Propositio 52^a

1 Omnis cubus cum sequenti hexagono aequiangulo coniunctus [C:31r] constituit cubum sequentem.

Haec propositio¹ constat ex praecedenti corollario. Sed et aliter hic ipsam demonstrabo. Disponantur numeri sic: unitas, 4² et 5³. Item horum quadrati 16 et 25 et parte altera longior ex 4 in⁴ 5 factus, scilicet 20. Item eorum cubi 64 et 125 deinde ex 4 in 20 fiat 80 et ex 5 in 20 fiat 100. 2 Quibus dispositis cum 64 sit cubus quaternarii, atque 125 cubus quinarii, ostendendum est quod 64 quartus cubus cum quinto hexagono aequiangulo coniunctus conflat cubum quintum 125, quod sic patet. Quoniam per nonam huius 4 est differentia ipsorum 16 et 20, per decimam huius 5 est differentia ipsorum 20 et 25 atque ipse 4 multiplicans ipsos 16 et 20 facit ipsos 64 et 80. [S:23] 3 Itemque ipse 5 multiplicans ipsos 20 et 25 facit ipsos 100 et 125, propterea necesse est ut differentia ipsorum 64 et 80 sit⁵ ipse 16 utque differentia ipsorum 80 et 100 sit ipse 20 utque differentia ipsorum 100 et 125 sit ipse 25 quoniam differentia productorum producitur ex multiplicante in differentiam multiplicatorum. 4 Igitur differentia ipsorum cuborum 64 et 125 constabit ex congerie trium numerorum 16, 20 et 25 qui quidem sunt in hoc exemplo, quadratus quintus, parte altera longior quintus et quadratus quartus; qui cum, per trigesimam primam huius, faciant simul⁶ accepti⁷ hexagonum aequiangulum quintum, [C:31v] 5 sequitur ut talis hexagonus sit differentia dictorum cuborum: hoc est, ut cubus quartus 64, cum dicto hexagono quinto scilicet 61 coniunctus, constituat cubum quintum 125; quod demonstrandum in hoc exemplo assumpsimus; similiter in omni alio casu id idem demonstraturi, sicut proponitur.

Corollarium⁸

6 Hinc ergo rursus manifestum est quod, sicut hexagoni aequilateri ab unitate continuati, pyramides hexagonas aequiangulas, ita et cubos, ordinatim coacervant.