[A:27r]

2 Quoniam quantitas omnis et perinde numerus in infinitum crescit, et infinita vocabula inveniri nequeunt, et eorum immoderata multitudo est onerosa; ideo statutus est limes, finisque numerorum vocabulis, post quem conflatis simili multiplicatione cumulis, eadem verba repetita facilius numerando recolantur. Ea vero multiplicatio ad decuplam rationem facta est, ob numerum digitorum utriusque manus, quibus prisci viri numerabant. Propterea decem unitates conflant denarium. Totidem denarii centenarium. Eiusdem numeri centenarii millenarium. Eademque decupla ratione proceditur in infinitum, vocabulis non numeris deficientibus. 3 Itaque et decem figurae, quibus numeri significarentur adinventae sunt, videlicet 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 quarum primae novem unitates ab uno ad novem usque denotarent: reliqua vero, que zerum vel zifram dicunt, ad dextram caeteris apposita² semel atque iterum earum significatum toties ad decuplum augeret, quoties apponeretur vacuasque regiones, ubi figura deficeret, quoties opus essent, impleret. 4 Fit ergo, ut unaqueque harum figurarum in prima ad dextram regione monadicum significet numerum; in 2^a decadicum; in 3^a hecatontadicum; in 4^a miliadicum; in 5^a myriadicum; eademque decupla multiplicatione itur in infinitum. Recte igitur, quoties numerum numero adiicimus, ex aggregatione monadicorum decades; ex aggregatione decadicorum centenarios; ex aggregatione centenariorum miliades colligimus monades interim aut decades, que supersunt subscribentes: ut numerus ex additione consurgens appareat: idemque per caeteras regiones ac dignitates ad complementum usque aggregandorum numerorum facimus. 5 Nec minus, si numerus a numero auferendus sit, semper monadica figura a modanica, nec non decadica a decadica, hecatontadica ab hecatontadica, caeteraeque a caeteris singulae videlicet a singulis eiusdem loci dignitatisque figuris subtrahendae sunt, decade a sequenti versus dextram loco mutuata, sicubi subtractio fieri nequeat: residuis sive relictis [A:27v] figuris seriatim subscriptis, ut numerus tandem post subtractionem relictus appareat. Poteramus et numerum datum aliquoties multiplicaturi per additionem id efficere, ut scilicet toties datum numerum coarcervaremus, quoties illum multiplicare iubemur / sed, ut fastidium quod nobis eundem numerum toties rescribentibus insurrexisset, vitaremus; regula multiplicandi, per³ quam multo brevius propositum assequeremur, inventa est. 6 Itaque postquam quid singulae figurae in singulas ductae faciant, memoriae commendaverimus, brevissimis praeceptionibus quoscumque datos numeros alterum in alterum multiplicabimus. Sed exponam hic simplicium figurarum ductas.

7

1 1 1 2 2 4 3 3 9 4 4 16 5 5 25 6 6 36 7 7 49 8 8 64 9 9 81 2 3 6 2 4 8 2 5 10 2 6 12 2 7 14 2 8 16 2 9 18 3 4 12 3 5 15 3 6 18 3 7 21 3 8 24 3 9 37 4 5 20 4 6 24 4 7 28 4 8 32 4 9 36 5 6 30 5 7 35 5 8 40 5 9 45 6 7 42 6 8 48 6 9 54 7 8 56 7 9 63 8 9 72

8 Quibus prius cognitis, tenendae quoque sunt hae regulae. Quod ex ductu unitatis in quemvis numerum ipsemet numerus gignitur. Quod si cifram semel aut quoties vis apponas multiplicanti aut multiplicato, aut utrique toties eadem producto apponenda erit. 9 Nam per 19^am 7ⁱ elementorum decuplato altero multiplicantium, decuplatur productum: quod fit per unius cifrae appositionem: rursum decuplato reliquo multiplicantium: rursum decuplatur productum: unde et altera cifra producto apponenda erit. 10 Itaque productum ex figura in figuram habet semper tot regiones ad dextram, quot utraque multiplicantium. Unde cum multiplicantes numeri ex pluribus figuris constiterint; singulae unius numeri figurae in singulas alterius numeri figuras erunt ducendae: et producta per figuras regionesque oportunas disposita sunt aggreganda: nam eorum congeries erit productum universale multiplicantium. 11 Siquidem per primam 2ⁱ elementorum, ex ductu quantitatis in partes divisae gignitur illud⁴, quod fit ex ductu eiusdem in totam divisam.

