Dipartimento di matematica, Aula riunioni.<\/p>\n
La topologia di Zariski ${\\mathfrak Z}_G$ di un gruppo $G$, fu introdotta esplictamente da R. Bryant [2] sotto il nome verbal topology<\/i>, ma implicitamente suggerita da Markov [6]. I sottoinsiemi di $G$ della forma $\\{x\\in G: g_1 x^{\\varepsilon_1} g_2 x^{\\varepsilon_2} \\cdots g_n x^{\\varepsilon_n} = e_G\\}$, dove $g_1,\\ldots, g_n\\in G$, $\\varepsilon_1,\\ldots,\\varepsilon_n \\in\\{-1,1\\}$ e $n \\in \\mathbb N_+$ formano una prebase della famiglia dei sottoinsiemi ${\\mathfrak Z}_G$-chiusi di $G$. La topologia di Zariski e $T_1$, ma in generale non $T_2$, in particolare non \u00e8 una topologia gruppale ([3,5]).<\/p>\n
L’oggetto di questo seminario \u00e8 la classe $\\mathbb C$ dei gruppi $G$ dove tutti i sottoinisiemi propri ${\\mathfrak Z}_G$-chiusi sono finiti (cio\u00e8 ${\\mathfrak Z}_G$ coincide con la topologia cofinita di $G$). Questa classe \u00e8 determinata dai suoi gruppi numerabili (cio\u00e8 $G \\in \\mathbb C$ se e solo se tutti i sottogruppi numerabili di $G$ sono in $\\mathbb C$). Pertanto, assumeremo nel seguito che tutti i gruppi in $\\mathbb C$ sono anche numerabili.<\/p>\n
L’interesse per la classe $\\mathbb C$ \u00e8 motivato dal problema di Markov [6] della descrizione dei sottoinsiemi potenzialmente densi di un gruppo $G$ ($X\\subseteq G$ si dice potenzialmente denso se esiste una topologia gruppale $T_2$ su $G$ che rende $X$ denso). La classe $\\mathbb C$ contiene la classe $\\mathscr P$ dei gruppi numerabili $G$ di cui ogni sottoinsieme infinito \u00e8 potenzialmente denso.<\/p>\n
Il fatto che $\\mathbb Z\\in \\mathscr P$ segue del teorema di H. Weyl dell’uniforme equidistribuzione mod 1.
Pi\u00f9 in generale, $\\mathscr P$ contiene<\/p>\n
(a) tutti i gruppi abeliani $G$ di $p$-rango finito per ogni primo $p$;<\/p>\n
(b) tutti i gruppi abeliani di esponente primo.<\/p>\n
Siccome (a) e (b) descrivono esattamente i gruppi abeliani in $\\mathbb C$ ([3]), si deduce che i gruppi abeliani in $\\mathbb C$ e $\\mathscr P$ coincidono (dimostrazioni, che evitano opportunamente il vincolo della numerabilit\u00e0, si trovano in [4]).<\/p>\n
Congetturiamo che vale $\\mathbb C= \\mathscr P$. Questo seguirebbe dalla seguente congettura pi\u00f9 precisa e dai risultati nel caso abeliano:<\/p>\n
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Congettura. <\/strong>[1] Ogni gruppo infinito della classe $\\mathbb C$ \u00e8 abeliano.<\/i><\/p>\n La classe $\\mathbb C$ \u00e8 stabile per passaggio a sottogruppi. I gruppi non-abeliani di $\\mathbb C$ sono di esponente primo, hanno centro finito e hanno numerosi altre propriet\u00e0 che suggeriscono la validit\u00e0 della congettura ([1]). Inoltre, non sono noti esempi di gruppi (mostri) di Tasrki che appartengono alla classe $\\mathbb C$.<\/p>\n Se il tempo permette discuteremo anche altre applicazioni della topologia di Zariski.<\/p>\n [1] M. Bonatto, D. Dikranjan, D. Toller, Groups with cofinite Zariski topology and potential density<\/i>, to appear in Topology Appl. arXiv:2110.13084<\/p>\n [2] R.M. Bryant, The verbal topology of a group<\/i>, J. Algebra 48 (1977), no. 2, ~340–346.<\/p>\n [3] D. Dikranjan, D. Shakhmatov, The Markov-Zariski topology of an abelian group<\/i>, J. Algebra 324 (2010), ~1125–1158.<\/p>\n [4] D. Dikranjan, D. Shakhmatov, A Kronecker-Weyl theorem for subsets of Abelian groups<\/i>, Advances in Mathematics, 226 (2011) 4776–4795.<\/p>\n [5] D. Dikranjan, D. Toller, Zariski topology and Markov topology on groups<\/i>, Topology Appl. 241 (2018) no. 24, 115–144.<\/p>\n [6] A.A. Markov, On unconditionally closed sets<\/i>, Comptes Rendus Doklady AN SSSR (N.S.) 44 (1944), ~180–181 (in Russian).<\/p>\n <\/p>\n Further information is available on the event page<\/a> on the Indico platform.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" La topologia di Zariski ${\\mathfrak Z}_G$ di un gruppo $G$, fu introdotta esplictamente da R. Bryant [2] sotto il nome verbal topology, ma implicitamente suggerita da Markov [6]. I sottoinsiemi di $G$ della forma $\\{x\\in G: g_1 x^{\\varepsilon_1} g_2…<\/p>\n