Propositio 51^a

1 Omnis cubus aequalis est pyramidi hexagonae aequiangulae collaterali.

Exempli gratia, cubus quintus scilicet 125 qui et idem numerus est pyramis hexagona aequiangula quinta. Quod sic ostendam. Cubus quintus, per quadragesimam secundam, aequalis est aggregato columnarum triangularum quintae et quartae, necnon et trianguli quarti. 2 At per quadragesimam primam pyramis hexagona aequiangula quinta aequalis est aggregato pyramidis pentagonae quintae, pyramidis quadratae quartae, et pyramidis triangulae quartae. Demonstrandum est igitur nobis, quod haec duo praedicta aggregata sunt inter se aequalia; sic enim per¹ communem animi conceptum sequetur² ut cubus et pyramis hexagona aequiangula quinti loci sint invicem aequales. 3 Auferatur ab illo quidem aggregato columna triangula quinta; ab hoc vero aggregato pyramis pentagona quinta iampridem per ante praemissam aequales. Et demonstrandum erit quod duo residua inde, scilicet aggregatum columnae triangulae quartae et trianguli quarti; [S:22] hinc autem aggregatum pyramidis quadratae quartae et pyramidis triangulae quartae, sunt invicem aequalia; quod sic patet . 4 Per antepraemissam rursus, columna triangula quarta, aequalis est pyramidi pentagonae quartae; pyramis autem pentagona quarta, per trigesimam sextam, aequalis est pyramidi quadratae quartae et pyramidi triangulae [C:30v] tertiae. 5 Quamobrem, columna triangula quarta, una cum triangulo quarto, aequalis erit cumulo trium, scilicet pyramidis quadratae quartae, pyramidis triangulae tertiae et trianguli quarti. Ostendendum est igitur quod dictus cumulus aequalis est aggregato pyramidis quadratae quartae et pyramidis triangulae quartae. 6 Auferatur utrinque, scilicet tam ab illo cumulo, quam ab hoc aggregato, pyramis quadrata quarta, et demonstrandum supererit quod pyramis triangula tertia una cum triangulo quarto aequalis est pyramidi triangulae quartae; quod tandem constat per diffinitionem ipsius pyramidis triangulae; quippe quae assumpto semper sequenti triangulo procreat sequentem pyramidem. Qua argumentatione, sicut in quinto, ita³ in quolibet alio praecedenti vel sequenti loco, semper constabit propositum.

Corollarium⁴

7 Quoniam igitur singuli cubi ab unitate ordinati sunt singulis pyramidibus hexagonis aequilateris ab unitate dispositis collateralibus aequales; propterea manifestum est quod cuborum differentiae sunt pyramidum praedictarum differentiis singulae singulis aequales, hoc est, ipsis hexagonis aequiangulis. 8 Ac, sicut ex talium hexagonorum ad unitatem successiva coacervatione pyramides praedictae per ordinem construuntur, ita et⁵ cubi procreantur. Suntque ipsi hexagoni cuborum gnomones ab unitate continuati.

cubus 5us 125	col. triangula. 5a 75
	col. triangula 4a 40
	triangulus 4us 10

pyr. hexag. aequiangula 5. 125	pyr. na 5a 75
	pyr. ta 4a 30
	pyr. la 4a 20

col. triang. quarta 40 pyr. na 4a 40	pyr. ta 4a 30
	pyr. la 3a 10

^lus 4^us 10 ^lus 4^us 10

pyr. ^ta 4^a 30 pyr. ^ta 4^a 30

pyr. la 3a 10	pyr. la 4a 20
lus 4us 10

1	8	27
7			64
19				125
37
61