12

1 3 3 10 3 30 10 30 300

13

3 4 12 30 4 120 30 40 1200

14

12 3 36

15

3 4 5       7     3 5   2 8 0 2 1 0 0 2 4 1 5

16

3 4 5       7 2 2 3 5   1 8 2 4 1 5

17

3 4 5       9 0       0 0 0     4 5 0   3 6 0 0 2 7 0 0 0 3 1 0 5 0

18

3 4 5       9 0 2 3 4 5 0   7 6   3 1 0 5 0   2 4 1 5 3 3 4 6 5

[A:28v]

19

3 4 5       9 7         3 5     2 8 0   2 1 0 0     4 5 0   3 6 0 0 2 7 0 0 0 3 3 4 6 5

20

3 4 5       9 7 2 2 2 3 5   3 1 8   7 4 5     6   3 3 4 6 5

22

3 4 5       7 2 4 1 5

23

3 4 5       9 0 3 1 0 5 0

24

3 4 5       9 7   2 4 1 5 3 1 0 5 3 3 4 6 5

25 Experientia novenaria quadrat, si abiectis in utroque multiplicante novenariis, residua producunt numerum, de quo abiectis novenariis superest is, qui abiectis in producto novenariis, relinquitur.

26

3   3   3   |   |   | 3 + 3   0 + 0   3 + 3   |   |   |   7   0   7

27 Experientia septenaria quadrat, si divisis in septenarium multiplicantibus: ex ductu quotientum fiat numerus, quo in 7^rium diviso, proveniat is, qui, diviso in 7^rium producto, provenit.

28

2   2   2   |   |   | 0 + 0   5 + 5   5 + 5   |   |   |   0   0   6

29 Si recte fecisti, quadrat experientia semper: potest tamen quandoque quadrare quamvis erratum sit, ut si a vero deviaris in illa experientia per novenarium, in hac per septenarium: aut in utraque per numerum novenario septenarioque commensurabilem.

30 Cum itaque ex duabus figuris productum habeat dextrorsum tot regiones, quot ambae⁵ multiplicantes per 19^am 7ⁱ certum est, per conversionem talis regulae, ut ex divisione numeri cuiuspiam [A:29r] in figuram quampiam proveniat figura habens dextrorsum tot regiones, quot regionibus numerus dividendus excedit dividentem. 31 Verum dividendus excedit dividentem tot quidem regionibus, quot relinquuntur ad dextram de dividendo, postquam dividens sub primis ad sinistram figuris dividendo, subscriptus fuerit, ita tamen ut minor sit eo numero⁶, quem suprascriptae figurae significarint: unde si non sit eo minor, subscribendus erit figuris una pluribus: deinde quoties subtrahi potest a suprascripto, tot unitatum figura scribenda est, et ea in dividentem multiplicata, productum a suprascripto subtrahendum, residuumque superne scribendum. 32 Mox dividens per unam figuram versus dextram anteriorandus et quoties a supraposito numero auferri poterit, tot unitatum figura post nuper scriptam scribenda, et eius in dividentem productum a suprascripto demendum, residuumque superius adnotandum: idque toties faciendum, donec sub dividendo locus non supersit. Quae operatio est contraria multiplicationi. 33 Nimirum⁷ sicut in multiplicatione singulae unius multiplicantium figurae in reliquam ductae consummant totum multiplicationis productum: sic in divisione, singulae quotienti figurae in divisorem multiplicatae absumunt totum subtrahendo divisum. 34 Hinc sequitur, ut numerus quivis divisus in unitatem reddat se ipsum. Item numerus divisus in denarium, ablata figura residuat quotientem. Divisus in centenarium, duabus⁸ ad dextram figuris mutilatus repraesentat quotientem. Divisus in millenarium, tribus: itaque deinceps. 35 Unde si divisor constet ex una figura et cifris quotcumque: quot sunt cifrae, tot ex dividendo numero figurae ad dextram abiiciendae sunt, reliquumque in ipsam divisoris figuram partiendum. Ecca horum exemplat.

