>
La presentazione di questa area \u00e8 in preparazione.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\nAlgebra <\/strong>(MATH-02\/A \u00b7 ex MAT\/02)<\/h5>
Algebra commutativa<\/h5>
Combinatoria<\/h5>
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\n
\n
Teoria dei numeri<\/h5>
Teoria dei campi e teoria di Galois
Teoria algebrica dei numeri 1
Teoria algebrica dei numeri 2
Curve ellittiche
[Rappresentazioni di Galois p-adiche]
[Campi ciclotomici]
Teoria algebrica dei numeri 3<\/p>\n\n\n\n
Teoria dei numeri elementare
Teoria analitica dei numeri A
Teoria analitica dei numeri B
[Funzioni L]
[Forme modulari]<\/p>\n\n\n\n
Metodi matematici della crittografia
[Crittografia post-quantistica]
[Teoria dei codici \/ Teoria dei codici e crittografia]<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\nTeoria di Lie<\/h5>
\n
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Geometria <\/strong>(MATH-02\/B \u00b7 ex MAT\/03)<\/h5>
Combinatoria<\/h5>
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Dinamica olomorfa e geometria complessa<\/h5>
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Geometria algebrica<\/h5>
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Topologia algebrica<\/h5>
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Topologia e geometria differenziale<\/h5>
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