Laboratorio 1. La ricerca della strada più corta e bolle di sapone
Qual è il modo più efficiente di collegare un certo numero di città in una pianura? Proveremo a ricavare delle proprietà comuni a tutte le strade più corte, indipendentemente dal numero e dalla posizione delle città, e poi disegneremo la rete di strade in alcune situazioni semplici. Cosa potrebbe mai avere a che fare questo problema con le bolle di sapone? Lo scopriremo insieme!
Responsabile: A. Pluda
Laboratorio 2. Rintocchi regolati: l’algebra dal campanile
In questo laboratorio parleremo di algebra e geometria partendo da uno spunto musicale. Le campane della torre di Pisa sono disposte in cerchio. Ciò permette di suonarle secondo una tecnica tradizionale inglese, chiamata “change ringing”. Questo metodo si basa su semplici regole che ritroviamo anche alla base della teoria algebrica delle permutazioni. Nella prima parte del nostro laboratorio presenteremo queste regole e, con esse, l’algebra delle permutazioni. Nella seconda parte del laboratorio proveremo a capire quanti concerti “a regola d’arte inglese” potremmo suonare dalla torre di Pisa. Tradurremo il problema in forma geometrica e incontreremo in questo modo anche la teoria dei poliedri.
Responsabile: E. Delucchi
Laboratorio 3. La rovina del giocatore e la camminata dell’ubriaco, ovvero, alla scoperta delle passeggiate aleatorie
“Un ubriaco che cammina a casaccio troverà prima o poi la strada di casa, ma un uccello ubriaco potrebbe perdersi per sempre.” Questa frase dall’aria enigmatica non è la traduzione di un proverbio esotico sconosciuto ai più, ma un detto curioso che racchiude una verità matematica alquanto profonda. In questo laboratorio parleremo di “passeggiate aleatorie”, cioè percorsi casuali, di vario genere: ci chiederemo anzitutto cosa significhi intraprendere un percorso “a caso” – su una scacchiera, nel piano, nello spazio, su un “grafo” – e come la teoria della probabilità possa aiutarci a formalizzare e comprendere questa idea. Ci occuperemo poi del comportamento di questi percorsi casuali su tempi lunghi: dopo quanto tempo un camminatore casuale sarà tornato al punto di partenza? Se attendiamo un tempo molto lungo, sappiamo dire qualcosa sulla probabilità che questi si trovi in un luogo piuttosto che un altro? Come dipendono le risposte a queste domande dalla struttura dell'”ambiente” nel quale si svolge il cammino? E infine, quale rapporto c’è fra le passeggiate aleatorie e la miriade di applicazioni che trovano in fisica, in biologia, in economia, in informatica?
Responsabile: A. Caraceni
Laboratorio 4. Matematica, musica, e computer
Come fa il nostro orecchio a distinguere il suono di un pianoforte da quello di una chitarra? Come si possono ricavare “al volo” le note e gli accordi di un pezzo musicale? È possibile rimuovere il rumore di fondo da una registrazione venuta male o prevedere il riverbero percepito in un’esecuzione musicale fatta in una cattedrale? Utilizzando proprietà di funzioni trigonometriche e di polinomi, assieme a strumenti ideati da alcuni matematici del passato quali Jean Baptiste Joseph Fourier e Carl Friedrich Gauss, introdurremo un modello matematico che rappresenti i suoni. Dopo aver presentato teoricamente questo modello, svolgeremo della sperimentazione attraverso strumenti informatici, che ci permetteranno di ascoltare e manipolare suoni usando opportuni algoritmi. Riusciremo in questo modo a dare risposte alle domande in modo automatico e in tempo reale. Capiremo inoltre come creare artificialmente una melodia eseguita da un determinato strumento.
Responsabili: P. Boito, L. Robol
Laboratorio 5. Dalla mela di Newton all’era spaziale: esplorare lo spazio con la matematica
Il 18 febbraio 2021 il rover Perseverance della NASA è atterrato su Marte; il 20 ottobre 2018 la sonda ESA BepiColombo è partita alla volta di Mercurio per studiare il pianeta più vicino al Sole e testare la teoria della relatività generale di Einstein; il 15 settembre 2017 la sonda NASA/ESA Cassini è stata fatta disintegrare nell’atmosfera di Saturno dopo che per dieci anni ha fornito un’enorme quantità di dati e immagini; il 14 luglio 2015 la sonda NASA New Horizons ha raggiunto Plutone inviandoci fantastiche immagini di questo mondo lontanissimo; il 12 novembre 2014 il lander Philae della missione ESA Rosetta è atterrato sulla cometa 67P/Churymov-Gerasimenko. Questi eventi sono solo alcuni dei grandissimi traguardi nella storia dell’esplorazione spaziale, raggiunti in poco più di sessanta anni dal primo lancio di un satellite nello spazio (lo Sputnik 1, il 4 ottobre 1957). Ma in realtà tutto è cominciato molto prima, nel Seicento, con Newton, il quale si pose la semplice domanda “se una mela cade al suolo a causa dell’attrazione gravitazionale terrestre, perché la Luna, più o meno sferica come una mela, e sicuramente più pesante, non cade anch’essa sulla Terra?”, gettando le fondamenta della Meccanica Celeste, lo studio matematico dei corpi che si muovono nello spazio. In questo laboratorio, provando a rispondere ad alcune domande (Come si esprime matematicamente il moto di un corpo nel Sistema Solare? Il nostro Sistema Solare è caotico? Come può la matematica aiutarci a studiare le caratteristiche fisiche di un pianeta/asteroide/cometa? Cosa serve per lanciare una sonda verso un altro pianeta?) e affrontando qualche problema, esploreremo le principali tematiche della Meccanica Celeste e dell’Astrodinamica, focalizzando l’attenzione sul passaggio dalla realtà fisica al modello matematico.
Responsabile: G. Tommei
Laboratorio 6. Epidemie e alberi casuali
In questo laboratorio studieremo un semplice modello per predire il comportamento di un’epidemia, basato su alcune considerazioni di probabilità su come una persona ne infetta un’altra, e su un diagramma ad albero dei possibili contagi. Qual è la probabilità che un giorno tutti guariscano e l’epidemia scompaia? Svilupperemo alcuni algoritmi per calcolare questa probabilità di estinzione, dimostreremo perché funzionano, e vedremo quale di questi è il più veloce.
Responsabile: F. Poloni