[A:29v]

36

3 4 5   9 7 Experientia 9   0   6   0 3 0   | 0 3 3 4 6 5   7   2 4 3   5 + 5 3 1 0 5 .   | 0   0 6 8 1 0   |   3 + 3   3 3 4 6 5 | 9 7   2   2 4 1 5   |   3 4 5 5   2 4 1 5   3   3 4   Experientia 7ria   0 0 0 0

37

9 7   3 4 5   0   2   0 4 0   | 0 3 3 4 6 5   3   4 7 3   5 + 5 2 9 1 . .   | 0   0 6 3 8 0   |   3 + 3   3 3 4 6 5 | 3 4 5   6   4 3 6 5   |   9 7 7 7   3 8 8 .   7   9 9     4 8 5     4 8 5     0 0 0

38

2 7 8   2 3 5 3 6   0   Experientia 9ria   1   1 6 5 4 3 2 1 9   0 0 2   | 4 5 5 6 . . . .   1 1 4 2   3 + 3   0 3 4 0 6 1   |   9 8 3 2 1 9   1 9 7 4 8 5   8   8 3 4 . . .   2 1 8 9 1 7 1   6 5 4 3 2 1 9 | 2 3 5 3 6   1 4 9 2 1 9   2 7 8 8 8 8 8   1 3 9 0 . .   2 7 7 7 7   2 2 2   1 0 2 1 9   Experientia 7ria   8 3 4 .   2   1 8 7 9   | 1   1 6 6 8   4 + 4     |   2 1 1   5

39 In divisione experientia 9^9ria quadrat, si abiectis divisoris et quotientis novenariis: residuisque altero in alterum ductis ac producto cum residuo (quod post abiectos ex residuo divisionis novenarios, superest) coniuncto, aggregatum abiectis novenariis, aequale est ei, quod de numero diviso abiectis novenariis, superest¹⁰. Idemque de 7^ria experientia in septenarium dividendo, dicas. 40 Nec, etiamsi quadret altera aut utraque experientiarum, certus es recte fecisse: sicut certus es errasse, si non quadret. Verum sicut [A:30r] multiplicationis divisio, sic vicissim divisionis multiplicatio est vera et certa experientia. Siquidem productum in alterum multiplicantium divisum reddit reliquum. Et vicissim divisor in quotientem ductus gignit¹¹ numerum, qui cum relicto (si quod sit) iunctus, efficit divisum. Sed haec ita sunt in promptu ut demonstratione non egeant.

41 Demonstrabo nunc praxim extractionis quadratae radicis: adducam exemplum particulare, super quo¹² regulae fundamentum aperiam. Proponatur¹³ [[modo]] numerus quispiam utpote 6241 cuius quadratam radicem vestigare iubear. Signabo punctum sub prima dextrorsum figura, et alterum sub tertia: semper enim in locis imparibus cunctis puncta signanda erunt. 42 Unde certum erit propositi numeri radicem habituram duas figuras: sicut et in multiplicatione ostensum est. Itaque sub primo ad sinistram puncto figura, quae quam vicinissime potest in se ducta conficiat suprascriptum numerum, scilicet 62, erit 7. Nam eius 49 demptus a 62 residuat 13 deletis 62 superius scribendum. Huius figurae duplum quod est 14¹⁴ in proxima ad dextram regione scribendum: et sub sequenti puncto figura, quae quam proxime in duplum praedictum multiplicata a superiori numero: deinde in se ducta a residuo sibi suprascripto auferri potest, erit 9. 43 Nam 9 in 14 facit 126 qui ablatus a 134 residuat 8 quae figura cum sequenti ad dextram habet 81. Itaque 9 rursum in se ducta complet hoc reliquum 81. Unde certum est propositi numeri radicem esse numerum sub his figuris 79 contentum. 44 Nam cum hic numerus habeat duas partes sub duabus figuris contentas: iam per 4^am 2ⁱ elementorum ^ti ex his partibus qui sunt 4900¹⁵ et 81 una cum duplo eius, quod ex una in alteram, quod est 1260, componunt ^tum qui ex toto numero: unde cum tales ^ti taleque duplum conficiant iam totum propositum numerum 6241, certum est dictum numerum 79 esse radicem ^am propositi numeri.

