PRIN 2008: "Trasporto ottimo di massa, disuguaglianze geometriche e funzionali e applicazioni"

La Teoria del Trasporto di Massa inizia nel 1781 con un lavoro di Gaspard Monge, che propose un modello matematico per descrivere la maniera migliore di trasportare una densità di massa assegnata in una configurazione finale con il minimo costo totale. L'argomento, anche se ben noto tra i probabilisti, che hanno considerato più in generale la formulazione di Kantorovich, in cui il problema viene posto in spazi metrici e con distribuzioni di massa iniziale e finale date da due generiche misure di probabilità, ha ricevuto l'attenzione della comunità degli analisti matematici, ed in particolare degli esperti in calcolo delle variazioni ed equazioni alle derivate parziali grazie al lavoro di Evans e Gangbo, che hanno fornito delle formulazioni equivalenti del problema di Monge in termini di problemi variazionali e di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico.

Nel problema di Monge il costo elementare per muovere un'unità di massa tra due punti è considerato proporzionale alla distanza tra i punti; altri modelli più recenti considerano invece una funzione convessa della distanza. Tuttavia, in ognuno di questi casi i raggi di trasporto, che descrivono il moto delle singole unità di massa durante il trasporto, non possono intersecarsi, in quanto seguono le curve geodetiche dello spazio ambiente, ad esempio sono dei segmenti nel caso euclideo di Monge.

Al contrario, in molte situazioni (ad esempio nel trasporto urbano, ma anche in diversi modelli di progettazione di reti elettriche e informatiche, oppure nelle reti biologiche di organismi viventi in cui si trasportano dei fluidi nutrienti) si vuole favorire il trasporto congiunto, dando luogo a fenomeni di concentrazione e ramificazione. Viceversa, in altre situazioni si vuole penalizzare l'eccessiva densità di spostamenti (fenomeno tipico della congestione di traffico), favorendo scelte differenziate nelle traiettorie seguite. Questi modelli di trasporto sono tuttora molto studiati, sia per l'interesse matematico negli strumenti necessari che per le possibili numerose applicazioni.