Propositio 1^a1

1 Quidquid de numerorum, linearum, arearum² et solidorum ductu, ratione, proportione et symmetria, atque similitudine ratiocinamur, idem de quolibet quantitatis genere demonstrare atque concludere possumus.

Hoc enim fiet assumptis ad demonstrandum diffinitionibus, ac suppositis nostris³. Exempli gratia si duorum numerorum uterque multiplicet reliquum, producti sunt aequales, quae est decima septima septimi Elementorum. 2 Igitur etsi duarum quantitatum utraque multiplicet alteram, producta erunt aequalia. Quod sic⁴ ostendam. Quantitas a multiplicans quantitatem b producat quantitatem c. Item quantitas b multiplicans quantitatem a faciat quantitatem d. Aio, quod quantitates cd sunt invicem aequales. Cum enim ex diffinitione multiplicationis c producta ad b multiplicatam sit sicut a multiplicans ad positam, erit et permutatim c ad a sicut b ad positam. 3 Sed rursus ex diffinitione multiplicationis, sicut [C:86v] b multiplicans ad positam sic d producta ad a multiplicatam. Igitur sicut d ad a sic c ad a et perinde, per nonam quinti, cd quantitates sunt aequales; quod fuit demonstrandum. Exemplum aliud⁵ a sequenti propositione sumptum. Si numerus duos multiplicans duos produxerit, producti sunt multiplicatis proportionales. 4 Igitur et si quantitas duas quantitates multiplicans, duo producta fecerit, producta multiplicatis [S:87] erunt proportionalia; quod sic ostendam. Quantitas a multiplicans ipsam b producat d, multiplicans autem c faciat e. Aio, quod sicut est b ad c sic est d ad e. Cum enim per diffinitionem multiplicationis d producta ad b multiplicatam sit sicut a multiplicans ad positam, nec non e producta ad c multiplicatam sit etiam sicut a⁶ multiplicans ad positam, iam erit sicut e ad c sic d ad b. 5 Ergo et permutatim erit sicut e ad d sic c ad b et conversim sicut d ad e⁷ sic b ad c⁸, quod est propositum. Similiter quicquid in septimo, octavo et nono de numeris ostendit Euclides, idem de quantitatibus in genere ostendere possumus. Alicubi tamen pro numeris quantitates⁹ rationales substituendo, assumptis diffinitionibus, ac suppositis nostris. 6 Quidquid etiam in secundo, sexto et undecimo Elementorum de ductu¹⁰ et proportione linearum, arearum et solidorum [C:87r] traditur, potest ad quantitates in genere sumptas converti. Exempli gratia, prima secundi sic convertetur: si fuerint duae quantitates, quarum altera in quotlibet segmenta secetur, illud, quod ex ductu alterius in alteram fiet, aequum erit his, quae ex ductu quantitatis indivisae in unumquodque segmentorum divisae pariter acceptis producentur. 7 Quod sic ostendam: sint duae quantitates, a¹¹ indivisa, et bcd secta¹² in partes quotvis ut puta tres bcd et ex a in totam bcd proveniat e, nec non ex a in singulas partes bcd proveniant singulae fgh quantitates. Dico tunc, quod e aequalis est ipsis fgh simul sumptis. Nam ex diffinitione multiplicationis erit e ad bcd sicut a ad positam; et similiter sicut a ad positam sic f ad b sic g ad c sic h ad d. 8 Igitur per undecimam quinti, et coniunctam proportionem, totum fgh ad totum bcd sicut a ad positam; fuit autem sicut a ad positam, sic e ad bcd. Ergo sicut e ad bcd sic fgh ad bcd. Quare per nonam quinti fgh totum aequale est ipsi e; quod erat demonstrandum. Ex qua demonstrabuntur reliquae propositiones secundi successive de quantitatibus in genere quemadmodum Campanus easdem de numeris demonstravit in decima sexta noni. 9 Quidquid denique decimus Elementorum [C:87v] de linearum et arearum symmetria et ductu aut proportione ratiocinatur, potest totum ad quodlibet genus quantitatis converti¹³. Exempli gratia, illa propositio: A rationalibus longitudine commensurabilibus rectis lineis factum rectangulum rationale est; ad quantitates in genere sic con[S:88]vertetur: quantitatum rationalium productum rationale est, quod sic ostenditur. 10 Quantitas rationalis a multiplicans quantitatem rationalem b faciat c. Dico tunc, quod c quantitas rationalis est. Namque ex a in se fiat d et tunc per primam sexti¹⁴ Elementorum ad quantitates redactam erit, sicut a ad b sic d ad c sed a ipsi b commensurabilis est per hypothesim;¹⁵ ergo et d ipsi c commensurabilis est, per decimam decimi. Cumque d rationalis sit¹⁶ (quia quadratum est ipsius a), iam per diffinitionem, et c rationalis erit. Quod est propositum. 11 Similiter procedere poterimus reliquas decimi Elementorum propositiones demonstrando. Et quod nona eiusdem libri de quadratis ostendit, potest etiam ad cubos et ad secunda quadrata quantitatum referri, sic: a commensurabilibus invicem quantitatibus producta quadrata sunt ad invicem sicut quadrati numeri; et producti cubi sicut cubi numeri; et producta secunda quadrata sicut secundi numeri quadrati. 12 Contra, et quantitates tam quarum quadrata sunt ad invicem sicut [C:88r] numeri quadrati,¹⁷ quam quarum cubi sunt ad invicem sicut numeri cubi, quamquam quarum secunda quadrata sunt ad invicem sicut secundi quadrati; sunt et adinvicem omnino commensurabiles. Quod haud difficilius ostenditur quam nona ipsa quoad quadrata. 13 Hoc scilicet supposito, et ante demonstrato, quod sicut inter duos quadratos numeros semper interiacet unus numerus medius proportionalis; ita inter cubos interiacent duo medii proportionales; et inter secundos quadratos tres medii proportionales. Ab incommensurabilibus vero invicem quantitatibus facta quadrata non sunt ad invicem sicut quadrati numeri, neque cubi sicut cubi numeri, nec secunda quadrata sicut secundi quadrati numeri. 14 Contra, et quantitates tam quarum quadrata non sunt ad invicem sicut quadrati numeri, quam quarum cubi non sunt invicem sicut cubi numeri, quamque quarum secunda quadrata non sunt invicem sicut secundi quadrati numeri; sunt inter se incommensurabiles¹⁸. Quae duae propositiones¹⁹ sequuntur ex praemissis a destructione²⁰ contrariorum. 15 Quo fit, ut quot linearum irrationalium species tractantur in decimo Elementorum, totidem eiusdem nominis, et earundem proprietatum species²¹ inveniantur inter quantitates in genere sumptas. Ita inquam, ut in omni quantitate unius generis existant omnes tales rationalium species. Per hanc igitur [C:88v] propositionem omnis geometrica speculatio redigitur ad numerariam praxim.