45

0   7 0 4 0   | 0 1 3 8 0   4 + 4 6 2 4 1   |   +   +   7   7 4 9   1

[A:30v] 46 Quod si in proposito numero contigerint plura puncta quam duo: iam radix comperta sortietur figuras plures duabus. Itaque si figurae fuerint tres, iam tunc et opus et demonstratio geminabitur; si fuerint 4^or, triplicabitur et ita deinceps. Nam pro unaquaque figura eandem argumentationem, adducta semper¹⁶ 4^a 2ⁱ repetemus: semper praecedentes figuras pro una numeri parte, pro altera sequentem tenendo consyderata ubique figurarum dignitate, locoque. 47

0 0   6   1 1 0   | 0 0 6 5 2 0 0   0 + 0 4 2 7 7 1 6   |   +   +   +   6   6 2 5 0 4   1 1 3

48 Huc quoque spectat tam novenaria quam septenaria experientia: ut pro illa novenariis de radice abiectis; pro hac vero eadem in 7^rium divisa, residuum in se ductum, abiectis novenariis vel¹⁷ septenario divisum¹⁸ residuet numerum, qui¹⁹ cum eo (qui post abiectos ex residuo extractionis novenarios, vel eodem in 7^rium diviso, superest) coniunctus, abiectis novenariis, vel partitus in 7^rium residuet numerum, aequalem ei, qui abiectis de proposito numero 9^riis vel eodem in 7^rium diviso, relinquitur. 49 Sed sicut in multiplicatione et divisione, ita et hic neutra harum experientiarum, quemadmodum index est erroris, ita semper arguit recte factam operationem. Quare multiplicatio sicut in divisione, ita et in extractione erit certissimum operationis indicium. Nam inventa radix in se ducta et cum relicto, si quod sit, instaurat propositum numerum. Ut in hoc exemplo.

50

6 5 4   6 5 4     2 6 1 6 Experientia praemissae   3 2 7 0 extractionis 3 9 2 4     4 2 7 7 1 6

[A:31r] 51 Veniam nunc ad extractionem cubae radicis, quae non minus solidorum calculo, quam planorum quadratae inventio, fuit necessaria. Adductoque, ut in quadrata factum est, exemplo, et regulam et demonstrationem explanabo. Proponat [[modi]] quispiam hunc numerum 79507, cuius cubicam radicem invenire iubear. Signabo punctum sub prima ad dextram figura; itemque alterum sub quarta; semperque, si plures essent figurae, binis intermissis, punctum signarem. Unde certum erit propositi numeri radicem numerum²⁰ esse duarum figurarum. 52 Namque per ea, quae in multiplicatione, allata sunt, numeri duarum figurarum habet ad summum 4^or figuras, ad minimum tres²¹. Unde et cubus eiusdem, qui ex ipsa radice habente duas figuras in suum ^tum gignitur, habebit sex ad summum figuras, ad minimum 4^or. Semper itaque cuba radix numeri habentis 4^or 5^que aut 6^x figuras habebit duas figuras, quem ad modum in proposito numero. 53 Igitur sub primo ad sinistram puncto scribenda est figura, cuius²² cubus quam vicinissime possit conficiat suprascriptum numerum. Talis figura erit hic 4 cuius cubus 64 ablatus a suprascripto numero 79 residuat 15 deleti 79 superne ascribendum. Huius figurae 4 triplum, quod est 12, in regione ante sequens punctum scribo, et 4 subtriplum sub illo. 54 Mox sub sequenti puncto vestigo figuram cum his conditionibus ut ipsa cum subtriplo²³ multiplicata in triplum, ac deinde sola multiplicata in tale productum conficiat suprapositum numerum usque ad triplum: deinde eius cubus conficiat quam vicinissime potest reliquum usque ad punctum. 55 Talis figura hic erit 3; quippe quae cum subtriplo

56

0 0   0   7 1 5 0 2 0   | 0 7 9 5 0 7   1 + 1   +   +   |   4 1 2 3   7   4

facit 43; qui ductus in triplum 12 producit 516; et ipse 3 in tale productum gignit 1548; et hic demptus a supraposito 1550 residuat 2; deinde ipsius 3 cubus, [A:31v] qui est 27, destruit reliquum. Dico itaque quod 43 numerus quem figurae sub punctis scriptae denotant, est cubica radix propositi numeri.

