Propositio 55^a

301 Omne productum duarum quantitatum rationalium et potentialiter tantum inter se commensurabilium, est potentia tantum rationale; quod tamen ab Euclide vocatur mediale.

Sunto ab quantitates rationales, hoc est ambae potentia tantum ratio[S:138]nales, vel una rationalis in magnitudine, altera vero tantum potentia, et invicem potentialiter tantum commensurabiles, quae inter se multiplicatae faciant ipsam c. 302 Aio, quod c est quantitas potentia tantum rationalis. Fiant enim ea, quae in praecedenti, eritque [C:136v] per eadem, sicut d ad b sic e ad c. Cumque per hypothesim ipsa d ipsi b sit²⁶⁶ potentialiter tantum commensurabilis, erit per quadragesimam octavam huius, ipsa e quae rationalis est potentialiter tantum commensurabilis ipsi c. Igitur per diffinitionem c potentia tantum rationalis est. Quod est propositum. 303 In altera vero demonstratione erit per corollarium quinquagesimae tertiae praecedentis, f ad g non sicut quadratus numerus ad quadratum numerum: et idcirco fg per vigesimam sextam²⁶⁷ octavi non erunt ad invicem plani²⁶⁸ numeri similes. Quare, per primam noni, ipse h ipsorum fg productum non erit quadratus numerus, et perinde c ipsius h radix potentia tantum rationalis est, sicut proponitur.

Scholium

304 Illud autem notandum, quod praefatum²⁶⁹ productum quantitatum rationalium ab Euclide vocatur medialis quantitas, sive medialis area: quoniam gignitur ex ductu laterum; atque ita intelligendae sunt diffinitiones irrationalium magnitudinum, ubi de areis mentio²⁷⁰ fit; linea²⁷¹ vero in talem aream potens²⁷², hoc est, cuius quadratum est talis area, medialis dicitur.

a b c d e