[A:9r] ELEMENTORUM TERTIUS

1 Circuli nunc et eorum centra, sectiones, tactus et anguli ac portiones considerandae. Similes¹ circulorum portiones, aequos angulus suscipiunt.

1^a

Propositi circuli centrum invenire.

2^a

Arcus chorda intra circulum cadit.

3^a

2 Diameter chordam per aequalia secans perpendicularis est ad eam. Et e converso.

4^a

Aliter² non per aequalia. Nec quextra centrum.

5^a, 6^a3

Circulorum se invicem secantium aut tangentium centra esse diversa.

7^a

3 Punctum in diametro extra centrum maximam et minimam linearum, ad periferiam exeuntium continuat.

8^a

A puncto autem extra circulum, quae per centrum ducitur, maximam secantium et minimam applicatarum continet.

9^a

4 Tres lineae aequales a periferia non nisi in centrum concurrunt.

10^a, 12^a

Circulus circulum in duobus punctis secat. In uno tangit.

11^a

Et quae per centra ducitur, per tactum incedit.

13^a

Aequales chordae a centro aequaliter distant. Et e converso.

14^a

5 Diameter est chordarum maxima. Et chorda illi propinquior, maior.

15^a

Recta ab extremo diametri orthogonalis, circulum tangit in ipso extremo. Et cum periferia facit angulum acutorum angustissimum: diameter cum eadem maximum.

16^a

6 A dato puncto in circulum rectam tangentem ducere.

17^a

A tactu linea in centrum ducta perpendicularis est tangenti. Et e converso.

18^a

Angulus ad centrum duplus est anguli ad periferiam eundem arcum assumenti.

19^a

7 Et qui in una portione ad periferiam, sunt aequales.

20^a

Quadrilaterum in circulo habet oppositos angulos duobus rectis aequales.

21^a, 22^a

Circuli portiones super unam lineam positae similes non cadunt inaequales.

Ergo aequales.

23^a

8 Data portione, circulum perficere.

25^a, 26^a

In circulis aequalibus, aequales anguli sive ad centra sive ad periferias locati, aequos arcus assumunt. Et e converso. [A:9v]

27^a, 28^a

Aequalium chordarum aequales sunt arcus: et aequalium arcuum aequales chordae.

29^a

9 Datum arcum per aequalia secare.

30^a

Semicirculus rectum: minor portio obtusum, maior acutum angulum suscipit.

31^a

A tactu linea educta cum tangente: angulos facit aequalis iis, quos coalternae circuli portiones suscipiunt.

32^a

10 Super datam lineam circuli portionem constituere quae angulum dato aequalem suscipiat.

33^a

A dato circulo portionem, quae angulum dato aequalem suscipiat, abscindere.

Hucusque omnia facilia⁴.

34^a

11 Rectis duabus se invicem intra circulum secantibus: rectangulum sub portionibus huius, rectangulo sub portionibus illius contento aequale est.

35^a

Quod si a puncto extra circulum ductarum una secet altera tangat circulum: quod sub tota secante et parte sui extrinseca continetur, aequale est tangentis quadrato.

36^a

12 Contra si tale secantis rectangulum aequale ponatur reliquae applicatae quadrato applicata est tangens.

Corollarium

Unde manifestum est quod talia duarum ab uno puncto eductarum ac secantium circulum rectangula sunt aequalia.

p^a

be ed . per 5 2i  fd  <vel> fc .  fe per penultimam primi.  fe  ec

Igitur  ec ------  be ed.

[A:10r]

2^a

be ed .  fd <vel> fa .  fg .  fe per penultimam primi  fe  ga .  ae ec per 5am 2i per penultimam pi  eg           per 5am 2i

Igitur  be ed -----------  ae ec.

3^a

be ed .  dg per 5am 2i .  fd vel fa per penultimam primi .  ae   fe .   eg   fg   fg   ef

Igitur  be ed -----------  ae.

4^a

be ed .   dg per 5am 2i .  fd <vel> fc     ch .   ae ec   ef .   eg .   eh .   fe   fg   fg   fh   fh             per penultimam pi

Igitur  be ed -----------  ae ec.

ab . per penultimam pi  ea .  ca ad per 6 2i  eb  ed  <vel> eb

Igitur  ab -----------  ca ad.

per 6am 2 i   ga af .   ae .   ha per 6 2i .   ca ad     hd .   ed <vel> ef   ef   he   he ut ostensum est   per penultimam primi

Igitur  ga af -----------  ca ad et ideo  ab.

2 februarii