57 Quod sic esse, hoc lemmate praemisso, ostendam. Sit numerus ab divisus in duos a b. Aio iam quod cubus, qui ex toto ab numero, aequalis erit his, scilicet cubo ipsius a, cubo ipsius b et triplo solidi, cuius latera sunt tres numeri videlicet ab a b. Quod sic ostendam. 58 Nam

per 2^um lemma 8ⁱ capitis

59

ab aequalis est his a b triplo a in b triplo b in a

Sed per primam 2ⁱ elementorum

a aequalia sunt 24 ab in a. ab

Est enim ipsum productum ex ab numero in numerum a. Et per eandem

60

quod ex a in b aequale est ei quod ex ab a in b quodque ex ab in b

61

Est enim ipsum solidum, cuius latera sunt ab a b

Atque²⁵ quod ex ab in b aequale est ei quod ex b in a.

62

Est enim ipsum solidum cuius latera sunt a a b

Igitur

63

quod ex a in b aequalia sunt ei quod ex ab a in b quodque ex b in a

64

hoc est solido trium laterum ab a b

Quare et triplum illius aequale triplo huius.

Ergo

65

ab aequalis erit his videlicet a b   Solidi   ab triplo cuius latera a   b

Quod est propositum.

[A:32r] 66 Itaque cum numerus 43 habeat duas partes, quas duae figurae exprimunt, et cubi harum partium, qui sunt 64000 et 27 et triplum solidi, cuius latera sunt tres numeri videlicet 43, 40, 3, quod solidum est 5160 eiusque triplum 15480, cubi in quam praedicti ac tale triplum conficiant totum numerum 79507, certum est ipsum numerum 43 esse cubicam radicem numeri 79507.

67 Quod si numerus propositus habuerit puncta subscripta plura quam duo, tunc radix comperta sortietur figuras plures duabus. Itaque si figurae fuerint tres, operatio praemonstrata et argumentum repetito lemmate, geminabitur. Si figurae fuerint 4^or, triplicabitur. Et ita deinceps. Nam pro qualibet figura syllogismus idem repetendus est, positis praecedentibus figuris pro una numeri parte, sequente²⁶, ac tandem postrema reliquae partis vicem gerente, servata semper figurarum pro locis dignitate. 68 Est et hic usui novenaria septenariaque experientia: nam pro illa novenariis de²⁷ radice abiectis; pro hac autem radice in 7^rium partita, residuum in se cubice multiplicatum, abiectis 9^riis vel septenario divisum, relinquit numerum, qui cum eo (qui post proiectos ex residuo extractionis 9^rios: vel ipso residuo in 7^rium partito, relinquitur) coniunctus, proiectis 9^riis vel partitus in 7^rium, residuat numerum aequalem ei, qui abiectis de proposito numero 9^riis vel eodem in 7^rium secto, supererit.

69 Quae experientia, sicut et in caeteris operationibus, si non quadret, arguit errorem; si autem quadret, est ut plurimum recte facti indicium. Certissima vero experientia est hic, sicut et alibi, multiplicatio. Nam radix comperta in se cubice ducta cum relicto (si quod est) iuncta instaurat propositum numerum.

