Il Piano Iperbolico

Uno dei problemi che più a lungo hanno appassionato i matematici e i filosofi è quello dell'indipendenza dell'ultimo postulato di Euclide.

Dagli assiomi "minimi e naturali" della geometria piana

  • due punti distinti sono congiunti da un'unica retta
  • ogni segmento si estende a una retta 
  • per ogni punto e per ogni numero positivo esiste un cerchio con quel punto come centro e quel numero come raggio 
  • tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro

Da questi assiomi, segue anche che per un punto esterno a una retta passa una sola parallela alla retta data?

 

La risposta è stata cercata per oltre due millenni, ed è giunta solo intorno al 1830.

La risposta è "no": il piano iperbolico, di cui questa figura illustra un modello (tassellato in triangoli) fornisce un esempio di geometria piana che soddisfa i primi quattro assiomi di Euclide ma non il quinto.

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