70

0   Experientia 928ria   | 1 1 + 1   |   5   Experientia 7ria   0   | 5   4 + 4   |   0 0   5 0 3 2 0 1 9 1 5 7 4 8 3   +   +   5 1 5 4   5

71

5 4 radix   5 4     2 9 1 6   5 4     1 1 6 6 4   1 4 5 8 0     1 5 7 4 6 4 Experientia   1 9 residuum     1 5 7 4 8 3 numerus propositus

[A:32v] 72 Ex quibus omnibus patet, quod sicut inter multiplicandum indigemus additione ad eliciendum productum; sic inter dividendum, atque²⁹ in extrahendis radicibus, utimur subtractione ad eliciendum quotientem vel habendam radicem. Item sicut additionis subtractio; et vicissim subtractionis additio est experientia, sic multiplicationem dividendo, ac divisionem multiplicando³⁰ probamus, sicut et radicum extractionem. 73 Sic arithmeticae praxeos elementa, videlicet supputationem, additionem, subtractionem, multiplicationem, divisionem, quadratae, cubaeque radicis inventionem, res quidem faciles, quas nonnulli demonstrare conati obscuriores fecerunt, paucis demonstravimus. Nam fractionum, proportionum et irrationalium operationes superius ostensae sunt.

74

4   Experientia 9ria   | 5 6 + 6   Experientia 7ria   |   2   4   | 5   6 + 6   |   2   0 0 0   1 2 4 0 0 0 0 7 3 0 5 3 4 5 1 5 0 6 9 2 2 8 | 2 4 7   +   +   +   2   6 4 7 2 7   2   2 4

75

2 4 7   2 4 7     1 7 2 9   9 8 8   4 9 4     6 1 0 0 9 Experientia   2 4 7 productum   cubicum   4 2 7 0 6 3   2 4 4 0 3 6   1 2 2 0 1 8     1 5 0 6 9 2 2 3 cubus   5 residuum     1 5 0 6 9 2 2 8 numerus propositus

76 Superest nunc experientiam tam novenariam quam septenariam in multiplicatione, divisione, et radicum extractione demonstrare. Illud vero in primis notandum, quod pro novenaria experientia egregii Arithmetici colligunt figuras tamque monadicas, servantque abiectis novenariis, residuum. 77 Pro 7^ria vero, partiuntur in septenarium numeros, capiuntque relicta. Liceret autem et pro novenaria quoque partiri in novenarium numeros, ac relictis uti, sicuti fit in 7^ria. Hoc enim est novenarii numeri peculiare: ut exarato quovis per quotquot figuras numero; collectisque figurarum unitatibus, et abiectis novenariis, supersint tot unitates, quot relinquuntur, secto in novenarium, numero.

[A:33r] 78 Exempli gratia, capiatur hic numerus 78532. Eius figurarum unitates conficiunt 25 de quo abiectis novenariis, supersunt 7. Quod si numerus idem 78532 dividatur in novenarium, proveniunt 8725. Et supersunt itidem 7. Quo fit ut experientia novenaria utroque modo respondeat quamvis alter, qui fit colligendo unitates, in usu sit. Sed haec dignitas inest soli novenario et non alii numero: idque ita esse brevissime demonstrabo.

79 Hoc tamen primum lemmate praemisso: quod si fuerit quilibet numerus, qui unitatis figura et quotlibet cifris denotetur, a quo unitas auferatur, relictus semper in novenarium dividi potest. Sit enim exempli causa, ab numerus millenarius, de quo auferatur unitas bc. Aio quod reliquus ac in novem partes secari potest. 80 Certum est enim numerum una figura et quotvis cifris notatum toties in denarium posse dividi, quot habent cifras; itaque cum ab millenarius tres habeat cifras, ter in denarium partiri potest. Sit ergo ipsius ab pars decima bd iamque da reliquus est in novem divisibilis. Rursum sit ipsius db pars decima be eritque ed in novem divisibilis et ideo totus ea in novem divisibilis. Eritque³¹ iam eb denarius; cumque bc per hypothesim sit unitas, erit ce novenarius, et perinde in 9 divisibilis; sed ea fuit in 9 divisibilis: igitur et totus ca in novem est divisibilis. Quod est propositum.

81 Ex quo lemmate sequitur, ut si³² a quolibet numero, qui unica figura et quotvis cifris notatus sit, tot unitates demantur quot per eam figuram exprimuntur, relictum sit in novenarium divisibile.

82 Et ex hoc corollario sequitur aliud, ut si a quovis proposito³³ numero tot unitates demantur, quot conficiuntur a figuris quasi monadicis simul collectis, residuum sit in 9 divisibile: quo fit, ut si de tali residuo novenarius, quoties fieri potest, abiiciatur, iam supersit is numerus, qui, diviso in novenarium proposito numero, relinquebatur. Quare novenaria experientia non solum uni [A:33v] tates figurarum colligendo, sed etiam numerum partiendo, procedit: nam, ut ostensum est, et ibi abiectis novenariis, et hic post factam in novenarium divisionem, idem numerus residuatur. 83 Non iniuria ergo novenarius numerus ad hanc experientiam potissimum electus est: ut qui utroque modo ad tentandum congruat. Nam in dividendo non solum novenarius, sed et septenarius et quilibet alius ad experiendum convenit. Septenarius tamen et reliquis est lectus quoniam sub novenario maximus erat imparium, et perinde minus errori obnoxius. Demonstrandum ergo, cur experientia dividendo facta operationi absque errore factae semper quadret. Et primum de novenaria: nam septenariae omnino eadem inserviet demonstratio. 84 Numerus itaque ab in numerum cd multiplicatus, producat numerum ef. Demum de ipso ab proiectis novenariis, supersit bg et de ipso cd abiectis similiter novenariis, supersit dh numerus. Aio iam, quod ex ductu ipsius bg in ipsum dh provenit³⁴ numerus, qui, post abiectos 9^rios aequalis est ei, qui³⁵ abiectis de ipso ef novenariis, superest. Nam, per primam 2ⁱ elementorum ter assumptam, ex ductu ag in ch et ex ductu ag in hd et ex ductu gb in ch et ex ductu gb in hd producitur totus numerus ef. Sit itaque numerus ex primis tribus ductibus genitus ek iamque kf reliquum erit gb in hd productum. 85 Et quoniam tam ag quam ch habet integros novenarios, sequitur, ut tam eorum productum quam eorumdem in ipsos gb hd producta contineant integros novenarios: igitur ek numerus, quem talia tria producta conficiunt, continebit integros novenarios. Quare si kf sit minor novenario, patet propositum: nam ex bg in dh provenit numerus kf qui, abiectis de numero ef 9^riis, relinquitur. Quod erat demonstrandum. Quod si kf novenarium excedat, abiiciatur, quoties fieri potest, 9^rius, et relinquatur lf tuncque, quoniam scilicet el numerus continebit integros novenarios; iam ex ductu bg in dh proveniet numerus kf de quo proiectis 9^riis, superest numerus lf qui, post abiectos de ipso ef novenarios, relinquitur³⁶. Quod est propositum.

86 Ex quibus facillime patet, quod quando ipsorum ab cd multiplicantium alter habet integros novenarios; tunc ef productum habet etiam integros novenarios: et si ipsi gb hd producerent integros 9^rios tunc kf haberet integros novenarios et [A:34r] perinde totus ef. Quare tunc cifra apparet in experientia.

87 Similis est de 7^ria experientia demonstratio: abiectis tamen, pro novenariis, ubique septenariis.

88 Sicut autem in multiplicatione, sic et in divisione demonstrabimus utramque experientiam: assumentes videlicet ipsum ef pro numero dividendo ipsumque ab pro divisore; ac reliquum cd pro quotiente. Nam quod de residuo divisionis, abiectis 9^riis aut 7^riis superest, adiectum ipsi lf, quod sit fm conflabit lm, quod scilicet de toto dividendo, cum divisio residuum habet, adiectis 9^riis vel 7^riis, relinquitur.

89 Nec secus in extractione radicis quadratae experientiam demonstrabimus: si multiplicantes ab cd aequales fecerimus, et eorum productum (quod est alterius eorum) ipsum ef numerum intellexerimus. In extractione autem radicis cubae, sit cubus no qui scilicet ex radice ab in ipsum suum ef producitur. Ita ut tria producta ag in el, item ag in lf atque ipsius gb in el, conficiant ipsum numerum np. Et si op non sit minor 9^rio abiectis novenariis, relinquatur oq et repetatur eadem argumentatio: et si extractio residuum habet; tunc id quod de residuo abiectis 9^riis vel 7^riis superest, sit or ita ut qr sit id, quod de toto numero proposito, adiectis 9^riis vel 7^riis superest.

4^o ianuarii 1545.